Geometria não arquimediana - Non-Archimedean geometry

Em matemática , a geometria não arquimediana é qualquer uma das várias formas de geometria em que o axioma de Arquimedes é negado. Um exemplo de tal geometria é o plano Dehn . As geometrias não arquimedianas podem, como o exemplo indica, ter propriedades significativamente diferentes da geometria euclidiana .

Existem dois sentidos em que o termo pode ser usado, referindo-se a geometrias sobre campos que violam um dos dois sentidos da propriedade arquimediana (isto é, com respeito à ordem ou magnitude).

Geometria sobre um campo ordenado não arquimediano

O primeiro sentido do termo é a geometria sobre um campo ordenado não arquimediano , ou um subconjunto dele. O citado plano de Dehn toma o autoproduto da porção finita de um certo campo ordenado não arquimediano com base no campo de funções racionais . Nesta geometria, existem diferenças significativas da geometria euclidiana; em particular, existem infinitos paralelos para uma linha reta através de um ponto - então o postulado paralelo falha - mas a soma dos ângulos de um triângulo ainda é um ângulo reto.

Intuitivamente, em tal espaço, os pontos em uma linha não podem ser descritos pelos números reais ou um subconjunto deles, e existem segmentos de comprimento "infinito" ou "infinitesimal".

Geometria sobre um campo de valor não arquimediano

O segundo sentido do termo é a geometria métrica sobre um campo de valor não arquimediano , ou espaço ultramétrico . Em tal espaço, resultam ainda mais contradições para a geometria euclidiana. Por exemplo, todos os triângulos são isósceles e bolas sobrepostas se aninham. Um exemplo de tal espaço são os números p-ádicos .

Intuitivamente, em tal espaço, as distâncias falham em "somar" ou "acumular".

Referências

  1. ^ Robin Hartshorne , Geometria: Euclides e além (2000), p. 158.
  2. ^ Hilbert, David (1902), The foundations of geometry (PDF) , The Open Court Publishing Co., La Salle, Ill., MR  0116216
  3. ^ Conrad, B. "Várias abordagens à geometria não-arquimediana. Em geometria p-ádica (palestras da Escola de Inverno de 2007 do Arizona). Série de palestras da Universidade AMS." Amer. Matemática. Soc., Providence, RI 41 (2008): 78.