Equação de Hamilton-Jacobi-Einstein - Hamilton–Jacobi–Einstein equation

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Relatividade geral
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
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Conceitos fundamentais Princípio da Relatividade Teoria da relatividade Covariância geral Simultaneidade Relatividade da simultaneidade Movimento relativo Evento Quadro de Referência Quadro de referência inercial Massa Massa inercial Quadro de descanso Quadro de centro de impulso Curvatura Geodésico Geon Princípio de equivalência Missa na relatividade geral Equivalência massa-energia Invariante Massa invariante Simetrias do espaço-tempo Relatividade especial Relatividade duplamente especial relatividade especial invariante de Sitter Relatividade de escala Velocidade da luz Derivada de tempo Hora certa Comprimento adequado Contração de comprimento Ação à distância Princípio da localidade Geometria riemanniana Condição de energia
Fenômenos Gravitoeletromagnetismo Problema Kepler Gravidade Campo gravitacional Gravidade bem Lente gravitacional Ondas gravitacionais Redshift gravitacional Redshift Turno azul Dilatação do tempo Dilatação do tempo gravitacional Atraso de tempo Shapiro Potencial gravitacional Compressão gravitacional Colapso gravitacional Arrasto de quadro Efeito geodésico Horizonte aparente Horizonte de eventos Singularidade gravitacional Singularidade nua Buraco negro Buraco branco Espaço-tempo Seta do tempo Cone de luz Linha mundial Espaço tridimensional Espaço quadridimensional Espaço Tempo Múltiplo Manifold suave Variedade Riemanniana Espaço de configuração Espaço estatal Espaço de fase Espaço Hilbert Espaço euclidiano Espaço topológico Defeito topológico Diagramas de espaço-tempo Espaço-tempo de Minkowski Escalar de Lorentz Curva tipo tempo fechada (CTC) Buraco de minhoca Buraco de minhoca de Ellis
Equações Formalismos Equações Gravidade linearizada Equações de campo de Einstein Friedmann Geodésica Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Invariante de curvatura (relatividade geral) Transformação de Lorentz Variedade Lorentziana Variedade globalmente hiperbólica Condições de causalidade Estrutura causal Formalismos ADM BSSN Newman – Penrose Pós-newtoniana Teoria avançada Teoria de Brans-Dicke Hipótese da censura cósmica Teoria de Kaluza-Klein Gravidade quântica Supergravidade
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Na relatividade geral , a equação de Hamilton – Jacobi – Einstein ( HJEE ) ou a equação de Einstein – Hamilton – Jacobi ( EHJE ) é uma equação na formulação hamiltoniana da geometrodinâmica no superespaço , lançada na "era da geometrodinâmica" por volta dos anos 1960, por Asher Peres em 1962 e outros. É uma tentativa de reformular a relatividade geral de tal forma que ela se assemelhe à teoria quântica dentro de uma aproximação semiclássica , bem como a correspondência entre a mecânica quântica e a mecânica clássica .

Seu nome é em homenagem a Albert Einstein , Carl Gustav Jacob Jacobi e William Rowan Hamilton . O EHJE contém tanta informação quanto todas as dez equações de campo de Einstein (EFEs). É uma modificação da equação de Hamilton-Jacobi (HJE) da mecânica clássica e pode ser derivada da ação de Einstein-Hilbert usando o princípio da menor ação no formalismo ADM .

Antecedentes e motivação

Correspondência entre a física clássica e quântica

Em clássicos mecânica analítica , a dinâmica do sistema é resumido pela acção S . Em teoria quântica, nomeadamente mecânica quântica não relativística (QM), mecânica quântica relativística (RQM), bem como teoria quântica de campos (QFT), com interpretações variadas e formalismos matemáticos nestas teorias, o comportamento de um sistema está completamente contido em uma amplitude de probabilidade de valor complexo Ψ (mais formalmente como um estado quântico ket | Ψ⟩ - um elemento de um espaço de Hilbert ). Usando a forma polar da função de onda, fazendo uma transformação de Madelung:

${\ displaystyle \ Psi = {\ sqrt {\ rho}} e ^ {iS / \ hbar}}$

a fase de Ψ é interpretada como a ação, e o módulo √ ρ = √ Ψ * Ψ = | Ψ | é interpretado de acordo com a interpretação de Copenhagen como a função de densidade de probabilidade . A constante de Planck reduzida ħ é o quantum do momento angular . Substituição disso na equação quântica geral de Schrödinger (SE):

${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} = {\ hat {H}} \ Psi \ ,,}$

e tomando o limite ħ → 0 produz o HJE clássico:

${\ displaystyle - {\ frac {\ partial S} {\ partial t}} = H \ ,,}$

que é um aspecto do princípio da correspondência .

Deficiências do espaço-tempo quadridimensional

Por outro lado, a transição entre a teoria quântica e a relatividade geral (GR) é difícil de fazer; uma das razões é o tratamento do espaço e do tempo nessas teorias. Na MQ não relativística, espaço e tempo não estão em pé de igualdade; o tempo é um parâmetro enquanto a posição é um operador . Em RQM e QFT, a posição retorna às coordenadas espaciais usuais ao lado da coordenada de tempo, embora essas teorias sejam consistentes apenas com SR no espaço de Minkowski plano quadridimensional , e não no espaço curvo nem no GR. É possível formular a teoria quântica de campos no espaço-tempo curvo , mas mesmo isso ainda não pode incorporar GR porque a gravidade não é renormalizável em QFT. Além disso, em GR as partículas se movem através do espaço-tempo curvo com uma posição e momento deterministicamente conhecidos a cada instante, enquanto na teoria quântica, a posição e o momento de uma partícula não podem ser exatamente conhecidos simultaneamente; espaço x e momento p , e energia E e tempo t , estão sujeitos aos pares aos princípios de incerteza

${\ displaystyle \ Delta x \ Delta p \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}, \ quad \ Delta E \ Delta t \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} \ ,,}$

o que implica que pequenos intervalos no espaço e no tempo significam que grandes flutuações de energia e momento são possíveis. Uma vez que em GR massa-energia e momento-energia é a fonte da curvatura do espaço-tempo , grandes flutuações na energia e momento significam que o "tecido" do espaço-tempo pode tornar-se potencialmente tão distorcido que se rompe em escalas suficientemente pequenas. Há evidências teóricas e experimentais do QFT de que o vácuo tem energia, uma vez que o movimento dos elétrons nos átomos é flutuante, isso está relacionado ao deslocamento de Lamb . Por essas e outras razões, em escalas cada vez menores, o espaço e o tempo são considerados dinâmicos até o comprimento de Planck e as escalas de tempo de Planck .

Em qualquer caso, um contínuo de espaço - tempo curvo quadridimensional é uma característica central e bem definida da relatividade geral, mas não na mecânica quântica.

Equação

Uma tentativa de encontrar uma equação que governe a dinâmica de um sistema, da forma mais próxima possível de QM e GR, é reformular o HJE em um espaço curvo tridimensional entendido como "dinâmico" (mudando com o tempo), e não espaço - tempo quadridimensional dinâmico em todas as quatro dimensões, como são os EFEs. O espaço tem uma métrica (consulte o espaço métrico para obter detalhes).

O tensor métrico na relatividade geral é um objeto essencial, uma vez que o tempo adequado , o comprimento do arco , o movimento geodésico no espaço-tempo curvo e outras coisas, tudo depende da métrica. O HJE acima é modificado para incluir a métrica, embora seja apenas uma função das coordenadas espaciais 3d r , (por exemplo r = ( x , y , z ) em coordenadas cartesianas ) sem a coordenada tempo t :

${\ displaystyle g_ {ij} = g_ {ij} (\ mathbf {r}) \,}$

Neste contexto, g _ij é referido como o "campo métrico" ou simplesmente "campo".

Equação geral (espaço curvo livre)

Para uma partícula livre em " espaço vazio " curvo ou "espaço livre", ou seja, na ausência de outra matéria além da própria partícula, a equação pode ser escrita:

onde g é o determinante do tensor métrico e R a curvatura escalar de Ricci da geometria 3d (não incluindo o tempo), e o " δ " em vez de " d " denota a derivada variacional em vez da derivada comum . Esses derivados correspondem aos momentos do campo "conjugados ao campo métrico":

${\ displaystyle \ pi ^ {ij} (\ mathbf {r}) = \ pi ^ {ij} = {\ frac {\ delta S} {\ delta g_ {ij}}} \ ,,}$

a taxa de mudança de ação em relação às coordenadas de campo g _ij ( r ) . O g e π aqui são análogos aos q e p = ∂ S / ∂ q , respectivamente, em clássicos mecânica de Hamilton . Veja as coordenadas canônicas para mais informações.

A equação descreve como as frentes de onda de ação constante se propagam no superespaço - conforme a dinâmica das ondas de matéria de uma partícula livre se desdobra no espaço curvo. Termos de fonte adicionais são necessários para explicar a presença de influências extras na partícula, que incluem a presença de outras partículas ou distribuições de matéria (que contribuem para a curvatura do espaço) e fontes de campos eletromagnéticos que afetam partículas com carga elétrica ou spin . Assim como as equações de campo de Einstein, é não linear na métrica por causa dos produtos das componentes métricas, e como o HJE é não linear na ação devido ao produto das derivadas variacionais na ação.

O conceito da mecânica quântica, de que a ação é a fase da função de onda, pode ser interpretado a partir desta equação como segue. A fase deve satisfazer o princípio da menor ação; deve ser estacionário para uma pequena mudança na configuração do sistema, ou seja, para uma ligeira mudança na posição da partícula, que corresponde a uma ligeira mudança nas componentes métricas;

${\ displaystyle g_ {ij} \ rightarrow g_ {ij} + \ delta g_ {ij} \ ,,}$

a ligeira mudança de fase é zero:

${\ displaystyle \ delta S = \ int {\ frac {\ delta S} {\ delta g_ {ij} (\ mathbf {r})}} \ delta g_ {ij} (\ mathbf {r}) \ mathrm {d } ^ {3} \ mathbf {r} = 0 \ ,,}$

(onde d ³ r é o elemento de volume da integral de volume ). Portanto, a interferência construtiva das ondas de matéria é máxima. Isso pode ser expresso pelo princípio de superposição ; aplicado a muitas funções de onda não localizadas espalhadas por todo o espaço curvo para formar uma função de onda localizada:

${\ displaystyle \ Psi = \ sum _ {n} c_ {n} \ psi _ {n} \ ,,}$

para alguns coeficientes c _n , e adicionalmente a ação (fase) S _n para cada ψ _n deve satisfazer:

${\ displaystyle \ delta S = S_ {n + 1} -S_ {n} = 0 \ ,,}$

para todo n , ou equivalentemente,

${\ displaystyle S_ {1} = S_ {2} = \ cdots = S_ {n} = \ cdots \ ,.}$

Regiões onde Ψ é máximo ou mínimo ocorrem em pontos onde há uma probabilidade de encontrar a partícula ali, e onde a mudança de ação (fase) é zero. Portanto, no EHJE acima, cada frente de onda de ação constante é onde a partícula pode ser encontrada.

Essa equação ainda não "unifica" a mecânica quântica e a relatividade geral, pois a aproximação semiclássica de Eikonal no contexto da teoria quântica e da relatividade geral foi aplicada, para fornecer uma transição entre essas teorias.

Formulários

A equação assume várias formas complicadas em:

• Gravidade quântica
• Cosmologia quântica

Veja também

• Foliação
• Geometria quântica
• Espaço-tempo quântico
• Cálculo de variações
• A equação também está relacionada à equação de Wheeler-DeWitt .
• Métrica de Peres

Referências

Notas

Leitura adicional

Livros

• JL Lopes (1977). Mecânica quântica, meio século depois: Papers of a Colloquium on Fifty Years of Quantum Mechanics . Estrasburgo, França: Springer, Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-90-277-0784-0.
• C. Rovelli (2004). Gravidade Quântica . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83733-0.
• C. Kiefer (2012). Gravidade Quantum (3ª ed.). Oxford University Press . ISBN 978-0-19-958520-5.
• JK Glikman (1999). Rumo à Gravidade Quântica: Procedimentos da XXXV International Winter School on Theoretical Physics . Polanica, Polônia: Springer. p. 224. ISBN 978-3-540-66910-4.
• LZ Fang; R. Ruffini (1987). Cosmologia quântica . Séries Avançadas em Astrofísica e Cosmologia. 3 . World Scientific . ISBN 978-9971-5-0312-3.

Artigos selecionados

• T. Banks (1984). "TCP, Gravidade Quântica, A Constante Cosmológica e tudo isso ..." (PDF) . Stanford, EUA.( Equação A.3 no apêndice ).
• BK Darian (1997). "Resolvendo a equação de Hamilton-Jacobi para campos eletromagnéticos e escalares que interagem gravitacionalmente". Canadá, EUA. arXiv : gr-qc / 9707046v2 . Bibcode : 1998CQGra..15..143D . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 15/1/010 .
• JR Bond; DS Salopek (1990). "Evolução não linear de flutuações métricas de comprimento de onda longo em modelos inflacionários" . Phys. Rev. D . Canadá (EUA), Illinois (EUA).
• Sang Pyo Kim (1996). "Espaço-tempo clássico da gravidade quântica" . Gravidade Clássica e Quântica . Kunsan, Coreia: IoP . arXiv : gr-qc / 9601049 . Bibcode : 1996CQGra..13.1377K . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 13/6/011 .
• SR Berbena; AV Berrocal; J. Socorro; LO Pimentel (2006). "The Einstein-Hamilton-Jacobi equation: Searching the classic solution for barotropic FRW". Guanajuato e Autónoma Metropolitana (México). arXiv : gr-qc / 0607123 . Bibcode : 2007RMxFS..53b.115B .