Avião Möbius - Möbius plane

Em matemática, um avião Möbius (em homenagem a August Ferdinand Möbius ) é um dos aviões Benz : o plano Möbius, o plano Laguerre e o plano Minkowski . O exemplo clássico é baseado na geometria de linhas e círculos no plano real afim .

Um segundo nome para o plano de Möbius é plano inversivo . É devido à existência de inversões no plano de Möbius clássico. Uma inversão é um mapeamento involutório que deixa os pontos de um círculo ou linha fixos (veja abaixo).

Relação com aviões afins

Plano Möbius: relação tocante

Planos afins são sistemas de pontos e linhas que satisfazem, entre outras coisas, a propriedade de que dois pontos determinam exatamente uma linha. Este conceito pode ser generalizado para sistemas de pontos e círculos, com cada círculo sendo determinado por três pontos não colineares. No entanto, três pontos colineares determinam uma linha, não um círculo. Esta desvantagem pode ser removida adicionando um ponto no infinito a cada linha. Se chamarmos ambos os círculos e essas linhas completas de ciclos , obteremos uma estrutura de incidência em que cada três pontos determinam exatamente um ciclo.

Em um plano afim, a relação paralela entre as linhas é essencial. Na geometria dos ciclos, essa relação é generalizada para a relação tocante . Dois ciclos se tocam se tiverem apenas um ponto em comum. Isso é verdadeiro para dois círculos tangentes ou uma linha tangente a um círculo . Duas linhas completas se tocam se tiverem apenas o ponto no infinito em comum, portanto, são paralelas. A relação tocante tem a propriedade

• para qualquer ciclo , ponto ligado e qualquer ponto não ligado, há exatamente um ciclo contendo pontos e tocando (no ponto ). ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z '}$${\ displaystyle P, Q}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle P}$

Essas propriedades definem essencialmente um plano de Möbius axiomático . Mas o plano de Möbius clássico não é a única estrutura geométrica que satisfaz as propriedades de um plano de Möbius axiomático. Um exemplo adicional simples de um plano de Möbius pode ser alcançado se substituirmos os números reais por números racionais . O uso de números complexos (em vez de números reais) não leva a um plano de Möbius, porque no plano afim complexo a curva não é uma curva circular, mas sim uma hipérbole. Felizmente, há muitos campos (números) junto com formas quadráticas adequadas que levam aos planos de Möbius (veja abaixo). Esses exemplos são chamados de miquelianos , porque cumprem o teorema de Miquel . Todos esses planos miquelianos de Möbius podem ser descritos por modelos espaciais. O plano de Möbius real clássico pode ser considerado como a geometria de círculos na esfera unitária. A vantagem essencial do modelo espacial é que qualquer ciclo é apenas um círculo (na esfera). ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

Plano Möbius real clássico

plano de Moebius clássico: modelo 2d / 3d

Partimos do plano real afim com a forma quadrática e obtemos o plano euclidiano real : é o conjunto de pontos , as linhas são descritas por equações ou e um círculo é um conjunto de pontos que preenche uma equação ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle \ rho (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle y = mx + b}$${\ displaystyle x = c}$

${\ displaystyle \ rho (x-x_ {0}, y-y_ {0}) = (x-x_ {0}) ^ {2} + (y-y_ {0}) ^ {2} = r ^ { 2}, \ r> 0}$ .

A geometria de linhas e círculos do plano euclidiano pode ser homogeneizada (semelhante à conclusão projetiva de um plano afim) incorporando-a na estrutura de incidência

${\ displaystyle ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}, \ in)}$

com

${\ displaystyle {\ mathcal {P}}: = \ mathbb {R} ^ {2} \ cup \ {\ infty \}, \ infty \ notin \ mathbb {R}}$ , o conjunto de pontos , e

${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}: = \ {g \ cup \ {\ infty \} \ mid g {\ text {line of}} {\ mathfrak {A}} (\ mathbb {R}) \} \ cup \ {k \ mid k {\ text {círculo de}} {\ mathfrak {A}} (\ mathbb {R}) \}}$ o conjunto de ciclos .

${\ displaystyle ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}, \ in)}$ é chamado de plano de Möbius real clássico .

Dentro da nova estrutura, as linhas concluídas não desempenham mais um papel especial. Obviamente, possui as seguintes propriedades. ${\ displaystyle ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}, \ in)}$

• Para qualquer conjunto de três pontos, há exatamente um ciclo que contém . ${\ displaystyle A, B, C}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle A, B, C}$
• Para qualquer ciclo , qualquer ponto e existe exatamente um ciclo com: e , ou seja, e se tocam no ponto . ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle P \ in z}$${\ displaystyle Q \ notin z}$${\ displaystyle z '}$${\ displaystyle P, Q \ in z '}$${\ displaystyle z \ cap z '= \ {P \}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z '}$ ${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}, \ in)}$ pode ser descrito usando o

números complexos. representa o ponto : ${\ displaystyle z = x + iy}$${\ displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {P}}: = \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}, \ infty \ notin \ mathbb {C}}$ , e

${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}: = \ {\ {z \ in \ mathbb {C} \ mid az + {\ overline {az}} + b = 0 \ {\ text {(linha)}} \ \ } \ cup \ {\ infty \} \ mid \ 0 \ neq a \ in \ mathbb {C}, b \ in \ mathbb {R} \}}$

${\ displaystyle \ cup \ {\ {z \ in \ mathbb {C} \ mid (z-z_ {0}) {\ overline {(z-z_ {0})}} = d \ {\ text {(círculo )}} \ mid z_ {0} \ in \ mathbb {C}, d \ in \ mathbb {R}, d> 0 \}.}$

( é o número conjugado de .) ${\ displaystyle {\ overline {z}} = x-iy}$${\ displaystyle z}$

A vantagem desta descrição é que se verifica facilmente se as seguintes permutações de ciclos de mapas em ciclos. ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

(1) com (rotação + dilatação) ${\ displaystyle z \ rightarrow rz, \ \ \ infty \ rightarrow \ infty \ quad,}$${\ displaystyle r \ in \ mathbb {C}}$

(2) com (tradução) ${\ displaystyle z \ rightarrow z + s, \ \ \ infty \ rightarrow \ infty \ quad,}$${\ displaystyle s \ in \ mathbb {C}}$

(3) (reflexão em ) ${\ displaystyle z \ rightarrow \ displaystyle {\ frac {1} {z}}, \ z \ neq 0, \ \ 0 \ rightarrow \ infty, \ \ \ infty \ rightarrow 0 \ quad,}$${\ displaystyle \ pm 1}$

(4) (reflexão ou inversão através do eixo real) ${\ displaystyle z \ rightarrow {\ overline {z}}, \ \ \ infty \ rightarrow \ infty \ quad}$

Considerando como linha projetiva sobre um, reconhece-se que os mapeamentos geram o grupo (s. PGL (2, C) , transformação de Möbius ). A geometria é uma estrutura homogênea, ou seja , seu grupo de automorfismo é transitivo . Portanto, de (4) obtemos: Para qualquer ciclo existe uma inversão . Por exemplo: é a inversão que fixa o círculo unitário . Esta propriedade dá origem ao nome alternativo plano inversivo . ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle (1) - (3)}$${\ displaystyle \ operatorname {PGL} (2, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}, \ in)}$${\ displaystyle z \ rightarrow {\ tfrac {1} {\ overline {z}}}}$${\ displaystyle z {\ overline {z}} = 1}$

projeção estereográfica

Semelhante ao modelo espacial de um plano projetivo desarguesiano , existe um modelo espacial para a geometria que omite a diferença formal entre os ciclos definidos por linhas e os ciclos definidos por círculos: A geometria é isomórfica à geometria dos círculos em uma esfera. O isomorfismo pode ser realizado por uma projeção estereográfica adequada . Por exemplo: ${\ displaystyle ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}, \ in)}$${\ displaystyle ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}, \ in)}$

${\ displaystyle \ Phi: \ (x, y) \ rightarrow \ left ({\ frac {x} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}}, {\ frac {y} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}}, {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {1 + x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right) = ( u, v, w) \.}$

${\ displaystyle \ Phi}$ é uma projeção com centro e mapas ${\ displaystyle (0,0,1)}$

• o plano xy na esfera com equação , ponto médio e raio . ${\ displaystyle u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2} -w = 0}$${\ displaystyle (0,0, {\ tfrac {1} {2}})}$${\ displaystyle r = {\ tfrac {1} {2}}}$
• o círculo com a equação no plano . Isso significa que a imagem de um círculo é uma seção plana da esfera e, portanto, um círculo (na esfera) novamente. Os planos correspondentes não contêm centro . ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -ax-by-c = 0}$${\ displaystyle au + bv- (1 + c) w + c = 0}$${\ displaystyle (0,0,1)}$
• a linha no avião . Portanto, a imagem de uma linha é um círculo (na esfera) através do ponto, mas não contendo o ponto . ${\ displaystyle ax + by + c = 0}$${\ displaystyle au + bv-cw + c = 0}$${\ displaystyle (0,0,1)}$${\ displaystyle (0,0,1)}$

Axiomas de um plano Möbius

O comportamento incidental do plano de Möbius real clássico dá razão à seguinte definição de um plano de Möbius axiomático.

Plano de Möbius: axiomas (A1), (A2)

Uma estrutura de incidência com conjunto de pontos e conjunto de ciclos é chamada de plano de Möbius se os seguintes axiomas forem válidos: ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}, \ in)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}}}$

A1: Para quaisquer três pontos, há exatamente um ciclo que contém . ${\ displaystyle A, B, C}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle A, B, C}$

A2: Para qualquer ciclo , qualquer ponto e existe exatamente um ciclo com: e ( e se tocam no ponto ). ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle P \ in z}$${\ displaystyle Q \ notin z}$${\ displaystyle z '}$${\ displaystyle P, Q \ in z '}$${\ displaystyle z \ cap z '= \ {P \}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z '}$ ${\ displaystyle P}$

A3: Qualquer ciclo contém pelo menos três pontos. Existe pelo menos um ciclo.

Quatro pontos são concíclicos se houver um ciclo com . ${\ displaystyle A, B, C, D}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle A, B, C, D \ in z}$

Não se deve esperar que os axiomas acima definam o plano de Möbius real clássico. Existem muitos exemplos de planos axiomáticos de Möbius que são diferentes do clássico (veja abaixo). Semelhante ao modelo mínimo de um plano afim, encontramos o modelo mínimo de um plano de Möbius. Consiste em pontos: ${\ displaystyle 5}$

Plano de Möbius: modelo mínimo (apenas os ciclos contendo são desenhados. Qualquer conjunto de 3 pontos é um ciclo). ${\ displaystyle \ infty}$

${\ displaystyle {\ mathcal {P}}: = \ {A, B, C, D, \ infty \}, \ quad {\ mathcal {Z}}: = \ {z \ mid z \ subset {\ mathcal { P}}, | z | = 3 \}}$ . Assim: . ${\ displaystyle | {\ mathcal {Z}} | = {5 \ choose 3} = 10}$

A conexão entre o plano de Möbius clássico e o plano real afim pode ser encontrada de forma semelhante entre o modelo mínimo de um plano de Möbius e o modelo mínimo de um plano afim. Esta forte conexão é típica para aviões Möbius e aviões afins (veja abaixo).

Para um plano de Moebius e que definem a estrutura e chamar o resíduo no ponto P . ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}, \ in)}$${\ displaystyle P \ in {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {P}: = ({\ mathcal {P}} \ setminus \ {P \}, \ {z \ setminus \ {P \} \ mid P \ in z \ in {\ mathcal {Z}} \}, \ in)}$

Para o modelo clássico, o resíduo em questão é o plano real afim subjacente. O significado essencial do resíduo mostra o seguinte teorema. ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {\ infty}}$${\ displaystyle \ infty}$

Teorema: Qualquer resíduo de um plano de Möbius é um plano afim.

Este teorema permite usar os resultados de abundância em planos afins para investigações em planos de Möbius e dá origem a uma definição equivalente de um plano de Möbius:

Teorema: Uma estrutura de incidência é um plano de Möbius se e somente se a seguinte propriedade for cumprida ${\ displaystyle ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}, \ in)}$

A ': Para qualquer ponto, o resíduo é um plano afim. ${\ displaystyle P \ in {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {P}}$

Para planos Möbius finitos, ou seja , temos (semelhantes aos planos afins): ${\ displaystyle | {\ mathcal {P}} | <\ infty}$

• Quaisquer dois ciclos de um plano de Möbius têm o mesmo número de pontos.

Isso dá razão para a seguinte definição:
Para um plano de Möbius finito e um ciclo, o inteiro é chamado de ordem de . ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}, \ in)}$${\ displaystyle z \ in {\ mathcal {Z}}}$${\ displaystyle n: = | z | -1}$${\ displaystyle {\ mathfrak {M}}}$

Da combinatória, obtemos

• Let Ser um Möbius plano de ordem . Então, a) qualquer resíduo é um plano de ordem afim , b) , c) ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} = ({\ mathcal {P}}, {\ mathcal {Z}}, \ in)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathfrak {A}} _ {P}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle | {\ mathcal {P}} | = n ^ {2} +1}$${\ displaystyle | {\ mathcal {Z}} | = n (n ^ {2} +1).}$

Aviões Miquelian Möbius

Procurando mais exemplos de planos de Möbius, parece promissor generalizar a construção clássica começando com uma forma quadrática em um plano afim sobre um campo para definir círculos. Mas, apenas substituir os números reais por qualquer campo e manter a forma quadrática clássica para descrever os círculos não funciona em geral. Para mais detalhes, deve-se olhar a nota de aula abaixo. Portanto, apenas para pares adequados de campos e formas quadráticas, obtém-se planos de Möbius . Eles são (como o modelo clássico) caracterizados por grande homogeneidade e o seguinte teorema de Miquel. ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K, \ rho)}$

Teorema de Miquel

Teorema (Miquel): Para o plano de Möbius, o seguinte é verdadeiro: Se para quaisquer 8 pontos que podem ser atribuídos aos vértices de um cubo de tal forma que os pontos em 5 faces correspondam a quádruplos concíclicos, o sexto quádruplo de pontos também é concíclico . ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K, \ rho)}$
${\ displaystyle P_ {1}, ..., P_ {8}}$

O inverso também é verdadeiro.

Teorema (Chen): Somente um plano de Möbius satisfaz o Teorema de Miquel. ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K, \ rho)}$

Por causa do último teorema, um plano de Möbius é chamado de plano de Möbius miqueliano . ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K, \ rho)}$

Observação: O modelo mínimo de um plano de Möbius é miqueliano. É isomórfico ao plano de Möbius

${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K, \ rho)}$ com (campo ) e . ${\ displaystyle K = GF (2)}$${\ displaystyle \ {0,1 \}}$${\ displaystyle \ rho (x, y) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}}$

(Por exemplo, o círculo unitário é o conjunto de pontos .) ${\ displaystyle x ^ {2} + xy + y ^ {2} = 1}$${\ displaystyle \ {(0,1), (1,0), (1,1) \}}$

Observação: Se escolhermos o campo de números complexos, não haverá forma quadrática adequada . ${\ displaystyle K = \ mathbb {C}}$

A escolha (o campo dos números racionais) e é adequado. ${\ displaystyle K = \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ rho (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}}$

A escolha (o campo dos números racionais) e é adequada também. ${\ displaystyle K = \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ rho (x, y) = x ^ {2} -2y ^ {2}}$

Observação: Uma projeção estereográfica mostra: é isomórfico à geometria do plano ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} (K, \ rho)}$

seções em uma esfera ( quádrica não degenerada do índice 1) no 3-espaço projetivo sobre o campo . ${\ displaystyle K}$

Observação: Uma prova do teorema de Miquel para o caso clássico (real) pode ser encontrada aqui . É elementar e se baseia no teorema de um ângulo inscrito .

Observação: Existem muitos aviões Möbius que não são miquelianos (veja o link da web abaixo). A classe mais semelhante aos planos Möbius miquelianos são os planos Möbius ovóides . Um plano de Möbius ovóide é a geometria das seções planas de um ovoide . Um ovoide é um conjunto quadrático e tem as mesmas propriedades geométricas de uma esfera em um 3-espaço projetivo: 1) uma linha intercepta um ovoide em nenhum, um ou dois pontos e 2) em qualquer ponto do ovoide o conjunto da tangente as linhas formam um plano, o plano tangente . Um ovoide simples no espaço 3 real pode ser construído colando-se duas metades adequadas de elipsóides diferentes, de modo que o resultado não seja uma quádrica. Mesmo no caso finito, existem ovóides (ver conjunto quadrático ). Os planos Ovoidal Möbius são caracterizados pelo teorema do feixe .

Planos Möbius finitos e projetos de blocos

Um projeto de bloco com os parâmetros da extensão de um ponto de um plano afim finito de ordem n , ou seja, um projeto 3- ( n ² + 1, n + 1, 1) , é um plano de Möbius, de ordem n .

Esses designs de blocos finitos satisfazem os axiomas que definem um plano de Möbius, quando um círculo é interpretado como um bloco do design.

Os únicos valores finitos conhecidos para a ordem de um plano de Möbius são as potências primárias ou primárias. Os únicos planos Möbius finitos conhecidos são construídos dentro de geometrias projetivas finitas.

Veja também

• Geometria conforme
• Transformação Möbius

Referências

• W. Benz, Vorlesungen über Geometrie der Algebren , Springer (1973)
• F. Buekenhout (ed.), Handbook of Incidence Geometry , Elsevier (1995) ISBN   0-444-88355-X
• P. Dembowski, Finite Geometries , Springer-Verlag (1968) ISBN   3-540-61786-8

links externos

• Plano de Möbius na Enciclopédia de Matemática
• Avião de Benz na Enciclopédia de Matemática
• Nota da aula Geometries Planar Circle ', uma introdução aos planos Möbius-, Laguerre- e Minkowski