Equações de campo de Einstein - Einstein field equations
Relatividade geral |
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Na teoria geral da relatividade , as equações de campo de Einstein ( EFE ; também conhecidas como equações de Einstein ) relacionam a geometria do espaço - tempo à distribuição da matéria dentro dele.
As equações foram publicadas pela primeira vez por Einstein em 1915 na forma de uma equação tensorial que relacionava o curvatura do espaço-tempo (expressa pelotensor de Einstein) com a energia local,momentoe tensão dentro desse espaço-tempo (expressa pelotensor tensão-energia).
Analogamente à maneira como os campos eletromagnéticos estão relacionados à distribuição de cargas e correntes por meio das equações de Maxwell , o EFE relaciona a geometria do espaço - tempo à distribuição de massa-energia, momento e tensão, ou seja, eles determinam o tensor métrico do espaço-tempo para um dado arranjo de tensão-energia-momento no espaço-tempo. A relação entre o tensor métrico e o tensor de Einstein permite que o EFE seja escrito como um conjunto de equações diferenciais parciais não lineares quando usado dessa forma. As soluções do EFE são os componentes do tensor métrico. As trajetórias inerciais de partículas e radiação ( geodésicas ) na geometria resultante são então calculadas usando a equação geodésica .
Além de implicar na conservação local de energia-momento, a EFE reduz-se à lei da gravitação de Newton no limite de um campo gravitacional fraco e velocidades muito menores do que a velocidade da luz .
Soluções exatas para o EFE só podem ser encontradas em suposições simplificadoras, como simetria . Classes especiais de soluções exatas são mais frequentemente estudadas, pois modelam muitos fenômenos gravitacionais, como buracos negros em rotação e o universo em expansão . Uma simplificação adicional é alcançada ao aproximar o espaço-tempo como tendo apenas pequenos desvios do espaço-tempo plano , levando ao EFE linearizado . Essas equações são usadas para estudar fenômenos como ondas gravitacionais .
Forma matemática
Parte de uma série sobre |
Espaço-tempo |
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As equações de campo de Einstein (EFE) podem ser escritas na forma:
onde G μν é o tensor de Einstein , g μν é o tensor métrico , T μν é o tensor tensão-energia , Λ é a constante cosmológica e κ é a constante gravitacional de Einstein.
O tensor de Einstein é definido como
onde R μν é o tensor de curvatura de Ricci e R é a curvatura escalar . Este é um tensor simétrico de segundo grau que depende apenas do tensor métrico e de sua primeira e segunda derivadas.
A constante gravitacional de Einstein é definida como
onde L é a constante newtoniano de gravitação e c é a velocidade da luz no vácuo.
O EFE pode, portanto, também ser escrito como
Em unidades padrão, cada termo à esquerda possui unidades de 1 / comprimento 2 .
A expressão à esquerda representa a curvatura do espaço-tempo conforme determinado pela métrica; a expressão à direita representa o conteúdo tensão-energia-momento do espaço-tempo. O EFE pode então ser interpretado como um conjunto de equações que ditam como tensão-energia-momento determina a curvatura do espaço-tempo.
Essas equações, junto com a equação geodésica , que dita o quão livremente a matéria em queda se move através do espaço-tempo, formam o núcleo da formulação matemática da relatividade geral .
A EFE é uma equação tensorial que relaciona um conjunto de tensores simétricos 4 × 4 . Cada tensor possui 10 componentes independentes. As quatro identidades Bianchi reduzem o número de equações independentes de 10 para 6, deixando a métrica com quatro graus de liberdade de fixação do medidor , que correspondem à liberdade de escolher um sistema de coordenadas.
Embora as equações de campo de Einstein tenham sido inicialmente formuladas no contexto de uma teoria quadridimensional, alguns teóricos exploraram suas consequências em n dimensões. As equações em contextos fora da relatividade geral ainda são chamadas de equações de campo de Einstein. As equações do campo de vácuo (obtidas quando T μν é zero em todos os lugares) definem variedades de Einstein .
As equações são mais complexas do que parecem. Dada uma distribuição especificada de matéria e energia na forma de um tensor tensão-energia, os EFE são entendidos como equações para o tensor métrico g μν , uma vez que tanto o tensor de Ricci quanto a curvatura escalar dependem da métrica de uma maneira não linear complicada. Quando totalmente escrito, o EFE é um sistema de dez equações diferenciais parciais hiperbólico-elípticas acopladas .
Convenção de assinatura
A forma acima do EFE é o padrão estabelecido por Misner, Thorne e Wheeler (MTW). Os autores analisaram as convenções existentes e classificaram-nas de acordo com três sinais ([S1] [S2] [S3]):
O terceiro sinal acima está relacionado à escolha da convenção para o tensor de Ricci:
Com essas definições , Misner, Thorne e Wheeler se classificam como (+ + +) , enquanto Weinberg (1972) é (+ - -) , Peebles (1980) e Efstathiou et al. (1990) são (- + +) , Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin & Squires (1989) e Peacock (1999) são (- + -) .
Autores, incluindo Einstein, usaram um sinal diferente em sua definição para o tensor de Ricci, o que resulta no sinal da constante no lado direito sendo negativo:
O sinal do termo cosmológico mudaria em ambas as versões se a convenção de sinais métricos (+ - - -) for usada em vez da convenção de sinais métricos MTW (- + + +) adotada aqui.
Formulações equivalentes
Tomando o traço em relação à métrica de ambos os lados do EFE, obtém-se
onde D é a dimensão do espaço-tempo. Resolvendo por R e substituindo-o no EFE original, obtém-se a seguinte forma equivalente de "rastreio reverso":
Em D = 4 dimensões, isso se reduz a
Reverter o traço novamente restauraria o EFE original. A forma de traço reverso pode ser mais conveniente em alguns casos (por exemplo, quando alguém está interessado no limite de campo fraco e pode substituir g μν na expressão à direita pela métrica de Minkowski sem perda significativa de precisão).
A constante cosmológica
Nas equações de campo de Einstein
o termo contendo a constante cosmológica Λ estava ausente da versão em que ele os publicou originalmente. Einstein então incluiu o termo com a constante cosmológica para permitir um universo que não está se expandindo ou se contraindo . Este esforço não teve sucesso porque:
- qualquer solução de estado estacionário desejada descrita por esta equação é instável, e
- observações de Edwin Hubble mostraram que nosso universo está se expandindo .
Einstein então abandonou Λ , comentando com George Gamow "que a introdução do termo cosmológico foi o maior erro de sua vida".
A inclusão deste termo não cria inconsistências. Por muitos anos, a constante cosmológica foi quase universalmente considerada zero. Observações astronômicas mais recentes mostraram uma expansão acelerada do universo e, para explicar isso, um valor positivo de Λ é necessário. A constante cosmológica é insignificante na escala de uma galáxia ou menor.
Einstein pensava na constante cosmológica como um parâmetro independente, mas seu termo na equação de campo também pode ser movido algebricamente para o outro lado e incorporado como parte do tensor tensão-energia:
Este tensor descreve um estado de vácuo com uma densidade de energia ρ vac e pressão isotrópica p vac que são constantes fixas e dadas por
onde é assumido que Λ tem unidade SI m −2 e κ é definido como acima.
A existência de uma constante cosmológica é, portanto, equivalente à existência de uma energia de vácuo e uma pressão de sinal oposto. Isso fez com que os termos "constante cosmológica" e "energia do vácuo" fossem usados alternadamente na relatividade geral.
Recursos
Conservação de energia e momentum
A relatividade geral é consistente com a conservação local de energia e momento expresso como
- .
Derivação da conservação local de energia-momento Contratando a identidade diferencial Bianchi
com g αβ dá, usando o fato de que o tensor métrico é covariantemente constante, ou seja, g αβ ; γ = 0 ,
A antissimetria do tensor de Riemann permite que o segundo termo na expressão acima seja reescrito:
que é equivalente a
usando a definição do tensor de Ricci .
Em seguida, contraia novamente com a métrica
para obter
As definições do tensor de curvatura de Ricci e da curvatura escalar mostram que
que pode ser reescrito como
Uma contração final com g εδ dá
que pela simetria do termo entre colchetes e a definição do tensor de Einstein , dá, após re-rotular os índices,
Usando o EFE, isso dá imediatamente,
que expressa a conservação local de estresse-energia. Esta lei de conservação é um requisito físico. Com suas equações de campo, Einstein garantiu que a relatividade geral fosse consistente com essa condição de conservação.
Não-linearidade
A não linearidade da EFE distingue a relatividade geral de muitas outras teorias físicas fundamentais. Por exemplo, as equações de eletromagnetismo de Maxwell são lineares nos campos elétrico e magnético e nas distribuições de carga e corrente (isto é, a soma de duas soluções também é uma solução); outro exemplo é a equação de Schrödinger da mecânica quântica , que é linear na função de onda .
O princípio da correspondência
A EFE reduz-se à lei da gravidade de Newton usando a aproximação de campo fraco e a aproximação de câmera lenta . Na verdade, a constante G que aparece no EFE é determinada fazendo essas duas aproximações.
Derivação da lei da gravidade de Newton A gravitação newtoniana pode ser escrita como a teoria de um campo escalar, Φ , que é o potencial gravitacional em joules por quilograma do campo gravitacional g = −∇Φ , consulte a lei de Gauss para a gravidade
onde ρ é a densidade de massa. A órbita de uma partícula em queda livre satisfaz
Na notação tensorial, eles se tornam
Na relatividade geral, essas equações são substituídas pelas equações de campo de Einstein na forma de rastreamento reverso
para alguma constante, K , e a equação geodésica
Para ver como o último se reduz ao primeiro, assumimos que a velocidade da partícula de teste é aproximadamente zero
e assim
e que a métrica e suas derivadas são aproximadamente estáticas e que os quadrados dos desvios da métrica de Minkowski são desprezíveis. A aplicação dessas suposições simplificadas aos componentes espaciais da equação geodésica dá
onde dois fatores de dt/dτforam divididos. Isso se reduzirá à sua contraparte newtoniana, desde que
Nossas suposições forçam α = ie as derivadas de tempo (0) a serem zero. Então, isso simplifica para
que se satisfaz em deixar
Voltando às equações de Einstein, precisamos apenas do componente tempo-tempo
as suposições de baixa velocidade e campo estático implicam que
Então
e assim
Da definição do tensor de Ricci
Nossas suposições simplificadas fazem os quadrados de Γ desaparecerem junto com as derivadas de tempo
Combinando as equações acima
que se reduz à equação de campo newtoniana fornecida
que irá ocorrer se
Equações de campo de vácuo
Se o tensor de energia-momento T μν for zero na região em consideração, então as equações de campo também são chamadas de equações de campo de vácuo . Ao definir T μν = 0 nas equações de campo invertido , as equações de vácuo podem ser escritas como
No caso de constante cosmológica diferente de zero, as equações são
As soluções para as equações do campo de vácuo são chamadas de soluções de vácuo . O espaço plano de Minkowski é o exemplo mais simples de uma solução de vácuo. Os exemplos não triviais incluem a solução de Schwarzschild e a solução de Kerr .
Variedades com um tensor de Ricci em desaparecimento , R μν = 0 , são referidas como variedades planas de Ricci e variedades com um tensor de Ricci proporcional à métrica como variedades de Einstein .
Equações de Einstein-Maxwell
Se o tensor de energia-momento T μν é aquele de um campo eletromagnético no espaço livre , ou seja, se o tensor de energia-tensão eletromagnética
é usado, então as equações de campo de Einstein são chamadas de equações de Einstein-Maxwell (com constante cosmológica Λ , considerada zero na teoria da relatividade convencional):
Além disso, as equações covariantes de Maxwell também são aplicáveis no espaço livre:
onde o ponto-e-vírgula representa uma derivada covariante e os colchetes denotam anti-simetrização . A primeira equação afirma que a 4- divergência da forma 2 F é zero, e a segunda que sua derivada exterior é zero. Deste último, segue pelo lema de Poincaré que em um gráfico de coordenadas é possível introduzir um potencial de campo eletromagnético A α tal que
em que a vírgula denota uma derivada parcial. Freqüentemente, isso é considerado equivalente à equação covariante de Maxwell da qual é derivado. No entanto, existem soluções globais da equação que podem carecer de um potencial definido globalmente.
Soluções
As soluções das equações de campo de Einstein são métricas do espaço-tempo . Essas métricas descrevem a estrutura do espaço-tempo, incluindo o movimento inercial de objetos no espaço-tempo. Como as equações de campo não são lineares, nem sempre podem ser resolvidas completamente (ou seja, sem fazer aproximações). Por exemplo, não existe uma solução completa conhecida para um espaço-tempo com dois corpos massivos (que é um modelo teórico de um sistema estelar binário, por exemplo). No entanto, normalmente são feitas aproximações nesses casos. Essas são comumente chamadas de aproximações pós-newtonianas . Mesmo assim, existem vários casos em que as equações de campo foram resolvidas completamente, e esses são chamados de soluções exatas .
O estudo das soluções exatas das equações de campo de Einstein é uma das atividades da cosmologia . Isso leva à previsão de buracos negros e a diferentes modelos de evolução do universo .
Também é possível descobrir novas soluções para as equações de campo de Einstein por meio do método de estruturas ortonormais, como foi iniciado por Ellis e MacCallum. Nesta abordagem, as equações de campo de Einstein são reduzidas a um conjunto de equações diferenciais ordinárias acopladas, não lineares. Conforme discutido por Hsu e Wainwright, soluções auto-semelhantes para as equações de campo de Einstein são pontos fixos do sistema dinâmico resultante . Novas soluções foram descobertas usando esses métodos por LeBlanc e Kohli e Haslam.
O EFE linearizado
A não linearidade do EFE torna difícil encontrar soluções exatas. Uma maneira de resolver as equações de campo é fazer uma aproximação, ou seja, longe da (s) fonte (s) de matéria gravitante, o campo gravitacional é muito fraco e o espaço - tempo se aproxima do espaço de Minkowski . A métrica é então escrita como a soma da métrica de Minkowski e um termo que representa o desvio da métrica verdadeira da métrica de Minkowski , ignorando os termos de maior potência. Este procedimento de linearização pode ser usado para investigar os fenômenos da radiação gravitacional .
Forma polinomial
Apesar do EFE escrito conter o inverso do tensor métrico, eles podem ser arranjados de uma forma que contenha o tensor métrico na forma polinomial e sem seu inverso. Primeiro, o determinante da métrica em 4 dimensões pode ser escrito
usando o símbolo Levi-Civita ; e o inverso da métrica em 4 dimensões pode ser escrito como:
Substituir esta definição do inverso da métrica nas equações, em seguida, multiplicar ambos os lados por uma potência adequada de det ( g ) para eliminá-lo do denominador resulta em equações polinomiais no tensor métrico e suas primeira e segunda derivadas. A ação da qual as equações são derivadas também pode ser escrita na forma polinomial por redefinições adequadas dos campos.
Veja também
Notas
Referências
Consulte Recursos da relatividade geral .
- Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitação . São Francisco: WH Freeman . ISBN 978-0-7167-0344-0.
- Weinberg, Steven (1972). Gravitação e Cosmologia . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-92567-5.
- Peacock, John A. (1999). Física Cosmológica . Cambridge University Press. ISBN 978-0521410724.
links externos
- "Einstein equations" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Caltech Tutorial on Relativity - Uma introdução simples às equações de campo de Einstein.
- O significado da equação de Einstein - uma explicação da equação de campo de Einstein, sua derivação e algumas de suas consequências
- Aula em vídeo sobre equações de campo de Einstein pelo professor de física do MIT Edmund Bertschinger.
- Arco e andaime: Como Einstein encontrou suas equações de campo Physics Today novembro de 2015, História do Desenvolvimento das Equações de Campo
- A equação de campo de Einstein na parede do Museu Boerhaave no centro de Leiden