Simetrias do espaço-tempo - Spacetime symmetries

As simetrias do espaço-tempo são características do espaço-tempo que podem ser descritas como exibindo alguma forma de simetria . O papel da simetria na física é importante para simplificar soluções para muitos problemas. As simetrias espaço-tempo são usadas no estudo de soluções exatas das equações de campo da relatividade geral de Einstein . As simetrias do espaço-tempo são distintas das simetrias internas .

Motivação física

Os problemas físicos são frequentemente investigados e resolvidos observando-se características que possuem alguma forma de simetria. Por exemplo, na solução de Schwarzschild , o papel da simetria esférica é importante para derivar a solução de Schwarzschild e deduzir as consequências físicas dessa simetria (como a inexistência de radiação gravitacional em uma estrela com pulsação esférica). Em problemas cosmológicos, a simetria desempenha um papel no princípio cosmológico , que restringe o tipo de universos que são consistentes com observações em grande escala (por exemplo, a métrica de Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker (FLRW) ). As simetrias geralmente requerem alguma forma de preservação de propriedade, a mais importante das quais na relatividade geral inclui o seguinte:

preservando geodésicas do espaço-tempo
preservando o tensor métrico
preservando o tensor de curvatura

Essas e outras simetrias serão discutidas abaixo com mais detalhes. Esta propriedade de preservação que as simetrias geralmente possuem (aludida acima) pode ser usada para motivar uma definição útil dessas simetrias.

Definição matemática

Uma definição rigorosa de simetrias na relatividade geral foi dada por Hall (2004). Nessa abordagem, a ideia é usar campos de vetores (suaves) cujos difeomorfismos de fluxo local preservem alguma propriedade do espaço - tempo . (Observe que se deve enfatizar em nosso pensamento que isso é um difeomorfismo - uma transformação em um elemento diferencial . A implicação é que o comportamento de objetos com extensão pode não ser tão manifestamente simétrico.) Esta propriedade de preservação dos difeomorfismos é feita com precisão da seguinte maneira . Um campo de vectores liso $X$ num espaço-tempo $M$ é dito para preservar um tensor liso $T$ em $M$ (ou $T$ é invariante sob $X$ ) se, para cada suavizar fluxo local difeomorfismo $φ t$ associado a $X$ , a tensores $T$ e $φ * t (T)$ são iguais no domínio de $ϕ t$ . Esta afirmação é equivalente à condição mais utilizável de que a derivada de Lie do tensor sob o campo vetorial desaparece:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} T = 0}

em $H$ . Isso tem a consequência de que, dados quaisquer dois pontos $p$ e $q$ em $M$ , as coordenadas de $T$ em um sistema de coordenadas em torno de $p$ são iguais às coordenadas de $T$ em um sistema de coordenadas em torno de $q$ . Uma simetria no espaço - tempo é um campo vetorial suave cujos difeomorfismos de fluxo local preservam algumas características (geralmente geométricas) do espaço-tempo. O recurso (geométrico) pode se referir a tensores específicos (como a métrica ou o tensor de energia-momento) ou a outros aspectos do espaço-tempo, como sua estrutura geodésica. Os campos vetoriais às vezes são chamados de colineações , campos vetoriais de simetria ou apenas simetrias . O conjunto de todos os campos de vetor de simetria em $M$ forma uma álgebra de Lie sob a operação de colchetes de Lie , como pode ser visto na identidade:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {[X, Y]} T = {\ mathcal {L}} _ {X} ({\ mathcal {L}} _ {Y} T) - {\ mathcal { L}} _ {Y} ({\ mathcal {L}} _ {X} T)}

o termo à direita geralmente sendo escrito, com um abuso de notação , como

{\ displaystyle [{\ mathcal {L}} _ {X}, {\ mathcal {L}} _ {Y}] T.}

Simetria de matar

Um campo vetorial Killing é um dos tipos mais importantes de simetrias e é definido como um campo vetorial suave $X$ que preserva o tensor métrico $g$ :

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g = 0.}

Isso geralmente é escrito na forma expandida como:

{\ displaystyle X_ {a; b} + X_ {b; a} = 0.}

Os campos de vetores de matar encontram muitas aplicações (inclusive na mecânica clássica ) e estão relacionados às leis de conservação .

Simetria homotética

Um campo vetorial homotético é aquele que satisfaz:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g = 2cg.}

onde $c$ é uma constante real. Campos de vetores homotéticos encontram aplicação no estudo de singularidades na relatividade geral.

Simetria afim

Um campo de vetor afim é aquele que satisfaz:

{\ displaystyle ({\ mathcal {L}} _ {X} g) _ {ab; c} = 0}

Um campo de vetor afim preserva geodésicas e preserva o parâmetro afim.

Os três tipos de campo vetorial acima são casos especiais de campos vetoriais projetivos que preservam a geodésica sem necessariamente preservar o parâmetro afim.

Simetria conforme

Um campo vetorial conforme é aquele que satisfaz:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g = \ phi g}

onde $φ$ é uma função suave real sobre $M$ .

Simetria de curvatura

Uma colineação de curvatura é um campo vetorial que preserva o tensor de Riemann :

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} {R ^ {a}} _ {bcd} = 0}

onde $R a bcd$ são os componentes do tensor de Riemann. O conjunto de todas as colineações de curvatura suaves forma uma álgebra de Lie sob a operação de colchetes de Lie (se a condição de suavidade for descartada, o conjunto de todas as colineações de curvatura não precisa formar uma álgebra de Lie). A álgebra de Lie é denotada por $CC (M)$ e pode ser infinita - dimensional . Cada campo vetorial afim é uma colineação de curvatura.

Simetria de matéria

Uma forma menos conhecida de simetria diz respeito a campos de vetores que preservam o tensor de energia-momento. Estes são chamados de colineações de matéria ou simetrias de matéria e são definidos por:

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} T = 0,}

onde $T$ é o tensor covariante de energia-momento. A íntima relação entre a geometria e a física pode ser destacada aqui, visto que o campo vetorial $X$ é considerado como preservando certas quantidades físicas ao longo das linhas de fluxo de $X$ , isso sendo verdade para quaisquer dois observadores. Em conexão com isso, pode ser mostrado que todo campo vetorial Killing é uma colineação de matéria (pelas equações de campo de Einstein, com ou sem constante cosmológica ). Assim, dada uma solução do EFE, um campo vetorial que preserva a métrica necessariamente preserva o tensor de energia-momento correspondente . Quando o tensor de energia-momento representa um fluido perfeito, cada campo vetorial Killing preserva a densidade de energia, pressão e o campo vetorial de fluxo de fluido. Quando o tensor de energia-momento representa um campo eletromagnético, um campo vetorial Killing não preserva necessariamente os campos elétrico e magnético.

Simetrias locais e globais

Formulários

Conforme mencionado no início deste artigo, a principal aplicação dessas simetrias ocorre na relatividade geral, onde as soluções das equações de Einstein podem ser classificadas pela imposição de algumas simetrias no espaço-tempo.

Classificações de espaço-tempo

Classificar soluções da EFE constitui uma grande parte da pesquisa da relatividade geral. Várias abordagens para classificar espaços-tempos, incluindo o uso da classificação de Segre do tensor de energia-momento ou a classificação de Petrov do tensor de Weyl , foram estudadas extensivamente por muitos pesquisadores, principalmente Stephani et al. (2003). Eles também classificam os espaços-tempos usando campos de vetores de simetria (especialmente Killing e simetrias homotéticas). Por exemplo, campos de vetor de Killing podem ser usados para classificar espaços-tempos, pois há um limite para o número de campos de vetor de Killing globais e suaves que um espaço-tempo pode possuir (o máximo sendo 10 para espaços-tempos quadridimensionais). De modo geral, quanto maior a dimensão da álgebra dos campos vetoriais de simetria em um espaço-tempo, mais simetria o espaço-tempo admite. Por exemplo, a solução de Schwarzschild tem uma álgebra Killing de dimensão 4 (três campos vetoriais rotacionais espaciais e uma tradução no tempo), enquanto a métrica de Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker (excluindo o subcaso estático de Einstein ) tem uma álgebra Killing de dimensão 6 ( três traduções e três rotações). A métrica estática de Einstein tem uma álgebra de Killing de dimensão 7 (os 6 anteriores mais uma tradução de tempo).

A suposição de um espaço-tempo admitindo um certo campo vetorial de simetria pode colocar restrições no espaço-tempo.

Lista de espaços-tempos simétricos

Os seguintes espaços-tempos têm seus próprios artigos distintos na Wikipedia:

Veja também

Referências

Hall, Graham (2004). Simetrias e Estrutura da Curvatura na Relatividade Geral (World Scientific Lecture Notes in Physics) . Singapura: World Scientific. ISBN 981-02-1051-5 . . Consulte a Seção 10.1 para obter uma definição de simetrias.
Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Herlt, Eduard (2003). Soluções exatas das equações de campo de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-46136-7 .
Schutz, Bernard (1980). Métodos Geométricos de Física Matemática . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-29887-3 . . Veja o Capítulo 3 para as propriedades da derivada de Lie e a Seção 3.10 para uma definição de invariância.

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