Bola (matemática) - Ball (mathematics)

No espaço euclidiano , uma bola é o volume delimitado por uma esfera

Em matemática , uma bola é o espaço de volume delimitado por uma esfera ; também é chamada de esfera sólida . Pode ser uma bola fechada (incluindo os pontos de limite que constituem a esfera) ou uma bola aberta (excluindo-os).

Esses conceitos são definidos não apenas no espaço euclidiano tridimensional , mas também para dimensões inferiores e superiores e para espaços métricos em geral. Uma bola ou hiperbola em n dimensões é chamada de n -bola e é limitada por uma ( n - 1 ) -sfera . Assim, por exemplo, uma bola no plano euclidiano é a mesma coisa que um disco , a área delimitada por um círculo . No espaço tridimensional euclidiano , uma bola é considerada o volume limitado por uma esfera bidimensional . Em um espaço unidimensional , uma bola é um segmento de linha .

Em outros contextos, como na geometria euclidiana e no uso informal, esfera às vezes é usada para significar bola .

No espaço euclidiano

Em euclidiana n -espaço, um (aberta) n -ball de raio r e do centro x é o conjunto de todos os pontos de distância inferior a r a partir de x . Uma bola n fechada de raio r é o conjunto de todos os pontos de distância menor ou igual a r longe de x .

No n- espaço euclidiano , cada bola é limitada por uma hiperesfera . A bola é um intervalo limitado quando n = 1 , é um disco limitado por um círculo quando n = 2 e é limitado por uma esfera quando n = 3 .

Volume

O volume n- dimensional de uma bola euclidiana de raio R no espaço euclidiano n- dimensional é:

onde  Γ é Euler da função gama (que pode ser pensada como uma extensão do fatorial função de argumentos fracionados). O uso de fórmulas explícitas para valores específicos da função gama em inteiros e meio inteiros fornece fórmulas para o volume de uma bola euclidiana que não requerem uma avaliação da função gama. Estes são:

Na fórmula para volumes dimensionais ímpares, o fatorial duplo (2 k + 1) !! é definido para números inteiros ímpares 2 k + 1 como (2 k + 1) !! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ⋯ ⋅ (2 k - 1) ⋅ (2 k + 1) .

Em espaços métricos gerais

Seja ( M , d ) um espaço métrico , ou seja, um conjunto M com uma métrica (função de distância) d . A bola aberta (métrica) de raio r > 0 centrada em um ponto p em M , geralmente denotada por B r ( p ) ou B ( p ; r ) , é definida por

A bola fechada (métrica), que pode ser denotada por B r [ p ] ou B [ p ; r ] , é definido por

Observe em particular que uma bola (aberta ou fechada) sempre inclui a própria p , uma vez que a definição requer r > 0 .

O fechamento da bola aberta B r ( p ) é geralmente denotado como B r ( p ) . Embora seja sempre o caso de B r ( p ) ⊆ B r ( p )B r [ p ] , nem sempre é o caso de B r ( p ) = B r [ p ] . Por exemplo, em um espaço métrica X com a métrica discreta , um tem B 1 ( p ) = {p} e B 1 [ P ] = X , para qualquer pX .

Uma bola unitária (aberta ou fechada) é uma bola de raio 1.

Um subconjunto de um espaço métrico é limitado se estiver contido em alguma bola. Um conjunto é totalmente limitado se, dado qualquer raio positivo, ele é coberto por um número finito de bolas desse raio.

As bolas abertas de um espaço métrico podem servir de base , dando a esse espaço uma topologia , cujos conjuntos abertos são todos uniões possíveis de bolas abertas. Essa topologia em um espaço métrico é chamada de topologia induzida pela métrica d .

Em espaços vetoriais normados

Qualquer espaço vetorial normado V com norma também é um espaço métrico com a métrica. Nesses espaços, uma bola arbitrária de pontos em torno de um ponto com uma distância menor que pode ser vista como uma cópia escalonada (por ) e traduzida (por ) de uma bola unitária Essas bolas "centralizadas" com são denotadas com

As bolas euclidianas discutidas anteriormente são um exemplo de bolas em um espaço vetorial normatizado.

norma p

Numa cartesiano espaço n com o p -norm L p , que é

uma bola aberta em torno da origem com raio é dada pelo conjunto

Para n = 2 , em um plano bidimensional , "bolas" de acordo com a norma L 1 (freqüentemente chamadas de táxi ou métrica de Manhattan ) são delimitadas por quadrados com suas diagonais paralelas aos eixos coordenados; aqueles de acordo com a norma L , também chamada de métrica de Chebyshev , têm quadrados com seus lados paralelos aos eixos coordenados como seus limites. A norma L 2 , conhecida como métrica euclidiana, gera os discos bem conhecidos dentro de círculos, e para outros valores de p , as bolas correspondentes são áreas delimitadas por curvas de Lamé (hipoelipses ou hiperelipses).

Para n = 3 , as L 1 - bolas estão dentro do octaedro com diagonais do corpo alinhadas com os eixos , as L ∞- bolas estão dentro dos cubos com bordas alinhadas com os eixos , e os limites das bolas para L p com p > 2 são superelipsoides . Obviamente, p = 2 gera o interior das esferas usuais.

Norma convexa geral

Mais geralmente, tendo em conta qualquer centralmente simrica , delimitada , aberta , e convexa subconjunto X de n , pode-se definir um padrão em n onde as bolas são todos traduzidos e uniformemente dimensionado cópias de  X . Observe que este teorema não é válido se o subconjunto "aberto" for substituído pelo subconjunto "fechado", porque o ponto de origem se qualifica, mas não define uma norma em  n .

Em espaços topológicos

Pode-se falar de bolas em qualquer espaço topológico X , não necessariamente induzido por uma métrica. Uma bola topológica n- dimensional (aberta ou fechada) de X é qualquer subconjunto de X que seja homeomórfico a uma bola n- euclidiana (aberta ou fechada) . As n -balls topológicas são importantes na topologia combinatória , como os blocos de construção dos complexos celulares .

Qualquer n -bola topológica aberta é homeomórfica ao espaço cartesiano n e à unidade aberta n -cubo (hipercubo) (0, 1) n ⊆ ℝ n . Qualquer n -bola topológica fechada é homeomórfica ao n- cubo fechado [0, 1] n .

Uma bola- n é homeomórfica a uma bola- m se e somente se n = m . Os Homeomorfismos entre uma aberto n -ball B e n podem ser classificados em duas classes, que podem ser identificadas com as duas possíveis orientações topológicos de  B .

Um n -ball topológico não precisa ser suave ; se for liso, não precisa ser difeomórfico a uma bola n euclidiana .

Regiões

Uma série de regiões especiais podem ser definidas para uma bola:

  • cap , delimitado por um plano
  • setor , delimitado por um limite cônico com vértice no centro da esfera
  • segmento , delimitado por um par de planos paralelos
  • concha , delimitada por duas esferas concêntricas de raios diferentes
  • cunha , delimitada por dois planos que passam pelo centro de uma esfera e a superfície da esfera

Veja também

Referências

  • Smith, DJ; Vamanamurthy, MK (1989). "Quão pequena é uma bola unitária?". Revista Matemática . 62 (2): 101–107. doi : 10.1080 / 0025570x.1989.11977419 . JSTOR  2690391 .
  • Dowker, JS (1996). "Condições de Robin na bola euclidiana". Gravidade Clássica e Quântica . 13 (4): 585–610. arXiv : hep-th / 9506042 . Bibcode : 1996CQGra..13..585D . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 13/4/003 .
  • Gruber, Peter M. (1982). "Isometrias do espaço dos corpos convexos contidos em uma bola euclidiana" . Israel Journal of Mathematics . 42 (4): 277–283. doi : 10.1007 / BF02761407 .