Geometria conforme - Conformal geometry

Em matemática , geometria conforme é o estudo do conjunto de transformações que preservam o ângulo ( conforme ) em um espaço.

Em um espaço bidimensional real, a geometria conforme é precisamente a geometria das superfícies de Riemann . No espaço superior a duas dimensões, a geometria conforme pode se referir tanto ao estudo de transformações conformes do que são chamados de "espaços planos" (como espaços euclidianos ou esferas ), quanto ao estudo de variedades conformes que são variedades Riemannianas ou pseudo-Riemannianas com uma classe de métricas definidas em escala. O estudo das estruturas planas é algumas vezes denominado geometria de Möbius e é um tipo de geometria de Klein .

Variedades conformadas

Uma variedade conformada é uma variedade pseudo-Riemanniana equipada com uma classe de equivalência de tensores métricos , em que duas métricas g e h são equivalentes se e somente se

${\ displaystyle h = \ lambda ^ {2} g,}$

onde λ é uma função suave com valor real definida na variedade e é chamada de fator conforme . Uma classe de equivalência de tais métricas é conhecida como métrica conforme ou classe conforme . Assim, uma métrica conforme pode ser considerada como uma métrica que só é definida "em escala". Freqüentemente, as métricas conformes são tratadas selecionando uma métrica na classe conforme e aplicando apenas construções "invariáveis ​​conforme" à métrica escolhida.

Uma métrica conforme é conformalmente plana se houver uma métrica que a representa que seja plana, no sentido usual de que o tensor de curvatura de Riemann desaparece. Só pode ser possível encontrar uma métrica na classe conforme que seja plana em uma vizinhança aberta de cada ponto. Quando é necessário distinguir esses casos, este último é denominado localmente conformalmente plano , embora muitas vezes na literatura nenhuma distinção seja mantida. A n -sfera é uma variedade localmente conforme plano que não é globalmente conforme plano neste sentido, enquanto um espaço euclidiano, um toro, ou qualquer variedade conforme que é coberto por um subconjunto aberto do espaço euclidiano é (globalmente) conformalmente plano neste senso. Uma variedade localmente conforme plana é localmente conforme a uma geometria Möbius , o que significa que existe um ângulo que preserva o difeomorfismo local da variedade em uma geometria Möbius. Em duas dimensões, toda métrica conforme é localmente plana conforme. Na dimensão n > 3, uma métrica conforme é localmente conformalmente plana se e somente se seu tensor de Weyl desaparecer; na dimensão n = 3 , se e somente se o tensor Cotton desaparecer.

A geometria conformada possui uma série de características que a distinguem da geometria (pseudo-) Riemanniana. A primeira é que, embora na geometria (pseudo-) Riemanniana haja uma métrica bem definida em cada ponto, na geometria conforme há apenas uma classe de métricas. Assim, o comprimento de um vetor tangente não pode ser definido, mas o ângulo entre dois vetores ainda pode. Outra característica é que não há nenhuma conexão de Levi-Civita , porque se g e λ ² g são dois representantes da estrutura conforme, então os símbolos de Christoffel de g e λ ² g não concordaria. Aqueles associados com λ ² g envolveriam derivadas da função λ enquanto aqueles associados com g não.

Apesar dessas diferenças, a geometria conformada ainda é tratável. O tensor de conexão e curvatura de Levi-Civita , embora só seja definido uma vez que um representante particular da estrutura conforme tenha sido escolhido, satisfazem certas leis de transformação envolvendo o λ e suas derivadas quando um representante diferente é escolhido. Em particular, (em dimensão maior que 3) o tensor de Weyl acaba não dependendo de λ , e por isso é um invariante conforme . Além disso, embora não haja nenhuma conexão Levi-Civita em uma variedade conformada, pode-se trabalhar com uma conexão conformada , que pode ser tratada como um tipo de conexão Cartan modelada na geometria Möbius associada, ou como uma conexão Weyl . Isso permite definir a curvatura conforme e outros invariantes da estrutura conforme.

Geometria Möbius

A geometria Möbius é o estudo do " espaço euclidiano com um ponto adicionado ao infinito", ou um " espaço Minkowski (ou pseudo-euclidiano) com um cone nulo adicionado ao infinito". Ou seja, o cenário é uma compactação de um espaço familiar; a geometria está preocupada com as implicações da preservação dos ângulos.

Em um nível abstrato, os espaços euclidianos e pseudo-euclidianos podem ser tratados da mesma maneira, exceto no caso da dimensão dois. O plano bidimensional compactado de Minkowski exibe uma extensa simetria conformada . Formalmente, seu grupo de transformações conformes tem dimensão infinita. Em contraste, o grupo de transformações conformes do plano euclidiano compactado é apenas 6-dimensional.

Duas dimensões

Avião Minkowski

O grupo conforme para a forma quadrática de Minkowski q ( x , y ) = 2 xy no plano é o grupo de Lie abeliano

${\ displaystyle \ operatorname {CSO} (1,1) = \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} e ^ {a} & 0 \\ 0 & e ^ {b} \ end {pmatrix}} \ right | a , b \ in \ mathbb {R} \ right \},}$

com a álgebra de Lie cso (1, 1) consistindo em todas as matrizes diagonais 2 × 2 reais.

Considere agora o plano de Minkowski, ℝ ² equipado com o sistema métrico

${\ displaystyle g = 2 \, dx \, dy ~.}$

Um grupo de 1 parâmetro de transformações conformes dá origem a um campo vetorial X com a propriedade de que a derivada de Lie de g ao longo de X é proporcional a g . Simbolicamente,

L _X g = λg   para algum λ .

Em particular, usando a descrição acima da álgebra de Lie cso (1, 1) , isso implica que

1. L _X   dx = a ( x ) dx
2. L _X   dy = b ( y ) dy

para algumas funções de valor real a e b dependendo, respectivamente, de x e y .

Inversamente, dado qualquer par de funções de valor real, existe um campo vetorial X que satisfaz 1. e 2. Portanto, a álgebra de Lie das simetrias infinitesimais da estrutura conforme, a álgebra de Witt , é infinita dimensional .

A compactação conforme do plano de Minkowski é um produto cartesiano de dois círculos S ¹ × S ¹ . Na cobertura universal , não há obstrução à integração das simetrias infinitesimais e, portanto, o grupo de transformações conformes é o grupo de Lie de dimensão infinita

${\ displaystyle (\ mathbb {Z} \ rtimes \ mathrm {Diff} (S ^ {1})) \ times (\ mathbb {Z} \ rtimes \ mathrm {Diff} (S ^ {1})),}$

onde Diff ( S ¹ ) é o grupo de difeomorfismo do círculo.

O grupo conforme CSO (1, 1) e sua álgebra de Lie são de interesse atual na teoria de campo conforme bidimensional .

Espaço euclidiano

O grupo de simetrias conformes da forma quadrática

${\ displaystyle q (z, {\ bar {z}}) = z {\ bar {z}}}$

é o grupo GL ₁ ( C ) = C ^× , o grupo multiplicativo dos números complexos. A sua álgebra de Lie é gl ₁ ( C ) = C .

Considere o plano complexo (euclidiano) equipado com o sistema métrico

${\ displaystyle g = dz \, d {\ bar {z}}.}$

As simetrias conformais infinitesimais satisfazem

1. ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {X} \, dz = f (z) \, dz}$
2. ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {X} \, d {\ bar {z}} = f ({\ bar {z}}) \, d {\ bar {z}},}$

onde f satisfaz a equação de Cauchy-Riemann e, portanto, é holomórfico sobre seu domínio. (Veja álgebra de Witt .)

As isometrias conformes de um domínio, portanto, consistem em mapas próprios holomórficos. Em particular, na compactificação conforme - a esfera de Riemann - as transformações conforme são dadas pelas transformações de Möbius.

${\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {az + b} {cz + d}}}$

onde ad - bc é diferente de zero.

Dimensões superiores

Em duas dimensões, o grupo de automorfismos conformes de um espaço pode ser bastante grande (como no caso da assinatura Lorentziana) ou variável (como no caso da assinatura Euclidiana). A comparativa falta de rigidez do caso bidimensional com o de dimensões superiores deve-se ao fato analítico de que os desenvolvimentos assintóticos dos automorfismos infinitesimais da estrutura são relativamente irrestritos. Na assinatura Lorentziana, a liberdade está em um par de funções com valor real. Em euclidiano, a liberdade está em uma única função holomórfica.

No caso de dimensões superiores, os desenvolvimentos assintóticos de simetrias infinitesimais são, no máximo, polinômios quadráticos. Em particular, eles formam uma álgebra de Lie de dimensão finita . As simetrias conformais infinitesimais pontuais de uma variedade podem ser integradas precisamente quando a variedade é um certo modelo de espaço conformalmente plano ( até tomar coberturas universais e quocientes de grupo discretos).

A teoria geral da geometria conforme é semelhante, embora com algumas diferenças, nos casos de assinatura euclidiana e pseudo-euclidiana. Em ambos os casos, há várias maneiras de introduzir o espaço do modelo de geometria plana conforme. A menos que de outra forma claro no contexto, este artigo trata o caso da geometria conformada euclidiana com o entendimento de que ela também se aplica, mutatis mutandis , à situação pseudo-euclidiana.

O modelo inversivo

O modelo inversivo de geometria conforme consiste no grupo de transformações locais no espaço euclidiano E ⁿ gerado por inversão em esferas. Pelo teorema de Liouville , qualquer transformação local (conforme) com preservação de ângulo é desta forma. Desta perspectiva, as propriedades de transformação do espaço conforme plano são aquelas da geometria inversa .

O modelo projetivo

O modelo projetivo identifica a esfera conforme com uma certa quádrica em um espaço projetivo . Deixe q denotar a forma quadrática Lorentziana em R ^{n +2} definida por

${\ displaystyle q (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}) = - 2x_ {0} x_ {n + 1} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2 } ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}.}$

No espaço projetivo P ( R ^{n +2} ), seja S o lugar geométrico de q = 0 . Então S é o modelo projetivo (ou Möbius) da geometria conforme. Uma transformação conforme em S é uma transformação linear projetiva de P ( R ^{n +2} ) que deixa o invariante quádrico.

Em uma construção relacionada, a quádrica S é considerada como a esfera celeste no infinito do cone nulo no espaço de Minkowski R ^{n +1,1} , que é equipado com a forma quadrática q como acima. O cone nulo é definido por

${\ displaystyle N = \ left \ {(x_ {0}, \ ldots, x_ {n + 1}) \ mid -2x_ {0} x_ {n + 1} + x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} = 0 \ direita \}.}$

Este é o cone afim sobre o quádrica projetiva S . Seja N ⁺ a parte futura do cone nulo (com a origem excluída). Em seguida, a projecção tautológicos R ^{n +1,1} ∖ {0} → P ( R ^{N 2} ) se restringe a uma projecção N ⁺ → S . Este dá N ⁺ a estrutura de um pacote de linha ao longo do S . As transformações conformes em S são induzidas pelas transformações ^{ortócronas de} Lorentz de R ^{n +1,1} , uma vez que essas são transformações lineares homogêneas preservando o futuro cone nulo.

A esfera euclidiana

Intuitivamente, a geometria conforme plano de uma esfera é menos rígida do que a geometria Riemanniana de uma esfera. Simetrias conformes de uma esfera são geradas pela inversão em todas as suas hiperesferas . Por outro lado, as isometrias Riemannianas de uma esfera são geradas por inversões em hiperesferas geodésicas (ver o teorema de Cartan-Dieudonné .) A esfera euclidiana pode ser mapeada para a esfera conforme de maneira canônica, mas não vice-versa.

A esfera unitária euclidiana é o locus em R ^{n +1}

${\ displaystyle z ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} = 1.}$

Isso pode ser mapeado para o espaço de Minkowski R ^{n +1,1} deixando

${\ displaystyle x_ {0} = {\ frac {z + 1} {\ sqrt {2}}}, \, x_ {1} = x_ {1}, \, \ ldots, \, x_ {n} = x_ {n}, \, x_ {n + 1} = {\ frac {z-1} {\ sqrt {2}}}.}$

É facilmente visto que a imagem da esfera sob esta transformação é nula no espaço de Minkowski e, portanto, encontra-se no cone N ⁺ . Por conseguinte, determina um corte transversal da linha de feixe N ⁺ → S .

No entanto, houve uma escolha arbitrária. Se κ ( x ) for qualquer função positiva de x = ( z , x ₀ , ..., x _n ) , então a atribuição

${\ displaystyle x_ {0} = {\ frac {z + 1} {\ kappa (x) {\ sqrt {2}}}}, \, x_ {1} = x_ {1}, \, \ ldots, \ , x_ {n} = x_ {n}, \, x_ {n + 1} = {\ frac {(z-1) \ kappa (x)} {\ sqrt {2}}}}$

também fornece um mapeamento em N ⁺ . A função κ é uma escolha arbitrária de escala conforme .

Métricas representativas

Uma métrica Riemanniana representativa na esfera é uma métrica proporcional à métrica padrão da esfera. Isso dá uma compreensão da esfera como uma variedade conformada . A métrica de esfera padrão é a restrição da métrica euclidiana em R ^{n +1}

${\ displaystyle g = dz ^ {2} + dx_ {1} ^ {2} + dx_ {2} ^ {2} + \ cdots + dx_ {n} ^ {2}}$

para a esfera

${\ displaystyle z ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} = 1.}$

Um representante conforme de g é uma métrica da forma λ ² g , onde λ é uma função positiva na esfera. A classe conforme de g , denotada [ g ], é a coleção de todos esses representantes:

${\ displaystyle [g] = \ left \ {\ lambda ^ {2} g \ mid \ lambda> 0 \ right \}.}$

Uma incorporação da esfera euclidiana em N ⁺ , como na secção anterior, determina uma escala conformado em S . Por outro lado, qualquer escala conforme em S é dada por tal incorporação. Assim, o feixe de linha N ⁺ → S é identificado com o feixe de escalas conformes em S : dar uma seção desse feixe é equivalente a especificar uma métrica na classe conforme [ g ].

Modelo métrico ambiente

Outra maneira de realizar as métricas representativas é por meio de um sistema de coordenadas especial em R ^{n +1, 1} . Suponha que a n- esfera euclidiana S carregue um sistema de coordenadas estereográficas . Este consiste no seguinte mapa de R ⁿ → S ⊂ R ^{n +1} :

${\ displaystyle \ mathbf {y} \ in \ mathbf {R} ^ {n} \ mapsto \ left ({\ frac {2 \ mathbf {y}} {\ left | \ mathbf {y} \ right | ^ {2 } +1}}, {\ frac {\ left | \ mathbf {y} \ right | ^ {2} -1} {\ left | \ mathbf {y} \ right | ^ {2} +1}} \ right ) \ in S \ subset \ mathbf {R} ^ {n + 1}.}$

Em termos dessas coordenadas estereográficas, é possível dar um sistema de coordenadas no cone nulo N ⁺ no espaço de Minkowski. Usando a incorporação dada acima, a seção métrica representativa do cone nulo é

${\ displaystyle x_ {0} = {\ sqrt {2}} {\ frac {\ left | \ mathbf {y} \ right | ^ {2}} {1+ \ left | \ mathbf {y} \ right | ^ {2}}}, x_ {i} = {\ frac {y_ {i}} {\ left | \ mathbf {y} \ right | ^ {2} +1}}, x_ {n + 1} = {\ sqrt {2}} {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {y} \ right | ^ {2} +1}}.}$

Introduza uma nova variável t correspondente às dilatações até N ⁺ , de modo que o cone nulo seja coordenado por

${\ displaystyle x_ {0} = t {\ sqrt {2}} {\ frac {\ left | \ mathbf {y} \ right | ^ {2}} {1+ \ left | \ mathbf {y} \ right | ^ {2}}}, x_ {i} = t {\ frac {y_ {i}} {\ left | \ mathbf {y} \ right | ^ {2} +1}}, x_ {n + 1} = t {\ sqrt {2}} {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {y} \ right | ^ {2} +1}}.}$

Finalmente, seja ρ a seguinte função definidora de N ⁺ :

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {-2x_ {0} x_ {n + 1} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2 }} {t ^ {2}}}.}$

Nas coordenadas t , ρ , y em R ^{n +1,1} , a métrica de Minkowski assume a forma:

${\ displaystyle t ^ {2} g_ {ij} (y) \, dy ^ {i} \, dy ^ {j} +2 \ rho \, dt ^ {2} + 2t \, dt \, d \ rho ,}$

onde g _ij é a métrica na esfera.

Nestes termos, uma seção do pacote N ⁺ consiste em uma especificação do valor da variável t = t ( y ⁱ ) como uma função de y ⁱ ao longo do cone nulo ρ = 0 . Isso produz o seguinte representante da métrica conforme em S :

${\ displaystyle t (y) ^ {2} g_ {ij} \, dy ^ {i} \, dy ^ {j}.}$

O modelo kleiniano

Considere primeiro o caso da geometria conforme plana na assinatura euclidiana. O modelo n- dimensional é a esfera celeste do espaço Lorentziano ( n + 2) -dimensional R ^{n +1,1} . Aqui, o modelo é uma geometria de Klein : um espaço homogêneo G / H onde G = SO ( n + 1, 1) atuando no espaço Lorentziano ( n + 2) dimensional R ^{n +1,1} e H é o grupo de isotropia de um raio nulo fixo no cone de luz . Assim, os modelos conformalmente planos são os espaços da geometria inversa . Para pseudo-Euclidianos de assinatura métrica ( p , q ) , a geometria plana do modelo é definida analogamente como o espaço homogêneo O ( p + 1, q + 1) / H , onde H é novamente tomado como o estabilizador de uma linha nula. Observe que os espaços do modelo euclidiano e pseudo-euclidiano são compactos .

As álgebras de Lie conformes

Para descrever os grupos e álgebras envolvidos no espaço do modelo plano, fixe a seguinte forma em R ^{p +1, q +1} :

${\ displaystyle Q = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & J & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$

onde J é uma forma quadrática de assinatura ( p , q ) . Em seguida, L = O ( p + 1, q + 1) consiste de ( n + 2) x ( n + 2) matrizes de estabilização Q  : ^t MQM = Q . A álgebra de Lie admite uma decomposição de Cartan

${\ displaystyle \ mathbf {g} = \ mathbf {g} _ {- 1} \ oplus \ mathbf {g} _ {0} \ oplus \ mathbf {g} _ {1}}$

Onde

${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {- 1} = \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} 0 & ^ {t} p & 0 \\ 0 & 0 & J ^ {- 1} p \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix} } \ right | p \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ right \}, \ quad \ mathbf {g} _ {- 1} = \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ ^ {t} q & 0 & 0 \\ 0 & qJ ^ {- 1} & 0 \ end {pmatrix}} \ right | q \ in (\ mathbb {R} ^ {n}) ^ {*} \ right \}}$

${\ displaystyle \ mathbf {g} _ {0} = \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} -a & 0 & 0 \\ 0 & A & 0 \\ 0 & 0 & a \ end {pmatrix}} \ right | A \ in {\ mathfrak { então}} (p, q), a \ in \ mathbb {R} \ right \}.}$

Alternativamente, esta decomposição concorda com uma estrutura natural de álgebra de Lie definida em R ⁿ ⊕ cso ( p , q ) ⊕ ( R ⁿ ) ^∗ .

O estabilizador do raio nulo apontando para o último vetor coordenado é dado pela subálgebra de Borel.

h = g ₀ ⊕ g ₁ .

Veja também

• Álgebra geométrica conforme
• Gravidade conforme
• Equação de Killing Conformal
• Programa Erlangen
• Avião Möbius

Notas

Referências

• Kobayashi, Shoshichi (1970). Grupos de transformação em geometria diferencial (primeira edição). Springer. ISBN 3-540-05848-6.
• Slovák, Jan (1993). Operadores invariantes em manifolds conformes . Research Lecture Notes, University of Vienna (Dissertation).
• Sternberg, Shlomo (1983). Aulas teóricas sobre geometria diferencial . Nova York: Chelsea. ISBN 0-8284-0316-3.

links externos

• GV Bushmanova (2001) [1994], "Conformal geometry" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/nonEuclid/conformal/index.htm