Lei do pensamento - Law of thought

As leis do pensamento são regras axiomáticas fundamentais sobre as quais o próprio discurso racional é freqüentemente considerado como baseado. A formulação e o esclarecimento de tais regras têm uma longa tradição na história da filosofia e da lógica . Geralmente são tidas como leis que orientam e fundamentam o pensamento, pensamentos , expressões, discussões, etc. de todos. No entanto, essas ideias clássicas são frequentemente questionadas ou rejeitadas em desenvolvimentos mais recentes, como a lógica intuicionista , dialeteísmo e lógica difusa .

De acordo com o Cambridge Dictionary of Philosophy de 1999 , as leis do pensamento são leis pelas quais ou de acordo com as quais o pensamento válido procede, ou que justificam inferência válida, ou para as quais toda dedução válida é redutível. Leis de pensamento são regras que se aplicam sem exceção a qualquer assunto de pensamento, etc .; às vezes é dito que eles são o objeto da lógica. O termo, raramente usado exatamente no mesmo sentido por diferentes autores, há muito tempo é associado a três expressões igualmente ambíguas: a lei da identidade (DI), a lei da contradição (ou não contradição; NC) e a lei dos excluídos meio (EM). Às vezes, essas três expressões são tomadas como proposições de ontologia formal com o assunto mais amplo possível, proposições que se aplicam a entidades como tais: (ID), tudo é (isto é, é idêntico a) a si mesmo; (NC) nada que tenha uma determinada qualidade também tem o negativo dessa qualidade (por exemplo, nenhum número par é não par); (EM) tudo tem uma determinada qualidade ou tem o negativo dessa qualidade (por exemplo, todo número é par ou não par). Igualmente comum em trabalhos mais antigos é o uso dessas expressões para princípios de metalógica sobre proposições: (ID) cada proposição implica a si mesma; (NC) nenhuma proposição é verdadeira e falsa; (EM) toda proposição é verdadeira ou falsa.

Do meio ao final dos anos 1800, essas expressões têm sido usadas para denotar proposições da álgebra booleana sobre classes: (ID) cada classe inclui a si mesma; (NC) toda classe é tal que sua interseção ("produto") com seu próprio complemento é a classe nula; (EM) toda classe é tal que sua união ("soma") com seu próprio complemento é a classe universal. Mais recentemente, as duas últimas das três expressões foram usadas em conexão com a lógica proposicional clássica e com a chamada lógica proposicional prototética ou quantificada ; em ambos os casos, a lei da não contradição envolve a negação da conjunção ("e") de algo com sua própria negação, ¬ (A∧¬A), e a lei do terceiro excluído envolve a disjunção ("ou") de algo com sua própria negação, A∨¬A. No caso da lógica proposicional, o "algo" é uma carta esquemática que serve como um marcador, enquanto no caso da lógica prototética o "algo" é uma variável genuína. As expressões "lei de não contradição" e "lei do meio excluído" também são usadas para os princípios semânticos da teoria do modelo em relação a sentenças e interpretações: (NC) sob nenhuma interpretação é uma determinada frase verdadeira e falsa, (EM) sob qualquer interpretação, uma determinada frase é verdadeira ou falsa.

Todas as expressões mencionadas acima foram usadas de muitas outras maneiras. Muitas outras proposições também foram mencionadas como leis de pensamento, incluindo o dictum de omni et nullo atribuído a Aristóteles , a substitutividade de idênticos (ou iguais) atribuídos a Euclides , a chamada identidade de indiscerníveis atribuída a Gottfried Wilhelm Leibniz , e outros "verdades lógicas".

A expressão "leis do pensamento" ganhou destaque adicional por meio de seu uso por Boole (1815-64) para denotar teoremas de sua "álgebra da lógica"; na verdade, ele chamou seu segundo livro de lógica de Uma Investigação das Leis do Pensamento nas quais se Fundam as Teorias Matemáticas da Lógica e das Probabilidades (1854). Os lógicos modernos, em desacordo quase unânime com Boole, consideram essa expressão um termo impróprio; nenhuma das proposições acima classificadas sob "leis do pensamento" são explicitamente sobre o pensamento per se, um fenômeno mental estudado pela psicologia , nem envolvem referência explícita a um pensador ou conhecedor como seria o caso na pragmática ou na epistemologia . A distinção entre psicologia (como um estudo de fenômenos mentais) e lógica (como um estudo de inferência válida) é amplamente aceita.

As três leis tradicionais

História

Hamilton oferece uma história das três leis tradicionais que começa com Platão , prossegue através de Aristóteles e termina com os escolásticos da Idade Média ; além disso, ele oferece uma quarta lei (ver entrada abaixo, em Hamilton ):

" Os princípios da Contradição e do Meio Excluído podem ser rastreados até Platão : Os princípios da Contradição e do Meio Excluído podem ser rastreados até Platão, por quem foram enunciados e frequentemente aplicados; embora não tenha demorado muito para que ambos deles obteve uma denominação distintiva. Para tomar primeiro o princípio da contradição. Esta lei que Platão frequentemente emprega, mas as passagens mais notáveis ​​são encontradas no Phœdo, na Sophista e no quarto e sétimo livros da República. [Hamilton LECT . V. LÓGICA. 62]

Lei do meio excluído : A lei do meio excluído entre dois contraditórios remete, como eu disse, também a Platão, embora o Segundo Alcibíades, o diálogo em que é mais claramente expresso, deva ser admitido como espúrio. Também está nos fragmentos de Pseudo-Archytas, que podem ser encontrados em Stobæus . [Hamilton LECT. V. LOGIC. 65]

Hamilton observa ainda que "É explicitamente e enfaticamente enunciado por Aristóteles em muitas passagens tanto de sua Metafísica (l. Iii. (Iv.) C.7.) E de sua Analítica, tanto Prior (lic 2) como Posterior (1. 4) No primeiro deles, ele diz: "É impossível que haja qualquer meio entre opostos contraditórios, mas é necessário afirmar ou negar tudo de tudo." [Hamilton LECT. V. LÓGICA. 65]

" Lei da Identidade. [Hamilton também chama isso de" O princípio de todas as afirmações e definições lógicas "] Antonius Andreas : A lei da Identidade, eu disse, não foi explicada como um princípio coordenado até um período comparativamente recente. O autor mais antigo no qual Achei isso feito, é Antonius Andreas , um estudioso de Scotus, que floresceu no final do século XIII e início do século XIV. O escolar, no quarto livro de seu Comentário da Metafísica de Aristóteles - um comentário cheio de as visões mais engenhosas e originais, - não apenas afirma para a lei da Identidade uma dignidade coordenada com a lei da Contradição, mas, contra Aristóteles, ele sustenta que o princípio da Identidade, e não o princípio da Contradição, é aquele que está absolutamente em primeiro lugar .A fórmula em que Andreas o expressou foi Ens est ens . Posteriormente a este autor, a questão relativa à prioridade relativa das duas leis de Identidade e de Contradição tornou-se muito mais uma vez. tado nas escolas; embora também tenham sido encontrados alguns que afirmaram a lei de Excluded Middle nesta posição suprema. "[De Hamilton LECT. V. LOGIC. 65-66]

Três leis tradicionais: identidade, não contradição, meio excluído

O seguinte enuncia as três "leis" tradicionais nas palavras de Bertrand Russell (1912):

A lei da identidade

A lei da identidade : 'Tudo o que é, é.'

Para todo a: a = a.

Sobre esta lei, Aristóteles escreveu:

Em primeiro lugar, pelo menos isso é obviamente verdade, que a palavra "ser" ou "não ser" tem um significado definido, de modo que nem tudo será "assim e não assim". Novamente, se "homem" tem um significado, que seja "animal de dois pés"; por ter um significado, eu entendo isso: - se "homem" significa "X", então se A é um homem "X" será o que "ser homem" significa para ele. (Não faz diferença mesmo que alguém diga que uma palavra tem vários significados, desde que sejam limitados em número; pois a cada definição pode ser atribuída uma palavra diferente. Por exemplo, podemos dizer que "homem" não tem um significando apenas várias, uma das quais teria uma definição, a saber, "animal de dois pés", embora pudesse haver também várias outras definições se fossem limitadas em número, pois um nome peculiar poderia ser atribuído a cada uma das definições. Se, no entanto, eles não fossem limitados, mas alguém dissesse que a palavra tem um número infinito de significados, obviamente o raciocínio seria impossível; pois não ter um significado é não ter significado, e se as palavras não têm significado, nosso raciocínio com um ao outro, e de fato conosco, foi aniquilado; pois é impossível pensar em qualquer coisa se não pensarmos em uma coisa; mas se isso for possível, um nome pode ser atribuído a esta coisa.)

-  Aristóteles, Metafísica , Livro IV, Parte 4 (traduzido por WD Ross)

Mais de dois milênios depois, George Boole aludiu ao mesmo princípio que Aristóteles fez quando Boole fez a seguinte observação com respeito à natureza da linguagem e aqueles princípios que devem ser inerentes naturalmente a eles:

Existem, de fato, certos princípios gerais fundados na própria natureza da linguagem, pelos quais o uso de símbolos, que são apenas os elementos da linguagem científica, é determinado. Até certo ponto, esses elementos são arbitrários. Sua interpretação é puramente convencional: podemos empregá-los da maneira que quisermos. Mas essa permissão é limitada por duas condições indispensáveis, primeiro, que do sentido uma vez convencionalmente estabelecido nós nunca, no mesmo processo de raciocínio, partimos; em segundo lugar, que as leis pelas quais o processo é conduzido sejam baseadas exclusivamente no sentido ou significado acima estabelecido dos símbolos empregados.

-  George Boole, Uma Investigação das Leis do Pensamento

A lei da não contradição

A lei da não contradição (alternadamente a 'lei da contradição'): 'Nada pode ser e não ser.'

Em outras palavras: "duas ou mais afirmações contraditórias não podem ser ambas verdadeiras no mesmo sentido ao mesmo tempo": ¬ (A ∧ ¬A).

Nas palavras de Aristóteles, que “não se pode dizer de algo que seja e que não seja no mesmo aspecto e ao mesmo tempo”. Como ilustração desta lei, ele escreveu:

É impossível, então, que "ser homem" signifique precisamente não ser homem, se "homem" não apenas significa algo sobre um assunto, mas também tem um significado ... E não será possível ser e não ser ser a mesma coisa, exceto em virtude da ambigüidade, como se aquele a quem chamamos de "homem" e os outros o chamassem de "não-homem"; mas a questão em questão não é se a mesma coisa pode ao mesmo tempo ser e não ser um homem de nome, mas se pode ser de fato.

-  Aristóteles, Metafísica, Livro IV, Parte 4 (traduzido por WD Ross)

A lei do meio excluído

A lei do terceiro excluído: 'Tudo deve ser ou não ser.'

De acordo com a lei do terceiro excluído ou terceiro excluído, para cada proposição, tanto sua forma positiva quanto negativa é verdadeira: A ∨ ¬A.

A respeito da lei do terceiro excluído , Aristóteles escreveu:

Mas, por outro lado, não pode haver um intermediário entre contraditórios, mas de um sujeito devemos afirmar ou negar qualquer predicado. Isso fica claro, em primeiro lugar, se definirmos o que é o verdadeiro e o falso. Dizer do que é que não é, ou do que não é que é, é falso, ao passo que dizer do que é e do que não é é verdadeiro; de modo que quem diz de qualquer coisa que seja ou não diga o que é verdadeiro ou o que é falso

-  Aristóteles, Metafísica, Livro IV, Parte 7 (traduzido por WD Ross)

Justificativa

Como as citações de Hamilton acima indicam, em particular o verbete "lei da identidade", a justificativa e a expressão das "leis do pensamento" têm sido um terreno fértil para o debate filosófico desde Platão. Hoje o debate - sobre como "conhecemos" o mundo das coisas e nossos pensamentos - continua; para exemplos de justificativas, consulte as entradas abaixo.

Platão

Em um dos diálogos socráticos de Platão , Sócrates descreveu três princípios derivados da introspecção :

Em primeiro lugar, que nada pode se tornar maior ou menor, em número ou magnitude, permanecendo igual a si mesmo ... Em segundo lugar, que sem adição ou subtração não há aumento ou diminuição de nada, mas apenas igualdade ... Em terceiro lugar, aquilo que não era antes, não pode ser depois, sem se tornar e ter se tornado.

-  Platão , Teeteto , 155

Lógica indiana

A lei da não-contradição é encontrada na antiga lógica indiana como uma meta-regra nos Shrauta Sutras , na gramática de Pāṇini e nos Brahma Sutras atribuídos a Vyasa . Posteriormente, foi elaborado por comentaristas medievais como Madhvacharya .

Locke

John Locke afirmou que os princípios de identidade e contradição (isto é, a lei da identidade e a lei da não-contradição) eram idéias gerais e só ocorriam às pessoas após um considerável pensamento filosófico abstrato. Ele caracterizou o princípio de identidade como "Tudo o que é, é". Ele declarou o princípio da contradição como "É impossível que a mesma coisa seja e não seja". Para Locke, esses não eram princípios inatos ou a priori .

Leibniz

Gottfried Leibniz formulou dois princípios adicionais, um ou ambos os quais às vezes podem ser contados como uma lei do pensamento:

• princípio da razão suficiente
• identidade de indiscerníveis

No pensamento de Leibniz, bem como em geral na abordagem do racionalismo , os dois últimos princípios são considerados axiomas claros e incontestáveis . Eles foram amplamente reconhecidos no pensamento europeu dos séculos 17, 18 e 19, embora tenham sido objeto de maior debate no século 19. Como se revelou ser o caso da lei da continuidade , estas duas leis envolvem questões que, em termos contemporâneos, são objeto de muito debate e análise (respetivamente sobre o determinismo e a extensionalidade ). Os princípios de Leibniz foram particularmente influentes no pensamento alemão. Na França, a Lógica Port-Royal foi menos influenciada por eles. Hegel discutiu com a identidade dos indiscerníveis em sua Ciência da Lógica (1812-1816).

Schopenhauer

Quatro leis

"As leis primárias do pensamento, ou as condições do pensável, são quatro: - 1. A lei da identidade [A é A]. 2. A lei da contradição. 3. A lei da exclusão; ou meio excluído. 4. A lei da razão suficiente. " (Thomas Hughes, The Ideal Theory of Berkeley and the Real World , Parte II, Seção XV, Nota de rodapé, p. 38 )

Arthur Schopenhauer discutiu as leis do pensamento e tentou demonstrar que elas são a base da razão. Ele os listou da seguinte maneira em seu Sobre a Raiz Quádrupla do Princípio da Razão Suficiente , §33:

1. Um sujeito é igual à soma de seus predicados, ou a = a.
2. Nenhum predicado pode ser atribuído e negado simultaneamente a um sujeito ou a ≠ ~ a.
3. De cada dois predicados contraditoriamente opostos, um deve pertencer a todos os sujeitos.
4. A verdade é a referência de um julgamento a algo externo como sua razão ou fundamento suficiente.

Também:

As leis do pensamento podem ser expressas de forma mais inteligível assim:

1. Tudo o que existe existe.
2. Nada pode ser e não ser simultaneamente.
3. Cada coisa é ou não é.
4. De tudo o que existe, pode-se descobrir o porquê.

Teria então que ser adicionado apenas o fato de que de uma vez por todas na lógica a questão é sobre o que é pensado e, portanto, sobre conceitos e não sobre coisas reais.

-  Schopenhauer, Manuscript Remains , Vol. 4, "Pandectae II", §163

Para mostrar que eles são a base da razão , ele deu a seguinte explicação:

Por meio de uma reflexão, que posso chamar de autoexame da faculdade da razão, sabemos que esses julgamentos são a expressão das condições de todo pensamento e, portanto, as têm como fundamento. Assim, ao fazer vãs tentativas de pensar em oposição a essas leis, a faculdade da razão as reconhece como as condições de possibilidade de todo pensamento. Descobrimos então que é tão impossível pensar em oposição a eles quanto mover nossos membros na direção contrária às suas articulações. Se o sujeito pudesse se conhecer, deveríamos conhecer essas leis imediatamente , e não primeiro por meio de experimentos com objetos, ou seja, representações (imagens mentais).

-  Schopenhauer, On the Fourfold Root of the Principle of Sufficient Reason , §33

As quatro leis de Schopenhauer podem ser apresentadas esquematicamente da seguinte maneira:

1. A é A.
2. A não é não-A.
3. X é A ou não-A.
4. Se A, então B (A implica B).

Duas leis

Mais tarde, em 1844, Schopenhauer afirmou que as quatro leis do pensamento poderiam ser reduzidas a duas. No nono capítulo do segundo volume de O mundo como vontade e representação , ele escreveu:

Parece-me que a doutrina das leis do pensamento poderia ser simplificada se estabelecêssemos apenas duas, a lei do terceiro excluído e a da razão suficiente. O primeiro assim: "Todo predicado pode ser confirmado ou negado de todo sujeito." Aqui já está contido no "ou ou" que ambos não podem ocorrer simultaneamente e, conseqüentemente, apenas o que é expresso pelas leis de identidade e contradição. Assim, estes seriam acrescentados como corolários daquele princípio que realmente diz que cada duas esferas conceituais devem ser pensadas como unidas ou separadas, mas nunca como ambas ao mesmo tempo; e, portanto, embora as palavras sejam unidas para expressá-la, essas palavras afirmam um processo de pensamento que não pode ser realizado. A consciência dessa inviabilidade é o sentimento de contradição. A segunda lei do pensamento, o princípio da razão suficiente, afirmaria que a atribuição ou refutação acima deve ser determinada por algo diferente do próprio julgamento, que pode ser uma percepção (pura ou empírica), ou simplesmente outro julgamento. Essa outra e diferente coisa é então chamada de fundamento ou razão do julgamento. Na medida em que um julgamento satisfaça a primeira lei do pensamento, ele é pensável; na medida em que satisfaça a segunda, é verdade, ou pelo menos no caso em que o fundamento de um julgamento é apenas outro julgamento, é lógica ou formalmente verdadeiro.

Boole (1854): De suas "leis da mente", Boole deriva a "Lei da contradição" de Aristóteles.

O título do tratado de lógica de George Boole de 1854, Uma Investigação sobre as Leis do Pensamento , indica um caminho alternativo. As leis agora são incorporadas a uma representação algébrica de suas "leis da mente", aprimoradas ao longo dos anos na moderna álgebra booleana .

Fundamentação da petição: Como as "leis da mente" devem ser distinguidas

Boole começa seu capítulo I "Natureza e desenho desta obra" com uma discussão sobre quais características distinguem, geralmente, "leis da mente" de "leis da natureza":

"As leis gerais da Natureza não são, em sua maioria, objetos imediatos de percepção. Ou são inferências indutivas de um grande corpo de fatos, a verdade comum na qual expressam, ou, pelo menos em sua origem, hipóteses físicas de uma natureza causal ... São em todos os casos, e no sentido mais estrito do termo, conclusões prováveis, aproximando-se, na verdade, cada vez mais da certeza, à medida que recebem cada vez mais da confirmação da experiência ... . "

Em contraste com isso estão o que ele chama de "leis da mente": Boole afirma que elas são conhecidas em sua primeira instância, sem necessidade de repetição:

"Por outro lado, o conhecimento das leis da mente não requer como base qualquer coleção extensa de observações. A verdade geral é vista na instância particular e não é confirmada pela repetição de instâncias. ... não vemos apenas no exemplo particular a verdade geral, mas também a vemos como uma certa verdade - uma verdade, nossa confiança na qual não continuará a aumentar com o aumento da experiência de sua verificação prática. " (Boole 1854: 4)

Os signos de Boole e suas leis

Boole começa com a noção de "signos" que representam "classes", "operações" e "identidade":

“Todos os signos da linguagem, como instrumento de raciocínio, podem ser conduzidos por um sistema de signos composto pelos seguintes elementos

"1º símbolos literais como x, y, etc, representando coisas como assuntos de nossas concepções,

"2º Sinais de operação, como +, -, x representando aquelas operações da mente pelas quais as concepções das coisas são combinadas ou resolvidas de modo a formar novas concepções envolvendo os mesmos elementos,

"3º O sinal de identidade, =.

E esses símbolos da Lógica estão, em seu uso, sujeitos a leis definidas, em parte concordando e em parte divergindo das leis dos símbolos correspondentes na ciência da Álgebra. (Boole 1854: 27)

Boole então esclarece o que um "símbolo literal", por exemplo, x, y, z, ... representa - um nome aplicado a uma coleção de instâncias em "classes". Por exemplo, "pássaro" representa toda a classe de criaturas de sangue quente com asas e penas. Para seus propósitos, ele estende a noção de classe para representar a participação em "um", ou "nada", ou "o universo", isto é, a totalidade de todos os indivíduos:

"Concordemos, então, em representar a classe de indivíduos aos quais um determinado nome ou descrição é aplicável, por uma única letra, como z. ... Por uma classe geralmente se entende uma coleção de indivíduos, a cada um dos quais um nome específico ou descrição pode ser aplicada; mas neste trabalho o significado do termo será estendido de modo a incluir o caso em que apenas exista um único indivíduo, respondendo ao nome ou descrição exigidos, bem como os casos denotados pelos termos " nada "e" universo ", que como" classes "devem ser entendidos como compreendendo respectivamente 'nenhum ser', 'todos os seres'" (Boole 1854: 28)

Ele então define o que a sequência de símbolos, por exemplo, xy significa [lógica moderna &, conjunção]:

"Que fique ainda acordado que, pela combinação xy, será representada aquela classe de coisas às quais os nomes ou descrições representadas por x e y são simultaneamente aplicáveis. Assim, se x sozinho significa" coisas brancas ", e y significa "ovelha", deixe xy representar 'ovelha branca' "(Boole 1854: 28)

Dadas essas definições, ele agora lista suas leis com sua justificativa mais exemplos (derivados de Boole):

• (1) xy = yx [lei comutativa]

"x representa 'estuários' e y 'rios', as expressões xy e yx representarão indiferentemente" 'rios que são estuários' ou 'estuários que são rios' "

• (2) xx = x, alternadamente x ² = x [Identidade absoluta de significado, a "lei fundamental do pensamento" de Boole, cf página 49]

“Assim, 'bons, bons' homens equivale a 'bons' homens”.

OR lógico : Boole define "reunir as partes em um todo ou separar um todo em suas partes" (Boole 1854: 32). Aqui, o conectivo "e" é usado disjuntivamente, assim como "ou"; ele apresenta uma lei comutativa (3) e uma lei distributiva (4) para a noção de "cobrança". A noção de separar uma parte do todo ele simboliza com a operação "-"; ele define uma lei comutativa (5) e distributiva (6) para esta noção:

• (3) y + x = x + y [lei comutativa]

"Assim, a expressão 'homens e mulheres' é ... equivalente à expressão" mulheres e homens. Deixe x representar 'homens,' y, 'mulheres' e deixe + representar 'e' e 'ou' ... "

• (4) z (x + y) = zx + zy [lei distributiva]

z = europeu, (x = "homens, y = mulheres): homens e mulheres europeus = homens europeus e mulheres europeias

• (5) x - y = −y + x [lei de comutação: separando uma parte do todo]

"Todos os homens (x) exceto asiáticos (y)" é representado por x - y. "Todos os estados (x) exceto os estados monárquicos (y)" é representado por x - y

• (6) z (x - y) = zx - zy [lei distributiva]

Por último, há uma noção de "identidade" simbolizada por "=". Isso permite dois axiomas: (axioma 1): igual adicionado a igual resulta em igual, (axioma 2): igual subtraído de igual resulta em igual.

• (7) Identidade ("é", "são"), por exemplo, x = y + z, "estrelas" = "sóis" e "os planetas"

Nada "0" e Universo "1" : Ele observa que os únicos dois números que satisfazem xx = x são 0 e 1. Ele então observa que 0 representa "Nada" enquanto "1" representa o "Universo" (do discurso).

O NÃO lógico : Boole define o contrário (NÃO lógico) da seguinte forma (sua Proposição III):

"Se x representa qualquer classe de objetos, então 1 - x representará a classe contrária ou suplementar de objetos, ou seja, a classe incluindo todos os objetos que não são compreendidos na classe x" (Boole 1854: 48)

Se x = "homens", então "1 - x" representa o "universo" menos "homens", ou seja, "não-homens".

A noção de um particular em oposição a um universal : Para representar a noção de "alguns homens", Boole escreve a letra minúscula "v" antes do símbolo-predicado "vx" alguns homens.

OU-exclusivo e inclusivo : Boole não usa esses nomes modernos, mas os define como segue x (1-y) + y (1-x) e x + y (1-x), respectivamente; estes concordam com as fórmulas derivadas por meio da álgebra booleana moderna.

Boole deriva a lei da contradição

Armado com seu "sistema", ele deriva o "princípio da [não] contradição" a partir de sua lei de identidade: x ² = x. Ele subtrai x de ambos os lados (seu axioma 2), resultando em x ² - x = 0. Ele então fatora x: x (x - 1) = 0. Por exemplo, se x = "homens", então 1 - x representa NÃO-homens. Portanto, temos um exemplo da "Lei da Contradição":

"Portanto: x (1 - x) representará a classe cujos membros são ao mesmo tempo" homens "e" não homens ", e a equação [x (1 - x) = 0], portanto, expressa o princípio de que uma classe cuja os membros são ao mesmo tempo homens e não homens não existe. Em outras palavras, que é impossível para o mesmo indivíduo ser ao mesmo tempo homem e não homem ... isto é identicamente aquele "princípio de contradição "que Aristóteles descreveu como o axioma fundamental de toda filosofia ... o que tem sido comumente considerado o axioma fundamental da metafísica é apenas a consequência de uma lei do pensamento, matemática em sua forma." (com mais explicações sobre essa "dicotomia", cf Boole 1854: 49ss)

Boole define a noção de "domínio (universo) do discurso"

Esta noção é encontrada em todas as "Leis do Pensamento" de Boole, por exemplo, 1854: 28, onde o símbolo "1" (o inteiro 1) é usado para representar "Universo" e "0" para representar "Nada", e com muito mais detalhes posteriormente (páginas 42ss):

"Agora, qualquer que seja a extensão do campo dentro do qual todos os objetos do nosso discurso são encontrados, esse campo pode ser apropriadamente denominado o universo do discurso. ... Além disso, este universo do discurso é, no sentido mais estrito, o sujeito final do discurso. "

Em seu capítulo "O cálculo do predicado" Kleene observa que a especificação do "domínio" do discurso "não é uma suposição trivial, uma vez que nem sempre é claramente satisfeita no discurso comum ... na matemática da mesma forma, a lógica pode se tornar bastante escorregadia quando nenhum D [domínio] foi especificado explicitamente ou implicitamente, ou a especificação de um D [domínio] é muito vaga (Kleene 1967: 84).

Hamilton (1837–38 palestras sobre lógica, publicado em 1860): uma quarta "Lei da Razão e Consequente"

Como observado acima, Hamilton especifica quatro leis - as três tradicionais mais a quarta "Lei da Razão e Consequente" - como segue:

"XIII. As Leis Fundamentais do Pensamento, ou as condições do pensável, como comumente recebidas, são quatro: - 1. A Lei da Identidade; 2. A Lei da Contradição; 3. A Lei da Exclusão ou do Meio Excluído; e , 4. A Lei da Razão e Consequentes, ou da Razão Suficiente . "

Fundamentação da petição: "A lógica é a ciência das Leis do Pensamento como Pensamento"

Hamilton opina que o pensamento vem em duas formas: "necessário" e "contingente" (Hamilton 1860: 17). No que diz respeito à forma "necessária", ele define seu estudo como "lógica": "A lógica é a ciência das formas necessárias de pensamento" (Hamilton 1860: 17). Para definir "necessário", ele afirma que isso implica as seguintes quatro "qualidades":

(1) "determinado ou necessário pela natureza do próprio sujeito pensante ... é subjetivamente, não objetivamente, determinado;

(2) "original e não adquirido;

(3) "universal; isto é, não pode ser que seja necessário em algumas ocasiões e não seja necessário em outras.

(4) "deve ser uma lei; pois uma lei é aquela que se aplica a todos os casos, sem exceção, e da qual um desvio é sempre e em toda parte impossível, ou, pelo menos, não permitido. ... Esta última condição, da mesma forma, permite-nos dar a enunciação mais explícita do objeto-matéria da Lógica, ao dizer que a Lógica é a ciência das Leis do Pensamento como Pensamento, ou a ciência das Leis Formais do Pensamento, ou a ciência das Leis do Pensamento a Forma de Pensamento; pois tudo isso são meramente várias expressões da mesma coisa. "

4ª lei de Hamilton: "Não inferir nada sem fundamento ou razão"

Aqui está a quarta lei de Hamilton de seu LECT. V. LOGIC. 60-61:

"Passo agora para a quarta lei.

" Parágrafo XVII. Lei da Razão Suficiente, ou da Razão e Consequente :

"XVII. O pensamento de um objeto, como realmente caracterizado por atributos positivos ou negativos, não é deixado ao capricho da compreensão - a faculdade de pensar; mas essa faculdade deve ser necessária a este ou aquele determinado ato de pensar por um conhecimento de algo diferente e independente do próprio processo de pensar. Esta condição de nosso entendimento é expressa pela lei, como é chamada, da razão suficiente ( principium Rationis Sufficientis ); mas é mais apropriadamente denominada lei da razão e Conseqüente ( principium Rationis et Consecutionis ). Esse conhecimento pelo qual a mente é necessária para afirmar ou postular outra coisa, é chamado de fundamento da razão lógica, ou antecedente ; essa outra coisa que a mente é necessária para afirmar ou postular, é chamada de conseqüente lógico ; e a relação entre a razão e o conseqüente, é chamada de conexão lógica ou conseqüência . Esta lei é expressa na fórmula - Inferir nada sem um fundamento ou razão. ¹

Relações entre Razão e Consequente : As relações entre Razão e Consequente, quando compreendidas em um pensamento puro, são as seguintes:

1. Quando uma razão é dada explícita ou implicitamente, então deve ¶ existir um consequente; e, vice-versa , quando um consequente é dado, também deve existir uma razão.

¹ Ver Schulze, Logik , §19, e Krug, Logik , §20, - ED.

2. Onde não há razão, não pode haver conseqüência; e, vice-versa , onde não há conseqüência (implícita ou explicitamente), não pode haver razão. Ou seja, os conceitos de razão e de conseqüente, como reciprocamente relativos, se envolvem e se supõem.

O significado lógico desta lei : O significado lógico da lei da Razão e Conseqüente reside nisto: - Que em virtude disso, o pensamento é constituído em uma série de atos todos indissoluvelmente conectados; cada um necessariamente inferindo o outro. É assim que a distinção e oposição de matéria possível, real e necessária, que foi introduzida na Lógica, é uma doutrina totalmente estranha a esta ciência.

Welton

No século 19, as leis aristotélicas do pensamento, bem como às vezes as leis leibnizianas do pensamento, eram material padrão nos livros de lógica, e J. Welton os descreveu desta forma:

As Leis do Pensamento, Princípios Reguladores do Pensamento ou Postulados do Conhecimento são aquelas leis fundamentais, necessárias, formais e a priori mentais de acordo com as quais todo pensamento válido deve ser conduzido. São a priori, isto é, resultam diretamente dos processos da razão exercidos sobre os fatos do mundo real. Eles são formais; pois, como leis necessárias a todo pensamento, eles não podem, ao mesmo tempo, determinar as propriedades definidas de qualquer classe particular de coisas, pois é opcional pensarmos ou não nessa classe de coisas. Eles são necessários, pois ninguém jamais os concebe, ou pode, concebê-los revertidos, ou realmente violá-los, porque ninguém jamais aceita uma contradição que se apresenta a sua mente como tal.

-  Welton, A Manual of Logic , 1891, Vol. I, p. 30

Russell (1903–1927)

A sequência de 1903 de Bertrand Russell "Os Princípios da Matemática" tornou-se a obra em três volumes chamada Principia Mathematica (doravante PM), escrita em conjunto com Alfred North Whitehead . Imediatamente após ele e Whitehead publicarem PM, ele escreveu seu 1912 "The Problems of Philosophy". Seus "Problemas" refletem "as idéias centrais da lógica de Russell".

The Principles of Mathematics (1903)

Em seus "Princípios" de 1903, Russell define Lógica Simbólica ou Formal (ele usa os termos como sinônimos) como "o estudo dos vários tipos gerais de dedução" (Russell 1903: 11). Ele afirma que "a lógica simbólica está essencialmente preocupada com a inferência em geral" (Russell 1903: 12) e com uma nota de rodapé indica que ele não distingue entre inferência e dedução ; além disso, ele considera a indução "como uma dedução disfarçada ou um mero método de fazer suposições plausíveis" (Russell 1903: 11). Essa opinião mudará em 1912, quando ele considera seu "princípio de indução" parecido com os vários "princípios lógicos" que incluem as "Leis do Pensamento".

Em sua Parte I "Os Indefiníveis da Matemática" Capítulo II "Lógica Simbólica" Parte A "O Cálculo Proposicional" Russell reduz a dedução ("cálculo proposicional") a 2 "indefiníveis" e 10 axiomas:

"17. Exigimos, então, no cálculo proposicional, nenhum indefinível exceto os dois tipos de implicação [simples também conhecido como" material "e" formal "] - lembrando, no entanto, que a implicação formal é uma noção complexa, cuja análise permanece para No que diz respeito aos nossos dois indefiníveis, exigimos certas proposições indemonstráveis, que até agora não consegui reduzir a menos de dez (Russell 1903: 15).

Destes, ele afirma ser capaz de derivar a lei do terceiro excluído e a lei da contradição, mas não exibe suas derivações (Russell 1903: 17). Posteriormente, ele e Whitehead aperfeiçoaram esses "princípios primitivos" e axiomas nos nove encontrados em PM, e aqui Russell realmente exibe essas duas derivações em ❋1,71 e ❋3,24, respectivamente.

The Problems of Philosophy (1912)

Em 1912, Russell em seus "Problemas" presta muita atenção à "indução" (raciocínio indutivo), bem como à "dedução" (inferência), ambos os quais representam apenas dois exemplos de "princípios lógicos autoevidentes" que incluem as "Leis da Pensei."

Princípio da indução : Russell dedica um capítulo ao seu "princípio da indução". Ele o descreve como vindo em duas partes: em primeiro lugar, como uma coleção repetida de evidências (sem falhas de associação conhecidas) e, portanto, aumentando a probabilidade de que sempre que A acontecer, B o seguirá; em segundo lugar, em um novo caso, quando de fato A acontecer, B realmente o seguirá: isto é, "um número suficiente de casos de associação tornará a probabilidade de uma nova associação quase uma certeza, e fará com que se aproxime da certeza sem limite".

Ele então coleta todos os casos (instâncias) do princípio de indução (por exemplo, caso 1: A ₁ = "o sol nascente", B ₁ = "o céu oriental"; caso 2: A ₂ = "o sol poente", B ₂ = "o céu ocidental"; caso 3: etc.) em uma lei de indução "geral" que ele expressa da seguinte forma:

"(a) Quanto maior o número de casos em que uma coisa do tipo A foi encontrada associada a uma coisa do tipo B, mais provável é (se os casos de falha de associação são conhecidos) que A está sempre associado com B;

"(b) Nas mesmas circunstâncias, um número suficiente de casos da associação de A com B tornará quase certo que A está sempre associado com B, e fará com que esta lei geral se aproxime da certeza sem limites."

Ele argumenta que esse princípio de indução não pode ser refutado ou provado pela experiência, a falha da refutação ocorrendo porque a lei lida com a probabilidade de sucesso e não com a certeza; a falha da prova ocorrendo por causa de casos não examinados que ainda estão para ser vividos, ou seja, eles ocorrerão (ou não) no futuro. "Portanto, devemos aceitar o princípio indutivo com base em sua evidência intrínseca, ou renunciar a qualquer justificativa de nossas expectativas sobre o futuro".

Em seu próximo capítulo ("Sobre nosso conhecimento dos princípios gerais"), Russell oferece outros princípios que têm essa propriedade semelhante: "que não podem ser provados ou refutados pela experiência, mas são usados ​​em argumentos que partem do que é experimentado". Ele afirma que estes "têm evidências ainda maiores do que o princípio da indução ... o conhecimento deles tem o mesmo grau de certeza que o conhecimento da existência dos dados dos sentidos. Eles constituem o meio de tirar inferências do que é dado em sensação".

Princípio de inferência : Russell então oferece um exemplo que ele chama de princípio "lógico". Duas vezes antes ele afirmou este princípio, primeiro como o quarto axioma em seu 1903 e depois como sua primeira "proposição primitiva" de PM: "§1.1 Qualquer coisa implícita por uma proposição elementar verdadeira é verdadeira". Agora ele o repete em seu 1912 de uma forma refinada: "Assim, nosso princípio afirma que se isso implica isso, e isso é verdade, então isso é verdade. Em outras palavras, 'qualquer coisa implícita por uma proposição verdadeira é verdadeira', ou ' tudo o que se segue de uma proposição verdadeira é verdadeiro. ”Este princípio ele enfatiza muito, afirmando que“ este princípio está realmente envolvido - pelo menos, instâncias concretas dele estão envolvidas - em todas as demonstrações ”.

Ele não chama seu princípio de inferência de modus ponens , mas sua expressão formal e simbólica dele em PM (2ª edição, 1927) é a de modus ponens ; a lógica moderna chama isso de "regra" em oposição a uma "lei". Na citação que se segue, o símbolo "⊦" é o "sinal de afirmação" (cf PM: 92); "⊦" significa "é verdade que", portanto "⊦p" onde "p" é "o sol está nascendo" significa "é verdade que o sol está nascendo", alternadamente "A declaração 'O sol está nascendo' é verdade". O símbolo de "implicação" "⊃" é comumente lido "se p, então q", ou "p implica q" (cf PM: 7). Embutidos nesta noção de "implicação" estão duas "idéias primitivas", "a Função Contraditória" (simbolizada por NOT, "~") e "a Soma Lógica ou Disjunção" (simbolizada por OR, "⋁"); estes aparecem como "proposições primitivas" ❋1.7 e ❋1.71 em PM (PM: 97). Com essas duas "proposições primitivas", Russell define "p ⊃ q" como tendo a equivalência lógica formal "NOT-p OR q" simbolizada por "~ p ⋁ q":

" Inferência . O processo de inferência é o seguinte: uma proposição" p "é afirmada, e uma proposição" p implica q "é afirmada e, em seguida, a proposição" q "é afirmada. A confiança na inferência é a crença que se as duas afirmações anteriores não estão erradas, a afirmação final não está errada. Conseqüentemente, sempre que, em símbolos, onde p e q têm, é claro, uma determinação especial

"" ⊦p "e" ⊦ (p ⊃ q) "

"ocorreram, então" ⊦q "ocorrerá se for desejado registrá-lo. O processo de inferência não pode ser reduzido a símbolos. Seu único registro é a ocorrência de" ⊦q ". ... Uma inferência é o abandono de uma premissa verdadeira; é a dissolução de uma implicação ”.

Em outras palavras, em uma longa "sequência" de inferências, após cada inferência, podemos separar o "consequente" "⊦q" da sequência de símbolos "⊦p, ⊦ (p⊃q)" e não levar esses símbolos adiante em um seqüência cada vez maior de símbolos.

As três "leis" (princípios) tradicionais do pensamento : Russell prossegue afirmando outros princípios, dos quais o princípio lógico acima é "apenas um". Ele afirma que "alguns deles devem ser concedidos antes que qualquer argumento ou prova se torne possível. Quando alguns deles foram concedidos, outros podem ser provados." Destas várias "leis", ele afirma que "sem uma razão muito boa, três desses princípios foram escolhidos pela tradição sob o nome de 'Leis do Pensamento'. E estes ele lista como segue:

"(1) A lei da identidade : 'Tudo o que é, é.'

(2) A lei da contradição : 'Nada pode ser e não ser.'

(3) A lei do terceiro excluído : 'Tudo deve ser ou não ser.' "

Fundamentação da petição: Russel opina que "o nome 'leis do pensamento' é ... enganoso, pois o que é importante não é o facto de pensarmos de acordo com essas leis, mas o facto de as coisas se comportarem de acordo com elas; em outras palavras , o fato de que, quando pensamos de acordo com eles, pensamos verdadeiramente . " Mas ele classifica isso como uma "grande questão" e a expande em dois capítulos seguintes, onde começa com uma investigação da noção de conhecimento "a priori" (inato, embutido) e, finalmente, chega à sua aceitação do mundo "platônico dos universais ". Em sua investigação, ele volta de vez em quando às três leis tradicionais do pensamento, destacando a lei da contradição em particular: "A conclusão de que a lei da contradição é uma lei do pensamento é, entretanto, errônea ... [melhor], a lei da contradição é sobre coisas, e não apenas sobre pensamentos ... um fato concernente às coisas no mundo. "

Seu argumento começa com a afirmação de que as três leis tradicionais do pensamento são "exemplos de princípios evidentes por si mesmos". Para Russell, a questão da "autoevidência" apenas introduz a questão mais ampla de como derivamos nosso conhecimento do mundo. Ele cita a "controvérsia histórica ... entre as duas escolas chamadas respectivamente de 'empiristas' [ Locke , Berkeley e Hume ] e 'racionalistas' [ Descartes e Leibniz ]" (esses filósofos são seus exemplos). Russell afirma que os racionalistas "sustentavam que, além do que conhecemos pela experiência, existem certas 'idéias inatas' e 'princípios inatos', que conhecemos independentemente da experiência"; para eliminar a possibilidade de os bebês terem conhecimento inato das "leis do pensamento", Russell renomeia esse tipo de conhecimento a priori . E enquanto Russell concorda com os empiristas que "Nada pode ser conhecido por existir exceto com a ajuda da experiência", ele também concorda com os racionalistas que algum conhecimento é a priori , especificamente "as proposições da lógica e da matemática pura, bem como as proposições fundamentais da ética ".

Esta questão de como tal conhecimento a priori pode existir direciona Russell a uma investigação sobre a filosofia de Immanuel Kant , que após cuidadosa consideração ele rejeita como segue:

"... há uma objeção principal que parece fatal para qualquer tentativa de lidar com o problema do conhecimento a priori por meio de seu método. A única coisa a ser considerada é nossa certeza de que os fatos devem sempre estar em conformidade com a lógica e a aritmética ... . Assim, a solução de Kant limita indevidamente o alcance das proposições a priori , além de falhar na tentativa de explicar sua certeza ”.

Suas objeções a Kant então levam Russell a aceitar a 'teoria das idéias' de Platão , "em minha opinião ... uma das tentativas mais bem-sucedidas até agora feitas."; ele afirma que "... devemos examinar nosso conhecimento dos universais ... onde descobriremos que [esta consideração] resolve o problema do conhecimento a priori ."

Principia Mathematica (Parte I: primeira edição de 1910, 2ª edição de 1927)

Infelizmente, os "Problemas" de Russell não oferecem um exemplo de um "conjunto mínimo" de princípios que se aplicariam ao raciocínio humano, tanto indutivo quanto dedutivo. Mas PM fornece pelo menos um conjunto de exemplos (mas não o mínimo; ver Post abaixo) que é suficiente para o raciocínio dedutivo por meio do cálculo proposicional (em oposição ao raciocínio por meio do cálculo de predicado mais complicado ) - um total de 8 princípios no início da "Parte I: Lógica Matemática". Cada uma das fórmulas: ❋1.2 a: ❋1.6 é uma tautologia (verdadeira não importa qual seja o valor de verdade de p, q, r ...). O que falta no tratamento do PM é uma regra formal de substituição; em sua tese de doutorado de 1921, Emil Post corrige essa deficiência (ver Post abaixo). A seguir, as fórmulas são escritas em um formato mais moderno do que o usado no PM; os nomes são fornecidos em PM).

❋1.1 Tudo o que está implícito em uma proposição elementar verdadeira é verdadeiro.

❋1.2 Princípio de Tautologia: (p ⋁ p) ⊃ p

❋1.3 Princípio da adição [lógica]: q ⊃ (p ⋁ q)

❋1.4 Princípio de Permutação: (p ⋁ q) ⊃ (q ⋁ p)

❋1.5 Princípio associativo: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r) [ redundante ]

❋1.6 Princípio da Soma [lógica]: (q ⊃ r) ⊃ ((p ⋁ q) ⊃ (p ⋁ r))

❋1.7 [NOT lógico]: Se p é uma proposição elementar, ~ p é uma proposição elementar.

❋1.71 [OR inclusivo lógico]: Se p e q são proposições elementares, (p ⋁ q) é uma proposição elementar.

Russell resume esses princípios com "Isso completa a lista de proposições primitivas exigidas para a teoria da dedução aplicada a proposições elementares" (PM: 97).

Partindo dessas oito tautologias e um uso tácito da "regra" de substituição, PM então deriva mais de uma centena de fórmulas diferentes, entre as quais estão a Lei do Meio Excluído ❋1.71 , e a Lei da Contradição ❋3.24 (esta última requer uma definição de AND lógico simbolizado pelo ⋀ moderno: (p ⋀ q) = _def ~ (~ p ⋁ ~ q). (PM usa o símbolo "ponto" _▪ para AND lógico)).

Ladd-Franklin (1914): "princípio da exclusão" e o "princípio da exaustão"

Mais ou menos na mesma época (1912) em que Russell e Whitehead estavam terminando o último volume de seus Principia Mathematica, e a publicação de "The Problems of Philosophy" de Russell, pelo menos dois lógicos ( Louis Couturat , Christine Ladd-Franklin ) estavam afirmando que dois "leis" (princípios) de contradição "e" meio excluído "são necessários para especificar" contraditórios "; Ladd-Franklin renomeou esses princípios de exclusão e exaustão . O seguinte aparece como uma nota de rodapé na página 23 do Couturat 1914:

"Como a Sra. LADD · FRANKLlN realmente observou (BALDWIN, Dicionário de Filosofia e Psicologia, artigo" Leis do Pensamento "), o princípio da contradição não é suficiente para definir os contraditórios; o princípio do terceiro excluído deve ser adicionado, que igualmente merece o nome do princípio da contradição É por isso que a Sra. LADD-FRANKLIN se propõe a chamá-los respectivamente de princípio da exclusão e princípio do esgotamento, visto que, segundo o primeiro, dois termos contraditórios são exclusivos (um do outro); e, de acordo com a segunda, são exaustivas (do universo do discurso). "

Em outras palavras, a criação de "contraditórios" representa uma dicotomia , ou seja, a "divisão" de um universo de discurso em duas classes (coleções) que possuem as seguintes duas propriedades: são (i) mutuamente exclusivas e (ii) (coletivamente ) exaustivo. Em outras palavras, nenhuma coisa (tirada do universo do discurso) pode ser membro simultaneamente de ambas as classes (lei da não-contradição), mas [e] cada coisa (no universo do discurso) deve ser membro de uma classe ou outra (lei do meio excluído).

Post (1921): O cálculo proposicional é consistente e completo

Como parte de sua tese de doutorado "Introdução a uma teoria geral de proposições elementares", Emil Post provou "o sistema de proposições elementares de Principia [PM]", isto é, seu "cálculo proposicional" descrito pelas primeiras 8 "proposições primitivas" de PM como sendo consistente . A definição de "consistente" é esta: que por meio do "sistema" dedutivo em mãos (seus axiomas, leis, regras declarados) é impossível derivar (exibir) tanto uma fórmula S quanto sua contraditória ~ S (ou seja, sua lógica negação) (Nagel e Newman 1958: 50). Para demonstrar isso formalmente, Post teve que adicionar uma proposição primitiva às 8 proposições primitivas de PM, uma "regra" que especificava a noção de "substituição" que faltava no PM original de 1910.

Dado o minúsculo conjunto de "proposições primitivas" de PM e a prova de sua consistência, Post então prova que este sistema ("cálculo proposicional" de PM) está completo , o que significa que todas as tabelas verdade possíveis podem ser geradas no "sistema":

"... todo sistema de verdade tem uma representação no sistema de Principia enquanto todo sistema completo, ou seja, aquele que tem todas as tabelas de verdade possíveis, é equivalente a ele. ... Vemos, portanto, que sistemas completos são equivalentes ao sistema de Principia não apenas no desenvolvimento da tabela de verdade, mas também postulacionalmente. Como outros sistemas são, em certo sentido, formas degeneradas de sistemas completos, podemos concluir que nenhum novo sistema lógico foi introduzido. "

Um conjunto mínimo de axiomas? A questão de sua independência

Depois, há a questão da "independência" dos axiomas. Em seu comentário antes do Post 1921, van Heijenoort afirma que Paul Bernays resolveu o problema em 1918 (mas publicado em 1926) - a fórmula ❋1.5 Princípio Associativo: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r) pode ser provada com os outros quatro. Quanto a qual sistema de "proposições primitivas" é o mínimo, van Heijenoort afirma que o assunto foi "investigado por Zylinski (1925), pelo próprio Post (1941) e por Wernick (1942)", mas van Heijenoort não responde à questão.

Teoria do modelo versus teoria da prova: prova de Post

Kleene (1967: 33) observa que a "lógica" pode ser "fundada" de duas maneiras, primeiro como uma "teoria modelo" ou, segundo, por uma "prova" formal ou "teoria axiomática"; "as duas formulações, a da teoria do modelo e a da teoria da prova, fornecem resultados equivalentes" (Kleene 1967: 33). Essa escolha fundamental e sua equivalência também se aplicam à lógica de predicados (Kleene 1967: 318).

Em sua introdução ao Post 1921, van Heijenoort observa que tanto a "tabela de verdade quanto as abordagens axiomáticas são claramente apresentadas". Esta questão de uma prova de consistência nos dois sentidos (por uma teoria de modelo, por uma teoria de prova axiomática) surge na versão mais adequada da prova de consistência de Post que pode ser encontrada em Nagel e Newman 1958 em seu capítulo V "Um exemplo de um Prova de consistência absoluta bem-sucedida ". No corpo principal do texto, eles usam um modelo para obter sua prova de consistência (eles também afirmam que o sistema está completo, mas não oferecem uma prova) (Nagel & Newman 1958: 45–56). Mas seu texto promete ao leitor uma prova que é axiomática ao invés de se basear em um modelo, e no Apêndice eles entregam essa prova com base nas noções de uma divisão de fórmulas em duas classes K ₁ e K ₂ que são mutuamente exclusivas e exaustivas ( Nagel & Newman 1958: 109-113).

Gödel (1930): O cálculo de predicados de primeira ordem está completo

O (restrito) "cálculo de predicado de primeira ordem" é o "sistema de lógica" que adiciona à lógica proposicional (cf Post , acima) a noção de "sujeito-predicado", isto é, o sujeito x é extraído de um domínio (universo) do discurso e do predicado é uma função lógica f (x): x como sujeito ef (x) como predicado (Kleene 1967: 74). Embora a prova de Gödel envolva a mesma noção de "completude" que a prova de Post, a prova de Gödel é muito mais difícil; o que se segue é uma discussão do conjunto de axiomas.

Integridade

Kurt Gödel em sua tese de doutorado de 1930 "A completude dos axiomas do cálculo funcional da lógica" provou que neste "cálculo" (isto é, lógica de predicado restrita com ou sem igualdade) que toda fórmula válida é "refutável ou satisfatória" ou o que equivale à mesma coisa: toda fórmula válida é demonstrável e, portanto, a lógica está completa. Aqui está a definição de Gödel de se o "cálculo funcional restrito" é ou não "completo":

"... se é realmente suficiente para a derivação de cada proposição lógico-matemática, ou onde, talvez, seja concebível que existam proposições verdadeiras (que podem ser provadas por meio de outros princípios) que não podem ser derivadas no sistema sob consideração."

O cálculo de predicado de primeira ordem

Este cálculo de predicado particular é "restrito à primeira ordem". Ao cálculo proposicional, ele adiciona dois símbolos especiais que simbolizam as generalizações " para todos " e "existe (pelo menos um)" que se estendem sobre o domínio do discurso . O cálculo requer apenas a primeira noção "para todos", mas normalmente inclui ambos: (1) a noção "para todos os x" ou "para todos os x" é simbolizada na literatura de forma variada como (x), ∀x, Πx etc. ., e a (2) noção de "existe (pelo menos um x)" variadamente simbolizada como Ex, ∃x.

A restrição é que a generalização "para todos" se aplica apenas às variáveis (objetos x, y, z etc. retirados do domínio do discurso) e não às funções, ou seja, o cálculo permitirá ∀xf (x) (" para todas as criaturas x, x é um pássaro ") mas não ∀f∀x (f (x)) [mas se" igualdade "for adicionada ao cálculo, permitirá ∀f: f (x); veja abaixo em Tarski ]. Exemplo:

Seja o predicado "função" f (x) "x é um mamífero", e o domínio-sujeito (ou universo do discurso ) (cf Kleene 1967: 84) seja a categoria "morcegos":

A fórmula ∀xf (x) fornece o valor de verdade "verdade" (leia: "Para todas as instâncias x de objetos 'morcegos', 'x é um mamífero'" é uma verdade, isto é, "Todos os morcegos são mamíferos");

Mas se as instâncias de x são retiradas de um domínio "criaturas aladas", então ∀xf (x) produz o valor de verdade "falso" (ou seja, "Para todas as instâncias x de 'criaturas aladas', 'x é um mamífero'" tem um valor de verdade de "falsidade"; "Insetos voadores são mamíferos" é falso);

No entanto, no amplo domínio do discurso "todas as criaturas aladas" (por exemplo, "pássaros" + "insetos voadores" + "esquilos voadores" + "morcegos"), podemos afirmar ∃xf (x) (leia: "Existe pelo menos um alado criatura que é um mamífero '"; produz um valor de verdade de" verdade "porque os objetos x podem vir da categoria" morcegos "e talvez" esquilos voadores "(dependendo de como definimos" alado "). Mas a fórmula produz "falsidade" quando o domínio do discurso se restringe a "insetos voadores" ou "pássaros" ou tanto "insetos" quanto "pássaros".

Kleene observa que "o cálculo de predicados (sem ou com igualdade) realiza plenamente (para teorias de primeira ordem) o que foi concebido para ser o papel da lógica" (Kleene 1967: 322).

Um novo axioma: a máxima de Aristóteles - "a máxima de todos e de nada"

Esta primeira metade deste axioma - "a máxima de todos" aparecerá como o primeiro de dois axiomas adicionais no conjunto de axiomas de Gödel. A "máxima de Aristóteles" ( dictum de omni et nullo ) às vezes é chamada de "a máxima de todos e de nada", mas na verdade são duas "máximas" que afirmam: "O que é verdade para todos (membros do domínio) é verdade para alguns (membros do domínio) ", e" O que não é verdade para todos (membros do domínio) não é verdade para nenhum (dos membros do domínio) ".

O "dito" aparece em Boole 1854 em alguns lugares:

"Pode ser uma questão se essa fórmula de raciocínio, que é chamada de dito de Aristóteles, de Omni et nullo , expressa uma lei primária do raciocínio humano ou não; mas não há dúvida de que expressa uma verdade geral na Lógica" ( 1854: 4)

Mas depois ele parece argumentar contra isso:

"[Alguns princípios de] princípio geral de natureza axiomática, como a" máxima de Aristóteles: "Tudo o que é afirmado ou negado do gênero pode, no mesmo sentido, ser afirmado ou negado de qualquer espécie incluída naquele gênero. ... ou afirmam diretamente, mas de forma abstrata, o argumento que se supõe que elucidam e, assim afirmando esse argumento, afirmam sua validade; ou envolvem em sua expressão termos técnicos que, após definição, nos conduzem novamente ao mesmo ponto, viz. a declaração abstrata das supostas formas permitidas de inferência. "

Mas a primeira metade desse "dictum" ( dictum de omni ) é retomada por Russell e Whitehead em PM, e por Hilbert em sua versão (1927) da "lógica dos predicados de primeira ordem"; seu (sistema) inclui um princípio que Hilbert chama de "ditado de Aristóteles"

(x) f (x) → f (y)

Este axioma também aparece no conjunto de axiomas modernos oferecido por Kleene (Kleene 1967: 387), como seu "∀-schema", um dos dois axiomas (ele os chama de "postulados") necessários para o cálculo de predicados; o outro sendo o "esquema-∃" f (y) ⊃ ∃xf (x) que raciocina do f (y) particular para a existência de pelo menos um sujeito x que satisfaz o predicado f (x); ambos requerem adesão a um domínio definido (universo) de discurso.

Cálculo de predicado restrito de Gödel

Para complementar os quatro (de cinco; ver Post ) axiomas do cálculo proposicional, Gödel 1930 adiciona o dictum de omni como o primeiro de dois axiomas adicionais. Tanto esse "ditado" quanto o segundo axioma, afirma ele em uma nota de rodapé, derivam dos Principia Mathematica . Na verdade, o PM inclui tanto como

❋10.1 ⊦ ∀xf (x) ⊃ f (y) ["Ie, o que é verdade em todos os casos é verdade em qualquer caso" ("Ditado de Aristóteles", reescrito em símbolos mais modernos)]

❋10,2 ⊦∀x (p ⋁ f (x)) ⊃ (p ⋁ ∀xf (x)) [reescrito em símbolos mais modernos]

O último afirma que a soma lógica (isto é, ⋁, OR) de uma proposição simples p e um predicado ∀xf (x) implica a soma lógica de cada um separadamente. Mas PM deriva ambos de seis proposições primitivas de ❋9, que na segunda edição de PM é descartada e substituída por quatro novos "Pp" (princípios primitivos) de ❋8 (ver em particular ❋8.2, e Hilbert deriva a primeira de seu "axioma ε lógico" em 1927 e não menciona o segundo. Não está claro como Hilbert e Gödel adotaram esses dois como axiomas.

Também são necessárias mais duas "regras" de desprendimento ("modus ponens") aplicáveis ​​aos predicados.

Tarski (1946): lei de Leibniz

Alfred Tarski em seu 1946 (2ª edição) "Introdução à Lógica e à Metodologia das Ciências Dedutivas" cita uma série do que ele considera "leis universais" do cálculo sentencial, três "regras" de inferência e uma lei fundamental de identidade (da qual ele deriva mais quatro leis). As tradicionais "leis do pensamento" estão incluídas em sua longa lista de "leis" e "regras". O seu tratamento é, como sugere o título do seu livro, limitado à "Metodologia das Ciências Dedutivas".

Fundamentação da petição: Na sua introdução (2ª edição), ele observa que o que começou com uma aplicação da lógica à matemática foi alargado a "todo o conhecimento humano":

"[Quero apresentar] uma ideia clara dessa poderosa tendência do pensamento contemporâneo que se concentra na lógica moderna. Essa tendência surgiu originalmente da tarefa um tanto limitada de estabilizar os fundamentos da matemática. Em sua fase atual, no entanto, ela tem muito objetivos mais amplos. Pois ele procura criar um aparato conceitual unificado que forneceria uma base comum para todo o conhecimento humano. "

Lei da identidade (lei de Leibniz, igualdade)

Para adicionar a noção de "igualdade" ao "cálculo proposicional" (esta nova noção não deve ser confundida com a equivalência lógica simbolizada por ↔, ⇄, "se e somente se (iff)", "bicondicional", etc.) Tarski ( cf p54-57) simboliza o que ele chama de "lei de Leibniz" com o símbolo "=". Isso estende o domínio (universo) do discurso e os tipos de funções para números e fórmulas matemáticas (Kleene 1967: 148ff, Tarski 1946: 54ff).

Resumindo: dado que "x possui todas as propriedades que y possui", podemos escrever "x = y", e esta fórmula terá um valor de verdade de "verdade" ou "falsidade". Tarski declara esta lei de Leibniz da seguinte forma:

• I. Lei de Leibniz: x = y, se, e somente se, x tem todas as propriedades que y tem, ey tem todas as propriedades que x tem.

Ele então deriva algumas outras "leis" desta lei:

• II. Lei da Reflexividade: Tudo é igual a si mesmo: x = x. [Comprovado na PM ❋13.15]
• III. Lei da Simetria: Se x = y, então y = x. [Comprovado na PM ❋13.16]
• 4. Lei da transitividade: Se x = y e y = z, então x = z. [Comprovado na PM ❋13.17]
• V. Se x = z e y = z, então x = y. [Comprovado na PM ❋13.172]

Principia Mathematica define a noção de igualdade como segue (em símbolos modernos); observe que a generalização "para todos" se estende às funções de predicado f ():

❋13.01. x = y = _def ∀f: (f (x) → f (y)) ("Esta definição afirma que x e y devem ser chamados de idênticos quando cada função de predicado satisfeita por x é satisfeita por y"

Hilbert 1927: 467 adiciona apenas dois axiomas de igualdade, o primeiro é x = x, o segundo é (x = y) → ((f (x) → f (y)); o "para todos f" está faltando (ou implícito). Gödel 1930 define igualdade de forma semelhante a PM: ❋ 13.01. Kleene 1967 adota os dois de Hilbert 1927 mais dois (Kleene 1967: 387).

Desenvolvimentos contemporâneos

Todos os "sistemas de lógica" acima são considerados proposições de significado "clássicas" e as expressões predicativas têm dois valores, com o valor de verdade "verdade" ou "falsidade", mas não ambos (Kleene 1967: 8 e 83). Embora a lógica intuicionista caia na categoria "clássica", ela se opõe a estender o operador "para todos" à Lei do Meio Excluído; permite instâncias da "Lei", mas não sua generalização a um domínio infinito do discurso.

Lógica intuicionista

' Lógica intuicionista ', às vezes mais geralmente chamada de lógica construtiva , é uma lógica simbólica paracompleta que difere da lógica clássica por substituir o conceito tradicional de verdade pelo conceito de provabilidade construtiva .

A lei generalizada do terceiro excluído não faz parte da execução da lógica intuicionista , mas também não é negada. A lógica intuicionista apenas proíbe o uso da operação como parte do que define como uma " prova construtiva ", o que não é o mesmo que demonstrá-la inválida (isso é comparável ao uso de um determinado estilo de construção em que os parafusos são proibidos e apenas pregos são permitidos; não necessariamente refuta ou mesmo questiona a existência ou utilidade dos parafusos, mas apenas demonstra o que pode ser construído sem eles).

Lógica paraconsistente

' Lógica paraconsistente ' refere-se aos chamados sistemas lógicos tolerantes à contradição, nos quais uma contradição não resulta necessariamente em trivialismo . Em outras palavras, o princípio da explosão não é válido em tal lógica. Alguns (nomeadamente os dialeteístas) argumentam que a lei da não contradição é negada pela lógica dialetéica . São motivados por certos paradoxos que parecem implicar um limite da lei da não contradição, nomeadamente o paradoxo do mentiroso . Para evitar um sistema lógico trivial e ainda permitir que certas contradições sejam verdadeiras, os dialeteístas empregarão uma lógica paraconsistente de algum tipo.

Lógica de três valores

TBD cf Lógica de três valores tente este A Aritmética e Lógica Ternária - Acadêmico Semântico

Cálculos proposicionais modais

(cf Kleene 1967: 49): Esses " cálculos " incluem os símbolos ⎕A, que significa "A é necessário" e ◊A que significa "A é possível". Kleene afirma que:

"Essas noções entram em domínios de pensamento onde se entende haver dois tipos diferentes de" verdade ", uma mais universal ou convincente do que a outra ... Um zoólogo pode declarar que é impossível que salamandras ou quaisquer outras criaturas vivas possam sobreviver fogo; mas possível (embora falso) que os unicórnios existam, e possível (embora improvável) que os abomináveis ​​bonecos de neve existam. "

Lógica Fuzzy

' Lógica difusa ' é uma forma de lógica de muitos valores ; trata de um raciocínio aproximado em vez de fixo e exato.

Veja também

• Álgebra de conceitos

Referências

• Aristóteles , "The Categories", Harold P. Cooke (trad.), Pp. 1-109 em Aristotle, Vol. 1 , Loeb Classical Library , William Heinemann , Londres, Reino Unido, 1938.
• Aristóteles, "On Interpretation", Harold P. Cooke (trad.), Pp. 111-179 em Aristotle, Vol. 1 , Loeb Classical Library, William Heinemann, Londres, Reino Unido, 1938.
• Aristotle, " Prior Analytics ", Hugh Tredennick (trad.), Pp. 181-531 em Aristotle, Vol. 1 , Loeb Classical Library, William Heinemann, Londres, Reino Unido, 1938.
• Boole, George , An Investigation of the Laws of Thought on which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities , Macmillan , 1854. Reimpresso com correções, Dover Publications , New York, NY, 1958.
• Louis Couturat , traduzido por Lydia Gillingham Robinson, 1914, The Algebra of Logic , The Open Court Publishing Company, Chicago e Londres. Baixado via googlebooks.
• Gödel 1944 A lógica matemática de Russell em Kurt Gödel: Collected Works Volume II , Oxford University Press, New York, NY, ISBN  978-0-19-514721-6
• Sir William Hamilton, 9º Baronete , ( Henry L. Mansel e John Veitch , ed.), 1860 Lectures on Metafysics and Logic, in Two Volumes. Vol. II. Logic , Boston: Gould e Lincoln. Baixado via googlebooks.
• Stephen Cole Kleene , 1967, Mathematical Logic reprint 2002, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, ISBN  0-486-42533-9 (pbk.)
• Ernest Nagel , James R. Newman , 1958, Gödel's Proof , New York University Press, LCCCN: 58-5610.
• Bertrand Russell , The Problems of Philosophy (1912), Oxford University Press, New York, 1997, ISBN  0-19-511552-X .
• Arthur Schopenhauer , The World as Will and Representation , Volume 2, Dover Publications , Mineola, New York, 1966, ISBN  0-486-21762-0
• Alfred Tarski , 1946 (segunda edição), republicado em 1995, Introdução à Lógica e à Metodologia das Ciências Dedutivas traduzido por Olaf Helmer, Dover Publications, Inc., Nova York, ISBN  0-486-28462-X (pbk.)
• Jean van Heijenoort , 1967, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN  978-0-674-32449-7 (pbk)

• Emil Post , 1921, Introdução a uma teoria geral das proposições elementares com comentários de van Heijenoort, páginas 264ss
• David Hilbert , 1927, Os fundamentos da matemática com comentários de van Heijenoort, páginas 464ss
• Kurt Gödel , 1930a, A completude dos axiomas do cálculo funcional da lógica com comentário de van Heijenoort, páginas 592ss.

• Alfred North Whitehead , Bertrand Russell . Principia Mathematica , 3 vols, Cambridge University Press, 1910, 1912 e 1913. Segunda edição, 1925 (Vol. 1), 1927 (Vols 2, 3). Abreviado como Principia Mathematica para * 56 (2ª edição) , Cambridge University Press, 1962, no LCCCN ou ISBN

links externos

• James Danaher, " As Leis do Pensamento " , O Filósofo , Volume LXXXXII No. 1
• Peter Suber, " Non-Contradiction and Excluded Middle " , Earlham College