Métrica Friedmann – Lemaître – Robertson – Walker - Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metric

A Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker ( FLRW ; / f r i d m ə n l ə m ɛ t r ə  ... / ) métrica é uma solução exacta das equações de campo de Einstein de relatividade geral ; descreve um universo homogêneo , isotrópico , em expansão (ou de outra forma, em contração) que está conectado ao caminho , mas não necessariamente simplesmente conectado . A forma geral da métrica segue das propriedades geométricas de homogeneidade e isotropia; As equações de campo de Einstein são necessárias apenas para derivar o fator de escala do universo em função do tempo. Dependendo das preferências geográficas ou históricas, o conjunto dos quatro cientistas - Alexander Friedmann , Georges Lemaître , Howard P. Robertson e Arthur Geoffrey Walker - costumam ser agrupados como Friedmann ou Friedmann – Robertson – Walker ( FRW ) ou Robertson – Walker ( RW ) ou Friedmann – Lemaître ( FL ). Este modelo é às vezes chamado de Modelo Padrão da cosmologia moderna , embora essa descrição também esteja associada ao modelo Lambda-CDM desenvolvido posteriormente . O modelo FLRW foi desenvolvido de forma independente pelos autores nomeados nas décadas de 1920 e 1930.

Métrica geral

A métrica FLRW começa com a suposição de homogeneidade e isotropia do espaço. Também assume que o componente espacial da métrica pode ser dependente do tempo. A métrica genérica que atende a essas condições é

onde abrange um espaço tridimensional de curvatura uniforme, ou seja, espaço elíptico , espaço euclidiano ou espaço hiperbólico . Normalmente é escrito como uma função de três coordenadas espaciais, mas existem várias convenções para fazer isso, detalhadas a seguir. não depende de t - toda a dependência do tempo está na função a ( t ), conhecida como " fator de escala ".

Coordenadas polares de circunferência reduzida

Em coordenadas polares de circunferência reduzida, a métrica espacial tem a forma

k é uma constante que representa a curvatura do espaço. Existem duas convenções de unidade comuns:

  • k pode ser considerado como tendo unidades de comprimento −2 , caso em que r tem unidades de comprimento e a ( t ) é sem unidade. k é então a curvatura gaussiana do espaço no momento em que a ( t ) = 1. r é às vezes chamado de circunferência reduzida porque é igual à circunferência medida de um círculo (naquele valor de r ), centrado na origem , dividido por 2 π (como o r das coordenadas de Schwarzschild ). Quando apropriado, a ( t ) é freqüentemente escolhido como igual a 1 na presente era cosmológica, de modo que mede a distância móvel .
  • Alternativamente, k pode ser considerado como pertencente ao conjunto {−1,0, + 1} (para curvatura negativa, zero e positiva, respectivamente). Então r não tem unidade e a ( t ) tem unidades de comprimento. Quando k = ± 1, a ( t ) é o raio de curvatura do espaço, e também pode ser escrito R ( t ).

Uma desvantagem das coordenadas da circunferência reduzida é que elas cobrem apenas metade da esfera 3 no caso de curvatura positiva - as circunferências além desse ponto começam a diminuir, levando à degeneração. (Isso não é um problema se o espaço for elíptico , ou seja, uma 3-esfera com pontos opostos identificados.)

Coordenadas hiperesféricas

Em coordenadas hiperesféricas ou normalizadas por curvatura, a coordenada r é proporcional à distância radial; isto dá

onde é como antes e

Como antes, existem duas convenções de unidade comuns:

  • k pode ser considerado como tendo unidades de comprimento −2 , caso em que r tem unidades de comprimento e a ( t ) é sem unidade. k é então a curvatura gaussiana do espaço no momento em que a ( t ) = 1. Quando apropriado, a ( t ) é freqüentemente escolhido como igual a 1 na era cosmológica atual, de modo que mede a distância móvel .
  • Alternativamente, como antes, k pode ser considerado como pertencente ao conjunto {−1,0, + 1} (para curvatura negativa, zero e positiva, respectivamente). Então r não tem unidade e a ( t ) tem unidades de comprimento. Quando k = ± 1, a ( t ) é o raio de curvatura do espaço, e também pode ser escrito R ( t ). Observe que quando k = +1, r é essencialmente um terceiro ângulo junto com θ e φ . A letra χ pode ser usada em vez de  r .

Embora seja geralmente definido por partes como acima, S é uma função analítica de k e r . Também pode ser escrito como uma série de potências

ou como

onde sinc é a função sinc não normalizada e é uma das raízes quadradas imaginárias, zero ou reais de k . Essas definições são válidas para todos os k .

Coordenadas cartesianas

Quando k = 0 pode-se escrever simplesmente

Isso pode ser estendido para k ≠ 0 definindo

,
, e
,

onde r é uma das coordenadas radiais definidas acima, mas isso é raro.

Curvatura

Coordenadas cartesianas

No espaço FLRW plano usando coordenadas cartesianas, os componentes sobreviventes do tensor de Ricci são

e o escalar de Ricci é

Coordenadas esféricas

No espaço FLRW mais geral usando coordenadas esféricas (chamadas de "coordenadas polares de circunferência reduzida" acima), os componentes sobreviventes do tensor de Ricci são

e o escalar de Ricci é

Soluções

As equações de campo de Einstein não são usadas para derivar a forma geral da métrica: ela decorre das propriedades geométricas de homogeneidade e isotropia. No entanto, determinar a evolução temporal de requer as equações de campo de Einstein junto com uma forma de calcular a densidade, como uma equação cosmológica de estado .

Esta métrica tem uma solução analítica para as equações de campo de Einstein dando as equações de Friedmann quando o tensor de energia-momento é similarmente assumido como isotrópico e homogêneo. As equações resultantes são:

Essas equações são a base do modelo cosmológico padrão do Big Bang , incluindo o modelo ΛCDM atual . Como o modelo FLRW pressupõe homogeneidade, alguns relatos populares afirmam erroneamente que o modelo do Big Bang não pode explicar a granulometria observada do universo. Em um modelo estritamente FLRW, não há aglomerados de galáxias, estrelas ou pessoas, uma vez que esses são objetos muito mais densos do que uma parte típica do universo. No entanto, o modelo FLRW é usado como uma primeira aproximação para a evolução do universo real e irregular porque é simples de calcular, e os modelos que calculam a irregularidade no universo são adicionados aos modelos FLRW como extensões. A maioria dos cosmologistas concorda que o universo observável é bem aproximado por um modelo quase FLRW , ou seja, um modelo que segue a métrica FLRW independentemente das flutuações de densidade primordiais . Em 2003, as implicações teóricas das várias extensões do modelo FLRW parecem ser bem compreendidas, e o objetivo é torná-las consistentes com as observações do COBE e do WMAP .

Se o espaço-tempo estiver conectado de forma múltipla , cada evento será representado por mais de uma tupla de coordenadas.

Interpretação

O par de equações dado acima é equivalente ao seguinte par de equações

com , o índice de curvatura espacial, servindo como uma constante de integração para a primeira equação.

A primeira equação pode ser derivada também de considerações termodinâmicas e é equivalente à primeira lei da termodinâmica , assumindo que a expansão do universo é um processo adiabático (que é implicitamente assumido na derivação da métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker).

A segunda equação afirma que tanto a densidade de energia quanto a pressão fazem com que a taxa de expansão do universo diminua, ou seja, ambas causam uma desaceleração na expansão do universo. Isso é uma consequência da gravitação , com a pressão desempenhando um papel semelhante ao da densidade de energia (ou massa), de acordo com os princípios da relatividade geral . A constante cosmológica , por outro lado, causa uma aceleração na expansão do universo.

Constante cosmológica

O termo da constante cosmológica pode ser omitido se fizermos as seguintes substituições

Portanto, a constante cosmológica pode ser interpretada como decorrente de uma forma de energia que tem pressão negativa, igual em magnitude à sua densidade de energia (positiva):

Essa forma de energia - uma generalização da noção de uma constante cosmológica - é conhecida como energia escura .

Na verdade, para se obter um termo que provoque uma aceleração da expansão do universo, basta ter um campo escalar que satisfaça

Esse campo às vezes é chamado de quintessência .

Interpretação newtoniana

Isso se deve a McCrea e Milne, embora às vezes incorretamente atribuído a Friedmann. As equações de Friedmann são equivalentes a este par de equações:

A primeira equação diz que a diminuição da massa contida em um cubo fixo (cujo lado é momentaneamente a ) é a quantidade que sai pelas laterais devido à expansão do universo mais a massa equivalente ao trabalho realizado por pressão contra o material sendo expulso. Esta é a conservação da massa-energia ( primeira lei da termodinâmica ) contida em uma parte do universo.

A segunda equação diz que a energia cinética (vista da origem) de uma partícula de massa unitária se movendo com a expansão mais sua energia potencial gravitacional (negativa) (em relação à massa contida na esfera da matéria mais próxima da origem) é igual a uma constante relacionada à curvatura do universo. Em outras palavras, a energia (em relação à origem) de uma partícula em co-movimento em queda livre é conservada. A relatividade geral apenas adiciona uma conexão entre a curvatura espacial do universo e a energia de tal partícula: energia total positiva implica curvatura negativa e energia total negativa implica curvatura positiva.

A constante cosmológica termo é assumida para ser tratado como energia escura e assim fundidas em termos de densidade e pressão.

Durante a época de Planck , não se pode negligenciar os efeitos quânticos . Portanto, eles podem causar um desvio das equações de Friedmann.

Nome e história

O matemático soviético Alexander Friedmann primeiro derivou os principais resultados do modelo FLRW em 1922 e 1924. Embora o prestigioso jornal de física Zeitschrift für Physik tenha publicado seu trabalho, ele permaneceu relativamente despercebido por seus contemporâneos. Friedmann estava em comunicação direta com Albert Einstein , que, em nome do Zeitschrift für Physik , atuou como árbitro científico do trabalho de Friedmann. Por fim, Einstein reconheceu a correção dos cálculos de Friedmann, mas falhou em avaliar o significado físico das previsões de Friedmann.

Friedmann morreu em 1925. Em 1927, Georges Lemaître , um padre belga, astrônomo e professor periódico de física na Universidade Católica de Leuven , chegou independentemente a resultados semelhantes aos de Friedmann e os publicou nos Annales de la Société Scientifique de Bruxelles ( Anais da Sociedade Científica de Bruxelas). Em face da evidência observacional para a expansão do universo obtida por Edwin Hubble no final dos anos 1920, os resultados de Lemaître foram notados em particular por Arthur Eddington , e em 1930-1931 o artigo de Lemaître foi traduzido para o inglês e publicado no Monthly Notices of a Royal Astronomical Society .

Howard P. Robertson dos Estados Unidos e Arthur Geoffrey Walker do Reino Unido exploraram mais o problema durante a década de 1930. Em 1935, Robertson e Walker provaram rigorosamente que a métrica FLRW é a única em um espaço-tempo que é espacialmente homogênea e isotrópica (como observado acima, este é um resultado geométrico e não está vinculado especificamente às equações da relatividade geral, que sempre foram assumidas por Friedmann e Lemaître).

Esta solução, muitas vezes chamada de métrica Robertson-Walker, uma vez que provou suas propriedades genéricas, é diferente dos modelos dinâmicos "Friedmann-Lemaître" , que são soluções específicas para a ( t ) que assumem que as únicas contribuições para a energia de tensão são o frio matéria ("poeira"), radiação e uma constante cosmológica.

Raio do universo de Einstein

O raio do universo de Einstein é o raio da curvatura do espaço do universo de Einstein , um modelo estático há muito abandonado que supostamente representava nosso universo de forma idealizada. Colocando

na equação de Friedmann, o raio de curvatura do espaço deste universo (raio de Einstein) é

,

onde está a velocidade da luz, é a constante gravitacional newtoniana e é a densidade do espaço deste universo. O valor numérico do raio de Einstein é da ordem de 10 10 anos-luz .

Provas

Ao combinar os dados de observação de alguns experimentos como WMAP e Planck com resultados teóricos do teorema de Ehlers-Geren-Sachs e sua generalização, os astrofísicos agora concordam que o universo é quase homogêneo e isotrópico (quando a média é calculada em uma escala muito grande) e, portanto, quase um espaço-tempo FLRW. Dito isto, as tentativas de confirmar a interpretação puramente cinemática do dipolo Cosmic Microwave Background (CMB) através de estudos de rádio galáxias e quasares mostram discordância na magnitude. Tomadas pelo valor de face, essas observações estão em desacordo com o Universo sendo descrito pela métrica FLRW. Além disso, pode-se argumentar que há um valor máximo para a constante de Hubble dentro de uma cosmologia FLRW tolerada por observações atuais, km / s / Mpc, e dependendo de como as determinações locais convergem, isso pode apontar para uma explicação além da métrica FLRW. Deixando essas especulações de lado, deve-se enfatizar que a métrica FLRW é uma primeira aproximação válida para o Universo.

Referências

Leitura adicional