Área - Area


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Área
símbolos comuns
UMA
unidade SI Metro quadrado [m 2 ]
Em unidades de base SI m 2
Três formas em uma grade quadrada
A área combinada destas três formas é aproximadamente 15,57 quadrados .

Área é a quantidade que expressa a extensão de um bidimensional figura ou forma , ou lâmina plana , no plano . A área de superfície é o seu análogo na bidimensional da superfície de um objecto tridimensional . Área pode ser entendida como a quantidade de material com uma dada espessura que seria necessário para formar um modelo da forma, ou a quantidade de tinta necessária para cobrir a superfície com um único revestimento. É o análogo bidimensional do comprimento de uma curva (um conceito unidimensional) ou o volume de um sólido (um conceito tridimensional).

A área de um formato pode ser medida comparando a forma de quadrados de tamanho fixo. No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade padrão de área é o metro quadrado (escrito como m 2 ), que é a área de um quadrado, cujos lados são um metro de comprimento. Uma forma com uma área de três metros quadrados teria a mesma área que três desses quadrados. Em matemática , o quadrado unidade é definida como tendo uma área, e a área de qualquer outra forma ou superfície é uma adimensional número real .

Existem várias conhecidas fórmulas para as áreas de formas simples, como triângulos , retângulos e círculos . Usando estas fórmulas, a área de qualquer polígono pode ser encontrado por divisão do polígono em triângulos . Para formas com limite curvado, o cálculo é geralmente necessária para calcular a área. Na verdade, o problema de determinar a área de figuras planas foi a principal motivação para o desenvolvimento histórico do cálculo .

Para obter uma forma sólida, tal como uma esfera , cone, ou cilindro, a área da sua superfície de limite é chamado a área de superfície . Fórmulas para as superfícies de formas simples foram computados pelos gregos antigos , mas computar a área de superfície de uma forma mais complicada geralmente requer cálculo multivariado .

Área desempenha um papel importante na matemática moderna. Para além da sua importância óbvia em geometria e cálculo, a área está relacionada com a definição de determinantes de álgebra linear , e é uma propriedade básica de superfícies em geometria diferencial . Na análise , a área de um subconjunto do avião é definida utilizando medida de Lebesgue , embora nem todos os subconjunto é mensurável. Em geral, a área em matemática superior é visto como um caso especial do volume para regiões bidimensionais.

Área pode ser definida por meio da utilização de axiomas, definindo-o como uma função de uma colecção de certas figuras planas para o conjunto de números reais. Pode-se provar que tal função existe.

Definição formal

Uma abordagem para definir o que se entende por "área" é através de axiomas . "Área" pode ser definida como uma função de um conjunto H de tipo especial de figuras planas (denominados conjuntos mensuráveis) para o conjunto de números reais, que satisfaz as seguintes propriedades:

  • Para todos S em H , um ( S ) ≥ 0.
  • Se S e T são em M , em seguida, por isso são ST e ST , e também um ( St ) = a ( S ) + um ( T ) - de uma ( ST ).
  • Se S e T são em M com ST , em seguida, t - S é em M e um ( T - S ) = um ( T ) - de uma ( S ).
  • Se um conjunto S é em H e S é congruente com T em seguida, T também está em M e um ( S ) = um ( T ).
  • Cada retângulo R está em M . Se o rectângulo tem comprimento h e amplitude k , em seguida, uma ( R ) = hk .
  • Deixe Q ser um conjunto fechado entre duas regiões da etapa S e T . Uma região passo é formada a partir de uma união finito de rectângulos adjacentes que descansam sobre uma base comum, ou seja, SQT . Se houver um número ímpar c tal que uma ( S ) ≤ c ≤ um ( t ) para todos os tais regiões da etapa S e T , em seguida, um ( Q ) = c .

Pode-se provar que tal função área realmente existe.

Unidades

Um quadrado feito de tubo de PVC na grama
Um metro quadrado entre parcelas feitos de tubo de PVC.

Cada unidade de comprimento tem uma unidade correspondente de área, isto é, a área de um quadrado com o determinado comprimento de lado. Assim áreas pode ser medido em metros quadrados (m 2 ), centímetro quadrado (cm 2 ), milímetros quadrados (mm 2 ), quilómetros quadrados (km 2 ), pés quadrados (ft 2 ), jardas quadradas (km 2 ), milhas quadradas (mI 2 ), e assim por diante. Algebricamente, estas unidades podem ser pensado como os quadrados das unidades de comprimento correspondente.

A unidade SI de área é o metro quadrado, que é considerado uma unidade SI derivada .

conversões

Um diagrama que mostra o factor de conversão entre diferentes áreas
Embora existam 10 mm em 1 cm, não são 100 mm 2 in 1 cm 2 .

Cálculo da área de um quadrado, cujo comprimento e largura são um metro seria:

1 metros x 1 metro = 1 m 2

e assim, de um rectângulo com lados diferentes (por exemplo comprimento de 3 metros e largura de 2 metros) teriam uma área em unidades quadradas que podem ser calculados como:

3 metros x 2 metros = 6 m 2 . Isto é equivalente a 6 milhões milímetros quadrados. Outras conversões úteis são:

  • 1 km = quadrados 1.000.000 metros quadrados
  • 1 metro quadrado = 10.000 centímetros quadrados = 1.000.000 milímetros quadrados
  • 1 centímetro quadrado = 100 milímetros quadrados.

unidades não métricas

Em unidades não-métricas, a conversão entre duas unidades quadradas é o quadrado da conversão entre as unidades de comprimento correspondente.

1 = 12 polegadas ,

a relação entre os pés quadrados e é polegadas quadradas

1 pé quadrado = 144 polegadas quadradas,

onde 144 = 12 2 = 12 × 12. Da mesma forma:

  • 1 jarda quadrada = 9 pés quadrados
  • 1 milha = 3,097,600 jardas quadrados quadrados = 27,878,400 pés quadrados

Além disso, os factores de conversão incluem:

  • 1 polegada = 6.4516 centímetros quadrados quadrados
  • 1 pé quadrado = 0,092 903 04 metros quadrados
  • 1 jarda quadrado = 0,836 127 36 metros quadrados
  • Uma milha quadrada = 2.589 988 110 336 quilómetros quadrados

Outras unidades, incluindo histórico

Existem várias outras unidades comuns para a área. O ARE foi a unidade original da área no sistema métrico , com:

  • 1 são = 100 metros quadrados

Embora o são caiu fora de uso, o hectare ainda é comumente usado para medir a terra:

  • 1 hectare = 100 ares = 10.000 metros quadrados = 0,01 km quadrados

Outras unidades métricas incomuns de área incluem o tetrad , o hectad , ea miríade .

O acre também é comumente usado para medir áreas de terra, onde

  • 1 acre = 4.840 jardas quadradas = 43.560 pés quadrados.

Um acre é de aproximadamente 40% de um hectare.

Na escala atômica, a área é medida em unidades de celeiros , tal que:

  • 1 celeiro = 10 -28 metros quadrados.

O celeiro é comumente utilizado para descrever a área da secção transversal de interacção na física nuclear .

Na Índia,

  • 20 dhurki = 1 dhur
  • 20 dhur = 1 khatha
  • 20 Khata = 1 bigha
  • 32 khata = 1 acre

História

área do círculo

No século 5 aC, Hipócrates de Chios foi o primeiro a mostrar que a área de um disco (região cercada por um círculo) é proporcional ao quadrado do seu diâmetro, como parte de sua quadratura do lune de Hipócrates , mas fez não identificar a constante de proporcionalidade . Eudoxo de Cnido , também no século 5 aC, também descobriu que a área de um disco é proporcional ao seu raio ao quadrado.

Posteriormente, Livro I de Euclides Elementos tratados com igualdade de áreas entre figuras bidimensionais. O matemático Arquimedes usou as ferramentas de geometria euclidiana para mostrar que a área dentro de um círculo é igual ao de um triângulo retângulo cuja base tem o comprimento da circunferência do círculo e cuja altura é igual raio do círculo, em seu livro Medida do Círculo . (A circunferência é 2 π r , e a área de um triângulo é metade dos tempos de base a altura, obtendo-se a área π R 2 para o disco.) Arquimedes aproximado do valor de π (e, portanto, a área de um círculo unidade de raio ) com seu método dobrando , em que ele inscrito um triângulo regular em um círculo e observou sua área, em seguida, dobrou o número de lados para dar um regular hexágono , então repetidamente duplicou o número de lados, como a área do polígono tem cada vez mais perto que do círculo (e fez o mesmo com polígonos circunscritos ).

Cientista suíço Johann Heinrich Lambert em 1761 provou que π , a relação da área de um círculo e seu raio ao quadrado, é irracional , o que significa que não é igual ao quociente de quaisquer dois números inteiros. Em 1794 matemático francês Adrien-Marie Legendre provou que π 2 é irracional; Isto também demonstra que π é irracional. Em 1882, o matemático alemão Ferdinand von Lindemann provou que π é transcendental (não a solução de qualquer equação polinomial com coeficientes racionais), confirmando uma conjectura feita por ambos Legendre e Euler.

área do triângulo

Heron (ou herói) de Alexandria encontrado o que é conhecido como a fórmula de Heron para a área de um triângulo em termos de seus lados, e uma prova pode ser encontrada em seu livro, Metrica , escrito por volta de 60 CE. Sugeriu-se que Arquimedes conhecia a fórmula ao longo de dois séculos antes, e desde Metrica é uma coleção do conhecimento matemático disponível no mundo antigo, é possível que a fórmula anterior à referência dada nesse trabalho.

Em 499 Aryabhata , um grande matemático - astrônomo da idade clássica da matemática indiana e astronomia indiana , expressou a área de um triângulo como metade os tempos de base a altura na Aryabhatiya (seção 2.6).

Uma fórmula equivalente a Heron do foi descoberto pelos chineses independentemente dos gregos. Foi publicado em 1247 na Shushu Jiuzhang ( " Mathematical Treatise em nove seções "), escrito por Qin Jiushao .

área de quadrilátero

No sétimo século EC, Brahmagupta desenvolveu uma fórmula, agora conhecida como fórmula de Brahmagupta , para a área de um quadrilátero cíclico (um quadrilátero inscrita num círculo) em termos dos seus lados. Em 1842 os matemáticos alemães Carl Anton Bretschneider e Karl Georg Christian von Staudt encontrado independentemente uma fórmula, conhecida como fórmula de Bretschneider , para a área de qualquer quadrilátero.

área geral polígono

O desenvolvimento de coordenadas cartesianas por René Descartes no século 17 permitiu o desenvolvimento da fórmula de peritos para a área de qualquer polígono com conhecidos vértice locais por Gauss no século 19.

Áreas determinado usando cálculo

O desenvolvimento do cálculo integral no final do século 17 forneceu ferramentas que podem ser posteriormente utilizados para calcular áreas mais complicadas, como a área de uma elipse e as áreas de superfície de vários objetos tridimensionais curvas.

fórmulas da área

fórmulas polígono

Para um não-auto-intersecção ( simples polígono), as coordenadas cartesianas ( i = 0, 1, ..., n -1) de cujo n vértices são conhecidos, a área é dada pela fórmula agrimensor :

em que quando i = n -1, então i 1 é expressa como o módulo n e portanto refere-se a 0.

retângulos

Um rectângulo com comprimento e largura marcado
A área deste retângulo é  lw .

A fórmula de base mais área é a fórmula para a área de um rectângulo . Dado um rectângulo com um comprimento L e largura w , a fórmula para a área é:

Um = LW  (rectângulo).

Ou seja, a área do retângulo é o comprimento multiplicado pela largura. Tal como um caso especial, como l = w , no caso de um quadrado, a área de um quadrado com um comprimento de lado s é dado pela fórmula:

A = s 2  (quadrado).

A fórmula para a área de um rectângulo segue directamente a partir das propriedades básicas de área, e é por vezes tomada como uma definição ou axioma . Por outro lado, se a geometria é desenvolvido antes da aritmética , esta fórmula pode ser usada para definir a multiplicação de números reais .

Um diagrama que mostra como um paralelogramo pode ser re-dispostos na forma de um retângulo
figuras da área iguais.

Dissecção, paralelogramos e triângulos

A maioria das outras fórmulas simples para a área siga a partir do método de dissecção . Isso envolve o corte de uma forma em pedaços, cujas áreas devem somar para a área da forma original.

Por exemplo, qualquer paralelogramo pode ser subdividida em um trapézio e um triângulo , como se mostra na figura para a esquerda. Se o triângulo é movido para o outro lado do trapézio, em seguida, o valor resultante é um rectângulo. Daqui resulta que a área do paralelogramo é o mesmo que a área do retângulo:

Um = bh  (paralelogramo).
Uma fração de paralelogramo em dois triângulos iguais
Dois triângulos iguais.

No entanto, o mesmo também paralelogramo pode ser cortado ao longo de uma diagonal em duas congruentes triângulos, como mostrado na figura da direita. Segue-se que a área de cada triângulo é metade da área do paralelogramo:

 (triângulo).

Argumentos semelhantes podem ser usados para encontrar fórmulas de área para o trapézio , bem como mais complicados polígonos .

Área de formas curvas

círculos

Um círculo dividido em muitos setores pode ser re-arranjadas aproximadamente para formar um paralelogramo
Um círculo pode ser dividida em setores que reorganizam para formar uma aproximada paralelogramo .

A fórmula para a área de um círculo (mais propriamente chamado a zona delimitada por um círculo ou da área de um disco ) baseia-se num método semelhante. Dado um círculo de raio r , que é possível para particionar o círculo em sectores , como mostrado na figura da direita. Cada sector é aproximadamente de forma triangular, e os sectores podem ser reorganizadas para formar um paralelogramo aproximada. A altura deste paralelogramo é R , e a largura é a metade da circunferência do círculo, ou π r . Assim, a área total do círculo é π r 2 :

Um = π r 2  (círculo).

Embora a dissecação utilizadas nesta fórmula é apenas aproximado, o erro torna-se menor e menor do que o círculo é dividida em mais e mais sectores. O limite das áreas dos paralelogramos aproximados é exactamente π r 2 , que é a área do círculo.

Este argumento é, na verdade, uma simples aplicação das idéias de cálculo . Nos tempos antigos, o método da exaustão foi usado em uma maneira similar para encontrar a área do círculo, e este método é agora reconhecido como um precursor para cálculo integral . Usando métodos modernos, a área de um círculo pode ser calculado usando uma integral definida :

elipses

A fórmula para a zona delimitada por uma elipse é relacionada com a fórmula de um círculo; para uma elipse com semi-grandes e semi-pequenas dos eixos x e y , a fórmula é:

superfície

Uma esfera azul dentro de um cilindro da mesma altura e raio
Arquimedes mostrou que a área da superfície de uma esfera é exactamente quatro vezes a área de um plano de disco com o mesmo raio, e o volume fechado pela esfera é exactamente 2/3 do volume de um cilindro da mesma altura e raio.

A maioria das fórmulas de base para a área de superfície pode ser obtida por corte de superfícies e achatando-os para fora. Por exemplo, se a superfície lateral de um cilindro (ou qualquer prisma ) é cortada no sentido do comprimento, a superfície pode ser achatado num rectângulo. Da mesma forma, se é feito um corte ao longo do lado de um cone , a superfície lateral pode ser achatada para um sector de um círculo, e a área resultante calculado.

A fórmula para a área de superfície de uma esfera é mais difícil de obter: porque uma esfera tem diferente de zero curvatura Gaussian , ele não pode ser achatada. A fórmula para a área da superfície de uma esfera foi obtido pela primeira vez por Arquimedes na sua obra Sobre a Esfera e cilindro . A fórmula é:

A = 4 πr 2  (esfera),

onde r é o raio da esfera. Tal como acontece com a fórmula para a área de um círculo, qualquer derivação desta fórmula usa inerentemente métodos semelhantes aos do cálculo .

fórmulas gerais

Áreas de figuras 2-dimensionais

  • Um triângulo : (em que B é qualquer lado, e h é a distância entre a linha na qual B encontra-se para o outro vértice do triângulo). Esta fórmula pode ser usado se a altura h é conhecido. Se os comprimentos dos três lados são conhecidos, então a fórmula de Heron pode ser usado: onde um , b , c são os lados do triângulo, e é a metade do seu perímetro. Se um ângulo e seus dois lados incluídos são dados, a área é onde C é o ângulo determinado e um e b são os seus lados incluídos. Se o triângulo é representada graficamente em um plano de coordenadas, uma matriz pode ser utilizada e é simplificada para o valor absoluto do . Esta fórmula também é conhecida como a fórmula agulheta e é uma maneira fácil de resolver para a área de um triângulo de coordenadas substituindo os 3 pontos (x 1 , y 1 ) , (x 2 , Y 2 ) , e (x 3 , y 3 ) . A fórmula agulheta também pode ser utilizado para encontrar as áreas de outros polígonos quando os seus vértices são conhecidos. Outra abordagem para um triângulo de coordenadas é usar o cálculo para encontrar a área.
  • Um polígono simples construída sobre uma grelha de pontos iguais-distanciada (isto é, os pontos com nero inteiro coordenadas) de tal modo que todos os vértices do polígono são pontos da grelha: , onde i é o número de pontos da grelha no interior do polígono e b é o número de pontos de contorno . Este resultado é conhecido como teorema de Pick .

Área em cálculo

Um diagrama que mostra a área entre uma dada curva e o eixo x
A integração pode ser considerado como medição da área sob uma curva, definida por f ( x ), entre dois pontos (aqui um e b ).
Um diagrama que mostra a área entre duas funções
A área entre os dois gráficos podem ser avaliados através do cálculo da diferença entre os integrais das duas funções
  • A área entre uma curva de valor positivo e o eixo horizontal, medido entre dois valores um e b (b é definido como o maior dos dois valores) no eixo horizontal, é dada pela integral a partir de um de b da função que representa a curva:
onde representa a curva com o maior valor de y.
  • A zona delimitada por uma curva paramétrico com terminais é dado pelas integrais de linha :

(veja teorema de Green ) ou o z -component de

zona delimitada entre duas funções quadráticas

Para encontrar a área delimitada entre duas funções quadráticas , nós subtrair um do outro para escrever a diferença como

onde f ( x ) é o limite superior quadrática e g ( x ) é o limite inferior quadrática. Definir o discriminante de f ( x ) - g ( x ) como

Ao simplificar a fórmula integral entre os gráficos das duas funções (como determinado na secção de cima) e usando a fórmula de Localidade , podemos obter

O acima permanece válido se uma das funções delimitadora é linear em vez de quadrático.

a área de superfície das figuras 3-dimensionais

  • Cone : , onde r é o raio da base circular, e h é a altura. Isso também pode ser reescrita como ou onde r é o raio e L é a altura inclinada do cone. é a área da base, enquanto é a área da superfície lateral do cone.
  • cubo : , onde s é o comprimento de um bordo.
  • cilindro : , onde r é o raio de uma base e h é a altura. O 2 R também pode ser reescrita como d , em que d é o diâmetro.
  • prisma : 2B + Ph, onde B é a área de uma base, P é o perímetro de uma base, e h representa a altura do prisma.
  • pirâmide : , onde B é a área da base, P é o perímetro da base, e L é o comprimento da inclinação.
  • prisma rectangular : , onde é o comprimento, W é a largura, e h é a altura.

A fórmula geral para a área de superfície

A fórmula geral para a área de superfície do gráfico de uma função continuamente diferenciável , onde e é uma região no plano xy com o contorno liso;

Uma fórmula ainda mais geral para a área do gráfico de uma superfície paramétrico na forma de vector , onde é uma função continuamente diferenciável de vector é:

Lista de fórmulas

fórmulas comuns adicionais para a área:
Forma Fórmula variáveis
Regular triângulo ( triângulo equilátero ) é o comprimento de um lado do triângulo.
Triângulo é metade do perímetro, , e são o comprimento de cada lado.
Triângulo e são quaisquer dois lados, e é o ângulo entre eles.
Triângulo e são a base de e altitude (medida perpendicularmente à base), respectivamente.
Triângulo isósceles é o comprimento de um dos dois lados iguais e é o comprimento de um outro lado.
Rhombus / Kite e são os comprimentos das duas diagonais do losango ou pipa.
paralelograma é o comprimento da base e é a altura perpendicular.
trapézio e são os lados paralelos e a distância (altura) entre os paralelos.
regular hexágono é o comprimento de um lado do hexágono.
regular octagon é o comprimento de um lado do octógono.
Polígono regular é o comprimento do lado e é o número de lados.
Polígono regular é o perímetro e é o número de lados.
Polígono regular é o raio de um círculo circunscrito, é o raio de um círculo inscrito, e é o número de lados.
Polígono regular é o número de lados, é o comprimento do lado, é o apótema , ou o raio de um círculo inscrito no polígono, e é o perímetro do polígono.
Círculo é o raio e o diâmetro .
setor circular e são o raio e o ângulo (em radianos ), respectivamente, e é o comprimento do perímetro.
Elipse e são os semi-principal e semi-pequenas eixos, respectivamente.
Área de superfície total de um cilindro e são o raio e altura, respectivamente.
a área de superfície lateral de um cilindro e são o raio e altura, respectivamente.
Superfície total de uma esfera e são o raio e diâmetro, respectivamente.
Superfície total de uma pirâmide é a superfície de base, é o perímetro da base e é a altura inclinada.
Superfície total de uma pirâmide tronco é a superfície de base, é o perímetro da base e é a altura inclinada.
Praça de conversão área circular é a área do quadrado em unidades quadrados.
Circular a quadratura conversão área é a área do círculo em unidades circulares.

Os cálculos acima mostram como encontrar as áreas de muitos comuns formas .

As áreas de polígonos irregulares pode ser calculada usando a " fórmula de peritos ".

Relação de área de perímetro

A desigualdade isoperimétrica afirma que, para uma curva fechada de comprimento L (de modo que a região que abrange tem perímetro L ) e para a área A da região que abrange,

e igualdade se e somente se a curva é um círculo . Assim, um círculo tem a maior área de qualquer figura fechada com um dado perímetro.

No outro extremo, uma figura com um dado perímetro L pode ter uma área arbitrariamente pequeno, tal como ilustrado por um losango que é "desviado" arbitrariamente longe de modo a que dois dos seus ângulos são arbitrariamente perto de 0 ° C e os outros dois são arbitrariamente próximo para 180 °.

Para um círculo, a relação entre a área para a circunferência (o termo para o perímetro de um círculo), é igual a metade do raio r . Isto pode ser visto a partir da fórmula área πr 2 e a fórmula circunferência 2 πr .

A área de um polígono regular é metade de seus tempos de perímetro do apótema (onde o apótema é a distância do centro ao ponto mais próximo em qualquer lado).

Fractals

Dobrando os comprimentos das arestas de um polígono multiplica a sua área por quatro, que é dois (a razão entre o novo com o velho comprimento lateral) elevado à potência de dois (a dimensão do espaço do polígono reside no). Mas se os comprimentos unidimensionais de um fractal desenhado em duas dimensões são o dobro, o conteúdo espacial das escalas fractal por uma potência de dois, que não é necessariamente um número inteiro. Este poder é chamado a dimensão fractal do fractal.

bisectors área

Há uma infinidade de linhas que bissectam a área de um triângulo. Três deles são as medianas do triângulo (que ligam pontos médios dos lados com os vértices opostos), e estes são concorrentes no do triângulo centróide ; na verdade, eles são os únicos bisectors área que passam pelo centróide. Qualquer linha através de um triângulo que divide tanto a área do triângulo e seu perímetro em meia passa por incenter do triângulo (o centro de sua incircle ). Há qualquer um, dois ou três destes para qualquer triângulo.

Qualquer linha que passa pelo ponto médio de um paralelogramo corta a área.

Todos os bisectors de um círculo ou outra elipse da área passam pelo centro, e quaisquer acordes através do centro bissetriz da área. No caso de um círculo que são os diâmetros do círculo.

Otimização

Dado um contorno de arame, a superfície da área que mede menos ( "enchimento") é uma superfície mínima . Exemplos conhecidos incluem bolhas de sabão .

A questão da área de enchimento do círculo Riemannianos permanece aberta.

O círculo possui a maior área de qualquer objecto bidimensional tendo o mesmo perímetro.

Um polígono cíclico (um inscrita num círculo) tem a maior área de qualquer polígono com um determinado número de lados dos mesmos comprimentos.

A versão da desigualdade isoperimétrica para triângulos afirma que o triângulo de maior área entre todos aqueles com um determinado perímetro é equilátero .

O triângulo da maior área de todos os inscritos em um determinado círculo é equilátero; eo triângulo de menor área de todos aqueles circunscrito em torno de um círculo dado é equilátero.

A relação entre a área da circunferência inscrita para a área de um triângulo equilátero, , é maior do que a de qualquer triângulo não equilátero.

A relação entre a área para o quadrado do perímetro de um triângulo equilátero, é maior do que para qualquer outro triângulo.

Veja também

Referências

links externos