Simetria -Symmetry

Simetria (esquerda) e assimetria (direita)
Um grupo de simetria esférica com simetria octaédrica . A região amarela mostra o domínio fundamental .
Uma forma fractal que tem simetria reflexiva , simetria rotacional e auto-semelhança , três formas de simetria. Esta forma é obtida por uma regra de subdivisão finita .

Simetria (do grego antigo : συμμετρία symmetria "acordo em dimensões, devida proporção, arranjo") na linguagem cotidiana refere-se a um senso de proporção e equilíbrio harmonioso e bonito. Em matemática , "simetria" tem uma definição mais precisa e geralmente é usada para se referir a um objeto que é invariante sob algumas transformações ; incluindo translação , reflexão , rotação ou dimensionamento . Embora esses dois significados de "simetria" às vezes possam ser diferenciados, eles estão intrinsecamente relacionados e, portanto, são discutidos juntos neste artigo.

A simetria matemática pode ser observada com respeito à passagem do tempo ; como relação espacial ; através de transformações geométricas ; através de outros tipos de transformações funcionais; e como um aspecto de objetos abstratos , incluindo modelos teóricos , linguagem e música .

Este artigo descreve a simetria de três perspectivas: na matemática , incluindo a geometria , o tipo de simetria mais familiar para muitas pessoas; na ciência e na natureza ; e nas artes, abrangendo arquitetura , arte e música .

O oposto da simetria é a assimetria , que se refere à ausência ou violação da simetria.

Na matemática

Na geometria

O triskelion tem simetria rotacional de 3 vezes.

Uma forma ou objeto geométrico é simétrico se puder ser dividido em duas ou mais peças idênticas dispostas de forma organizada. Isso significa que um objeto é simétrico se houver uma transformação que mova partes individuais do objeto, mas não altere a forma geral. O tipo de simetria é determinado pela forma como as peças são organizadas, ou pelo tipo de transformação:

  • Um objeto tem simetria reflexiva (simetria de linha ou espelho) se houver uma linha (ou em 3D um plano) passando por ele que o divide em duas partes que são imagens espelhadas uma da outra.
  • Um objeto tem simetria rotacional se o objeto puder ser girado em torno de um ponto fixo (ou em 3D em torno de uma linha) sem alterar a forma geral.
  • Um objeto tem simetria translacional se puder ser transladado (movendo todos os pontos do objeto pela mesma distância) sem alterar sua forma geral.
  • Um objeto tem simetria helicoidal se puder ser simultaneamente transladado e girado no espaço tridimensional ao longo de uma linha conhecida como eixo do parafuso .
  • Um objeto tem simetria de escala se não muda de forma quando é expandido ou contraído. Os fractais também exibem uma forma de simetria de escala, onde porções menores do fractal são semelhantes em forma a porções maiores.
  • Outras simetrias incluem simetria de reflexão de deslizamento (uma reflexão seguida de uma translação) e simetria de reflexão de rotor (uma combinação de uma rotação e uma reflexão).

Na lógica

Uma relação diádica R = S × S é simétrica se para todos os elementos a , b em S , sempre que é verdade que Rab , também é verdade que Rba . Assim, a relação "é da mesma idade que" é simétrica, pois se Paulo tem a mesma idade de Maria, então Maria tem a mesma idade de Paulo.

Na lógica proposicional, conectivos lógicos binários simétricos incluem e (∧, ou &), ou (∨, ou |) e se e somente se (↔), enquanto o conectivo se (→) não é simétrico. Outros conectivos lógicos simétricos incluem nand (não-e, ou ⊼), xor (não-bicondicional, ou ⊻) e nor (não-ou, ou ⊽).

Outras áreas da matemática

Generalizando a partir da simetria geométrica da seção anterior, pode-se dizer que um objeto matemático é simétrico em relação a uma dada operação matemática , se, quando aplicada ao objeto, esta operação preserva alguma propriedade do objeto. O conjunto de operações que preservam determinada propriedade do objeto formam um grupo .

Em geral, todo tipo de estrutura em matemática terá seu próprio tipo de simetria. Exemplos incluem funções pares e ímpares em cálculo , grupos simétricos em álgebra abstrata , matrizes simétricas em álgebra linear e grupos de Galois na teoria de Galois . Em estatística , a simetria também se manifesta como distribuições de probabilidade simétricas e como assimetria — a assimetria das distribuições.

Na ciência e na natureza

Em física

A simetria na física foi generalizada para significar invariância — isto é, falta de mudança — sob qualquer tipo de transformação, por exemplo , transformações de coordenadas arbitrárias . Este conceito tornou-se uma das ferramentas mais poderosas da física teórica , pois ficou evidente que praticamente todas as leis da natureza se originam em simetrias. Na verdade, esse papel inspirou o prêmio Nobel PW Anderson a escrever em seu artigo amplamente lido de 1972 More is Different que "é apenas um pouco exagerado dizer que a física é o estudo da simetria". Veja o teorema de Noether (que, de forma bastante simplificada, afirma que para toda simetria matemática contínua, há uma quantidade conservada correspondente, como energia ou momento; uma corrente conservada, na linguagem original de Noether); e também, a classificação de Wigner , que diz que as simetrias das leis da física determinam as propriedades das partículas encontradas na natureza.

Simetrias importantes em física incluem simetrias contínuas e simetrias discretas de espaço -tempo ; simetrias internas das partículas; e supersimetria das teorias físicas.

Em biologia

Muitos animais são aproximadamente simétricos ao espelho, embora os órgãos internos sejam muitas vezes dispostos de forma assimétrica.
O ' Homem Vitruviano ' de Leonardo da Vinci (ca. 1487) é frequentemente usado como uma representação da simetria do corpo humano e, por extensão, do universo natural.

Na biologia, a noção de simetria é usada principalmente explicitamente para descrever as formas do corpo. Animais bilaterais , incluindo humanos, são mais ou menos simétricos em relação ao plano sagital que divide o corpo em metades esquerda e direita. Animais que se movem em uma direção necessariamente têm lados superiores e inferiores, extremidades da cabeça e da cauda e, portanto, uma esquerda e uma direita. A cabeça torna-se especializada com uma boca e órgãos dos sentidos, e o corpo torna-se bilateralmente simétrico para fins de movimento, com pares simétricos de músculos e elementos esqueléticos, embora os órgãos internos geralmente permaneçam assimétricos.

Plantas e animais sésseis (anexados), como anêmonas do mar , geralmente têm simetria radial ou rotacional , o que lhes convém porque alimentos ou ameaças podem chegar de qualquer direção. A simetria quíntupla é encontrada nos equinodermos , o grupo que inclui estrelas-do- mar , ouriços-do-mar e lírios -do-mar .

Na biologia, a noção de simetria também é usada como na física, ou seja, para descrever as propriedades dos objetos estudados, incluindo suas interações. Uma propriedade notável da evolução biológica são as mudanças de simetria correspondentes ao aparecimento de novas partes e dinâmicas.

Em química

A simetria é importante para a química porque sustenta essencialmente todas as interações específicas entre moléculas na natureza (isto é, através da interação de moléculas quirais naturais e feitas pelo homem com sistemas biológicos inerentemente quirais). O controle da simetria das moléculas produzidas na síntese química moderna contribui para a capacidade dos cientistas de oferecer intervenções terapêuticas com efeitos colaterais mínimos . Uma compreensão rigorosa da simetria explica observações fundamentais em química quântica e nas áreas aplicadas de espectroscopia e cristalografia . A teoria e aplicação da simetria a essas áreas da ciência física baseiam -se fortemente na área matemática da teoria dos grupos .

Em psicologia e neurociência

Para um observador humano, alguns tipos de simetria são mais salientes que outros, em particular o mais saliente é um reflexo com eixo vertical, como o presente na face humana. Ernst Mach fez essa observação em seu livro "A análise das sensações" (1897), e isso implica que a percepção da simetria não é uma resposta geral a todos os tipos de regularidades. Estudos comportamentais e neurofisiológicos confirmaram a sensibilidade especial à simetria de reflexão em humanos e também em outros animais. Os primeiros estudos dentro da tradição da Gestalt sugeriram que a simetria bilateral era um dos fatores-chave no agrupamento perceptivo . Isso é conhecido como a Lei da Simetria . O papel da simetria no agrupamento e na organização figura/fundo foi confirmado em muitos estudos. Por exemplo, a detecção de simetria reflexiva é mais rápida quando esta é uma propriedade de um único objeto. Estudos de percepção humana e psicofísica mostraram que a detecção de simetria é rápida, eficiente e robusta a perturbações. Por exemplo, a simetria pode ser detectada com apresentações entre 100 e 150 milissegundos.

Estudos de neuroimagem mais recentes documentaram quais regiões do cérebro estão ativas durante a percepção de simetria. Sasaki et ai. usaram ressonância magnética funcional (fMRI) para comparar respostas para padrões com pontos simétricos ou aleatórios. Uma forte atividade estava presente em regiões extraestriadas do córtex occipital, mas não no córtex visual primário. As regiões extraestriadas incluíram V3A, V4, V7 e o complexo occipital lateral (LOC). Estudos eletrofisiológicos encontraram uma negatividade posterior tardia que se origina das mesmas áreas. Em geral, grande parte do sistema visual parece estar envolvida no processamento da simetria visual, e essas áreas envolvem redes semelhantes às responsáveis ​​pela detecção e reconhecimento de objetos.

Nas interações sociais

As pessoas observam a natureza simétrica, muitas vezes incluindo o equilíbrio assimétrico, das interações sociais em uma variedade de contextos. Isso inclui avaliações de reciprocidade , empatia , simpatia , pedido de desculpas , diálogo , respeito, justiça e vingança . O equilíbrio reflexivo é o equilíbrio que pode ser alcançado por meio do ajuste mútuo deliberativo entre princípios gerais e julgamentos específicos . As interações simétricas enviam a mensagem moral "somos todos iguais", enquanto as interações assimétricas podem enviar a mensagem "Sou especial; melhor que você". As relações entre pares, como as que podem ser governadas pela regra de ouro , são baseadas na simetria, enquanto as relações de poder são baseadas na assimetria. As relações simétricas podem, até certo ponto, ser mantidas por estratégias simples ( teoria dos jogos ) vistas em jogos simétricos , como olho por olho .

Nas artes

O teto da mesquita de Lotfollah , Isfahan , Irã tem 8 simetrias.

Existe uma lista de periódicos e boletins conhecidos por tratar, pelo menos em parte, de simetria e artes.

Na arquitetura

Arcadas simétricas de um pórtico na Grande Mesquita de Kairouan, também chamada de Mesquita de Uqba, na Tunísia .
Visto de lado, o Taj Mahal tem simetria bilateral; a partir do topo (em planta), tem simetria quádrupla.

A simetria encontra seus caminhos na arquitetura em todas as escalas, desde as vistas externas gerais de edifícios como catedrais góticas e a Casa Branca , passando pelo layout das plantas individuais e até o design de elementos de construção individuais, como mosaicos de azulejos . Edifícios islâmicos como o Taj Mahal e a mesquita Lotfollah fazem uso elaborado de simetria tanto em sua estrutura quanto em sua ornamentação. Edifícios mouros como o Alhambra são ornamentados com padrões complexos feitos usando simetrias de translação e reflexão, bem como rotações.

Já foi dito que apenas os maus arquitetos confiam em um "layout simétrico de blocos, massas e estruturas"; A arquitetura modernista , começando com o estilo internacional , baseia-se em "asas e equilíbrio de massas".

Em vasos de cerâmica e metal

Vasos de barro jogados em uma roda de oleiro adquirem simetria rotacional.

Desde os primeiros usos de rodas de cerâmica para ajudar a moldar vasos de barro, a cerâmica teve uma forte relação com a simetria. A cerâmica criada usando uma roda adquire total simetria rotacional em sua seção transversal, permitindo substancial liberdade de forma na direção vertical. Sobre este ponto de partida inerentemente simétrico, os ceramistas desde os tempos antigos adicionaram padrões que modificam a simetria rotacional para alcançar objetivos visuais.

Vasos de metal fundido careciam da simetria rotacional inerente à cerâmica feita com rodas, mas, por outro lado, ofereciam uma oportunidade semelhante de decorar suas superfícies com padrões agradáveis ​​para aqueles que os usavam. Os antigos chineses , por exemplo, usavam padrões simétricos em suas fundições de bronze já no século XVII aC. Os vasos de bronze exibiram um motivo principal bilateral e um desenho repetitivo de borda traduzida.

Em tapetes e carpetes

tapete persa com simetria retangular

Uma longa tradição de uso de simetria em padrões de tapetes e carpetes abrange uma variedade de culturas. Os índios navajos americanos usavam diagonais em negrito e motivos retangulares. Muitos tapetes orientais têm intrincados centros e bordas refletidas que traduzem um padrão. Não surpreendentemente, os tapetes retangulares têm tipicamente as simetrias de um retângulo – isto é, motivos que são refletidos nos eixos horizontal e vertical (veja Klein four-group § Geometry ).

Em colchas

Bloco de colcha de caleidoscópio de cozinha

Como as colchas são feitas de blocos quadrados (geralmente 9, 16 ou 25 peças por bloco) com cada peça menor geralmente consistindo de triângulos de tecido, o artesanato se presta prontamente à aplicação de simetria.

Em outras artes e ofícios

nó celta mostrando a simetria p4

As simetrias aparecem no design de objetos de todos os tipos. Exemplos incluem miçangas , móveis , pinturas de areia, nós , máscaras e instrumentos musicais . As simetrias são centrais para a arte de MC Escher e as muitas aplicações de tesselação em formas de arte e artesanato, como papel de parede , azulejos de cerâmica, como na decoração geométrica islâmica , batik , ikat , fabricação de tapetes e muitos tipos de padrões têxteis e bordados .

A simetria também é usada na criação de logotipos. Ao criar um logotipo em uma grade e usando a teoria da simetria, os designers podem organizar seu trabalho, criar um design simétrico ou assimétrico, determinar o espaço entre as letras, determinar quanto espaço negativo é necessário no design e como acentuar partes de o logotipo para destacá-lo.

Na música

root of A minor triad third of A minor triad fifth of A minor triad fifth of A minor triad root of C major triad root of C major triad third of C major triad fifth of C major triad fifth of E minor triad fifth of E minor triad root of E minor triad third of E minor triad third of G major triad fifth of G major triad root of G major triad root of G major triad fifth of D minor triad fifth of D minor triad root of D minor triad third of D minor triad third of F major triad fifth of F major triad root of F major triad root of F major triad
Tríades maiores e menores nas teclas brancas do piano são simétricas ao D. (compare artigo) (arquivo)

A simetria não se restringe às artes visuais. Seu papel na história da música toca muitos aspectos da criação e percepção da música.

Forma musical

A simetria tem sido usada como uma restrição formal por muitos compositores, como a forma de arco (swell) (ABCBA) usada por Steve Reich , Béla Bartók e James Tenney . Na música clássica, Bach usou os conceitos de simetria de permutação e invariância.


Estruturas de campo

A simetria também é uma consideração importante na formação de escalas e acordes , sendo a música tradicional ou tonal composta por grupos não simétricos de alturas , como a escala diatônica ou o acorde maior . Escalas ou acordes simétricos , como a escala de tons inteiros , acordes aumentados ou acordes de sétima diminuta (sétima diminuta-diminuta), são considerados desprovidos de direção ou senso de movimento para frente, são ambíguos quanto à tonalidade ou centro tonal e têm uma funcionalidade diatônica menos específica . No entanto, compositores como Alban Berg , Béla Bartók e George Perle usaram eixos de simetria e/ou ciclos de intervalo de forma análoga a chaves ou centros tonais não tonais . George Perle explica "C–E, D–F♯, [e] Eb–G, são diferentes instâncias do mesmo intervalo … o outro tipo de identidade … tem a ver com eixos de simetria. C–E pertence a uma família de díades simetricamente relacionadas como segue:"

D D♯ E F F♯ G G♯
D C♯ C B A♯ UMA G♯

Assim, além de fazer parte da família intervalo-4, C–E também faz parte da família soma-4 (com C igual a 0).

+ 2 3 4 5 6 7 8
2 1 0 11 10 9 8
4 4 4 4 4 4 4

Os ciclos de intervalo são simétricos e, portanto, não diatônicos. No entanto, um segmento de sete notas de C5 (o ciclo de quintas, que são enarmônicos com o ciclo de quartas) produzirá a escala maior diatônica. Progressões tonais cíclicas nas obras de compositores românticos como Gustav Mahler e Richard Wagner formam uma ligação com as sucessões cíclicas de alturas na música atonal de modernistas como Bartók, Alexander Scriabin , Edgard Varèse e a escola de Viena. Ao mesmo tempo, essas progressões sinalizam o fim da tonalidade.

A primeira composição estendida consistentemente baseada em relações de altura simétricas foi provavelmente o Quarteto de Alban Berg , Op. 3 (1910).

Equivalência

Linhas de tom ou conjuntos de classes de alturas que são invariantes sob retrógrado são horizontalmente simétricos, sob inversão verticalmente. Veja também Ritmo assimétrico .

Na estética

A relação da simetria com a estética é complexa. Os humanos acham a simetria bilateral nos rostos fisicamente atraentes; indica saúde e aptidão genética. Em oposição a isso está a tendência para que a simetria excessiva seja percebida como chata ou desinteressante. Rudolf Arnheim sugeriu que as pessoas preferem formas que tenham alguma simetria e complexidade suficiente para torná-las interessantes.

Na literatura

A simetria pode ser encontrada de várias formas na literatura , sendo um exemplo simples o palíndromo onde um texto breve lê o mesmo para frente ou para trás. As histórias podem ter uma estrutura simétrica, como o padrão de ascensão e queda de Beowulf .

Veja também

Notas

Referências

Leitura adicional

links externos