Geometria esférica - Spherical geometry
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A geometria esférica é a geometria da superfície bidimensional de uma esfera . Neste contexto, a palavra "esfera" se refere apenas à superfície bidimensional e outros termos como "bola" ou "esfera sólida" são usados para a superfície junto com seu interior tridimensional.
Há muito estudada por suas aplicações práticas à navegação e astronomia , a geometria esférica tem muitas semelhanças e relações com, e diferenças importantes da geometria plana euclidiana . Em sua maior parte, a esfera foi estudada como uma parte da geometria euclidiana tridimensional (freqüentemente chamada de geometria sólida ), a superfície considerada como colocada dentro de um espaço 3-d ambiente. Também pode ser analisado por métodos "intrínsecos" que envolvem apenas a própria superfície, e não se referem a, ou mesmo pressupõem a existência de qualquer espaço circundante fora ou dentro da esfera.
Como uma esfera e um plano diferem geometricamente, a geometria esférica (intrínseca) tem algumas características de uma geometria não euclidiana e às vezes é descrita como sendo uma. No entanto, a geometria esférica não era considerada uma geometria não euclidiana completa suficiente para resolver o antigo problema de se o postulado paralelo é uma consequência lógica do resto dos axiomas de Euclides da geometria plana. A solução foi encontrada na geometria hiperbólica .
Visão geral
Na geometria plana (euclidiana) , os conceitos básicos são pontos e linhas (retas) . Na geometria esférica, os conceitos básicos são ponto e grande círculo . No entanto, dois grandes círculos em um plano se cruzam em dois pontos antípodas, ao contrário das linhas coplanares na geometria elíptica .
Na imagem tridimensional extrínseca, um grande círculo é a interseção da esfera com qualquer plano através do centro. Na abordagem intrínseca, um grande círculo é uma geodésica ; um caminho mais curto entre quaisquer dois de seus pontos, desde que estejam próximos o suficiente. Ou, na abordagem axiomática (também intrínseca) análoga aos axiomas de Euclides da geometria plana, "grande círculo" é simplesmente um termo indefinido, junto com postulados que estipulam as relações básicas entre grandes círculos e os também indefinidos "pontos". Este é o mesmo método de Euclides de tratar ponto e linha como noções primitivas indefinidas e axiomatizar suas relações.
Os grandes círculos, de muitas maneiras, desempenham o mesmo papel lógico na geometria esférica que as linhas na geometria euclidiana, por exemplo, como os lados de triângulos (esféricos). Isso é mais do que uma analogia; geometria esférica e plana e outras podem ser unificadas sob a égide da geometria construída a partir da medição de distância , onde "linhas" são definidas para significar caminhos mais curtos (geodésicas). Muitas afirmações sobre a geometria dos pontos e tais "linhas" são igualmente verdadeiras em todas essas geometrias, desde que as linhas sejam definidas dessa forma, e a teoria possa ser prontamente estendida a dimensões superiores. No entanto, como suas aplicações e pedagogia estão ligadas à geometria sólida, e porque a generalização perde algumas propriedades importantes das linhas no plano, a geometria esférica normalmente não usa o termo "linha" para se referir a qualquer coisa na própria esfera. Se desenvolvido como parte da geometria sólida, é feito uso de pontos, linhas retas e planos (no sentido euclidiano) no espaço circundante.
Na geometria esférica, os ângulos são definidos entre grandes círculos, resultando em uma trigonometria esférica que difere da trigonometria comum em muitos aspectos; por exemplo, a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico excede 180 graus.
Relação com geometrias semelhantes
A geometria esférica está intimamente relacionada à geometria elíptica .
Uma geometria importante relacionada com a da esfera é a do plano projetivo real ; é obtido identificando pontos antípodais (pares de pontos opostos) na esfera. Localmente, o plano projetivo possui todas as propriedades da geometria esférica, mas possui diferentes propriedades globais. Em particular, é não orientável ou unilateral e, ao contrário da esfera, não pode ser desenhada como uma superfície no espaço tridimensional sem se interceptar.
Conceitos de geometria esférica também podem ser aplicados à esfera oblonga , embora pequenas modificações devam ser implementadas em certas fórmulas.
Existem geometrias esféricas de dimensões superiores; veja geometria elíptica .
História
Antiguidade grega
O mais antigo trabalho matemático da Antiguidade até o nosso tempo é Sobre a esfera giratória (Περὶ κινουμένης σφαίρας, Peri kinoumenes sphairas ) de Autolycus de Pitane , que viveu no final do século IV aC.
A trigonometria esférica foi estudada pelos primeiros matemáticos gregos , como Teodósio da Bitínia , um astrônomo e matemático grego que escreveu Sphaerics , um livro sobre a geometria da esfera, e Menelau de Alexandria , que escreveu um livro sobre trigonometria esférica chamado Sphaerica e desenvolveu Menelau 'teorema .
Mundo islâmico
O Livro dos Arcos Desconhecidos de uma Esfera, escrito pelo matemático islâmico Al-Jayyani, é considerado o primeiro tratado sobre trigonometria esférica. O livro contém fórmulas para triângulos destros, a lei geral dos senos e a solução de um triângulo esférico por meio do triângulo polar.
O livro On Triangles, de Regiomontanus , escrito por volta de 1463, é a primeira obra trigonométrica pura da Europa. No entanto, Gerolamo Cardano notou um século depois que muito de seu material sobre trigonometria esférica foi retirado do trabalho do século XII do estudioso andaluz Jabir ibn Aflah .
Trabalho de Euler
Leonhard Euler publicou uma série de memórias importantes sobre geometria esférica:
- L. Euler, Principes de la trigonométrie sphérique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1753), 1755, p. 233-257; Opera Omnia, Série 1, vol. XXVII, pág. 277-308.
- L. Euler, Eléments de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1754), 1755, p. 258–293; Opera Omnia, Série 1, vol. XXVII, pág. 309–339.
- L. Euler, De curva rectificabili in superficie sphaerica, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 15, 1771, pp. 195-216; Opera Omnia, Série 1, Volume 28, pp. 142–160.
- L. Euler, De mensura angulorum solidorum, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 2, 1781, p. 31–54; Opera Omnia, Série 1, vol. XXVI, pág. 204–223.
- L. Euler, Problematis cuiusdam Pappi Alexandrini constructio, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 4, 1783, p. 91–96; Opera Omnia, Série 1, vol. XXVI, pág. 237–242.
- L. Euler, Geometrica et sphaerica quaedam, Mémoires de l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg 5, 1815, p. 96-114; Opera Omnia, Série 1, vol. XXVI, pág. 344–358.
- L. Euler, Trigonometria sphaerica universa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 3, 1782, p. 72–86; Opera Omnia, Série 1, vol. XXVI, pág. 224–236.
- L. Euler, Variae speculationes super area triangulorum sphaericorum, Nova Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 10, 1797, p. 47–62; Opera Omnia, Série 1, vol. XXIX, pág. 253–266.
Propriedades
A geometria esférica possui as seguintes propriedades:
- Quaisquer dois grandes círculos se cruzam em dois pontos diametralmente opostos, chamados de pontos antípodais .
- Quaisquer dois pontos que não sejam pontos antípodas determinam um grande círculo único.
- Existe uma unidade natural de medida de ângulo (baseada em uma revolução), uma unidade natural de comprimento (baseada na circunferência de um grande círculo) e uma unidade natural de área (baseada na área da esfera).
- Cada grande círculo está associado a um par de pontos antípodas, chamados seus pólos, que são as intersecções comuns do conjunto de grandes círculos perpendiculares a ele. Isso mostra que um grande círculo é, no que diz respeito à medição da distância na superfície da esfera , um círculo: o local de todos os pontos a uma distância específica de um centro.
- Cada ponto está associado a um grande círculo único, denominado círculo polar do ponto, que é o grande círculo no plano que passa pelo centro da esfera e perpendicular ao diâmetro da esfera pelo ponto dado.
Como existem dois arcos determinados por um par de pontos, que não são antípodais, no grande círculo eles determinam, três pontos não colineares não determinam um único triângulo. No entanto, se considerarmos apenas triângulos cujos lados são arcos menores de grandes círculos, temos as seguintes propriedades:
- A soma dos ângulos de um triângulo é maior que 180 ° e menor que 540 °.
- A área de um triângulo é proporcional ao excesso de sua soma de ângulo em 180 °.
- Dois triângulos com a mesma soma angular são iguais em área.
- Existe um limite superior para a área dos triângulos.
- A composição (produto) de duas reflexões através de um grande círculo pode ser considerada como uma rotação em torno de qualquer um dos pontos de intersecção de seus eixos.
- Dois triângulos são congruentes se e somente se eles correspondem sob um produto finito de tais reflexões.
- Dois triângulos com ângulos correspondentes iguais são congruentes (ou seja, todos os triângulos semelhantes são congruentes).
Relação com os postulados de Euclides
Se "linha" significa um grande círculo, a geometria esférica obedece a dois dos postulados de Euclides : o segundo postulado ("para produzir [estender] uma linha reta finita continuamente em uma linha reta") e o quarto postulado ("que todos os ângulos retos são iguais entre si "). No entanto, viola os outros três: ao contrário do primeiro postulado, não existe uma rota única mais curta entre quaisquer dois pontos ( pontos antípodais como os pólos norte e sul em um globo esférico são contra-exemplos); ao contrário do terceiro postulado, uma esfera não contém círculos de raio arbitrariamente grande; e ao contrário do quinto postulado (paralelo) , não há ponto através do qual uma linha possa ser desenhada que nunca cruze uma linha dada.
Uma afirmação que equivale ao postulado paralelo é que existe um triângulo cujos ângulos somam 180 °. Visto que a geometria esférica viola o postulado do paralelo, não existe tal triângulo na superfície de uma esfera. A soma dos ângulos de um triângulo em uma esfera é 180 ° (1 + 4 f ) , onde f é a fração da superfície da esfera que está contida pelo triângulo. Para qualquer valor positivo de f , isso excede 180 °.
Veja também
- Astronomia esférica
- Cônica esférica
- Distância esférica
- Poliedro esférico
- Fórmula de meio lado
- Esfera Lénárt
- Versor
Notas
Referências
- Meserve, Bruce E. (1983) [1959], Fundamental Concepts of Geometry , Dover, ISBN 0-486-63415-9
- Papadopoulos, Athanase (2015), Euler, la géométrie sphérique et le calcul des variables. In: Leonhard Euler: Mathématicien, physicien et théoricien de la musique (dir. X. Hascher et A. Papadopoulos) , Edições CNRS, Paris, ISBN 978-2-271-08331-9
- Van Brummelen, Glen (2013). Matemática Celestial: A Arte Esquecida da Trigonometria Esférica . Princeton University Press . ISBN 9780691148922. Retirado em 31 de dezembro de 2014 .
- Roshdi Rashed e Athanase Papadopoulos (2017) Menelaus 'Spherics: Early Translation e versão de al-Mahani' / alHarawi. Edição crítica das Esféricas de Menelau a partir dos manuscritos árabes, com comentários históricos e matemáticos , Série De Gruyter : Scientia Graeco-Arabica 21 ISBN 978-3-11-057142-4