Lei do meio excluído - Law of excluded middle

Na lógica , a lei do terceiro excluído (ou o princípio do terceiro excluído ) afirma que, para cada proposição , ou esta proposição ou sua negação é verdadeira . É uma das chamadas três leis do pensamento , junto com a lei da não-contradição e a lei da identidade . No entanto, nenhum sistema de lógica é baseado apenas nessas leis, e nenhuma dessas leis fornece regras de inferência , como o modus ponens ou as leis de De Morgan.

A lei também é conhecida como lei (ou princípio ) do terceiro excluído , em latim principium tertii exclusi . Outra designação latina para esta lei é tertium non datur : "nenhuma terceira [possibilidade] é dada". É uma tautologia .

O princípio não deve ser confundido com o princípio semântico da bivalência , que afirma que toda proposição é verdadeira ou falsa. O princípio da bivalência sempre implica a lei do terceiro excluído, enquanto o inverso nem sempre é verdadeiro. Um contra-exemplo comumente citado usa declarações não prováveis ​​agora, mas prováveis ​​no futuro, para mostrar que a lei do terceiro excluído pode ser aplicada quando o princípio da bivalência falha.

História

Aristóteles

A formulação mais antiga conhecida está na discussão de Aristóteles sobre o princípio da não-contradição , primeiro proposto em Sobre a Interpretação , onde ele diz que de duas proposições contraditórias (isto é, onde uma proposição é a negação da outra), uma deve ser verdadeira, e a outra falso. Ele também afirma isso como um princípio no livro de Metafísica 3, dizendo que é necessário em todos os casos afirmar ou negar, e que é impossível que haja algo entre as duas partes de uma contradição.

Aristóteles escreveu que a ambigüidade pode surgir do uso de nomes ambíguos, mas não pode existir nos próprios fatos:

É impossível, então, que "ser homem" signifique precisamente "não ser homem", se "homem" não apenas significa algo sobre um assunto, mas também tem um significado. ... E não será possível ser e não ser a mesma coisa, exceto em virtude de uma ambigüidade, como se aquele que chamamos de "homem" e outros o chamassem de "não-homem"; mas a questão em questão não é se a mesma coisa pode ao mesmo tempo ser e não ser um homem de nome, mas se pode ser de fato. ( Metafísica 4.4, WD Ross (trad.), GBWW 8, 525-526).

A afirmação de Aristóteles de que "não será possível ser e não ser a mesma coisa", que seria escrita na lógica proposicional como ¬ ( P ∧ ¬ P ), é uma afirmação que os lógicos modernos poderiam chamar de lei do terceiro excluído ( P ∨ ¬ P ), como a distribuição da negação da afirmação de Aristóteles de que os torna equivalentes, independentemente de que os antigos reivindicações que nenhuma declaração é tanto o verdadeiro eo falso, enquanto o último exige que qualquer afirmação é tanto verdadeiro ou falso.

Mas Aristóteles também escreve, "uma vez que é impossível que os contraditórios sejam ao mesmo tempo verdadeiros para a mesma coisa, obviamente os contrários também não podem pertencer ao mesmo tempo à mesma coisa" (Livro IV, CH 6, p. 531). Ele então propõe que "não pode haver um intermediário entre contraditórios, mas de um sujeito devemos afirmar ou negar qualquer predicado" (Livro IV, CH 7, p. 531). No contexto de Aristóteles lógica tradicional , esta é uma afirmação extremamente preciso da lei do terceiro excluído, P ∨ ¬ P .

Ainda em Da Interpretação , Aristóteles parece negar a lei do terceiro excluído no caso de futuros contingentes , em sua discussão sobre a batalha naval.

Leibniz

Sua forma usual, "Todo julgamento é verdadeiro ou falso" [nota de rodapé 9] ... "(de Kolmogorov em van Heijenoort, p. 421) nota de rodapé 9:" Esta é a formulação muito simples de Leibniz (ver Nouveaux Essais , IV , 2) "(ibid p 421)

Bertrand Russell e Principia Mathematica

O princípio foi declarado como um teorema da lógica proposicional por Russell e Whitehead em Principia Mathematica como:

.

Então, o que é "verdade" e "falsidade"? Na abertura, o PM anuncia rapidamente algumas definições:

Valores de verdade . O "valor de verdade" de uma proposição é verdade se for verdadeira e falsidade se for falsa * [* Esta frase é devida a Frege] ... o valor de verdade de "p ∨ q" é verdade se a verdade- valor de p ou q é verdade, e é falsidade de outra forma ... aquele de "~ p" é o oposto daquele de p ... "(p. 7-8)

Isso não ajuda muito. Mais tarde, porém, em uma discussão muito mais profunda ("Definição e ambigüidade sistemática de Verdade e Falsidade" Capítulo II parte III, p. 41 ss), PM define a verdade e a falsidade em termos de uma relação entre o "a" e o "b" e o "percipiente". Por exemplo, "Este 'a' é 'b'" (por exemplo, "Este 'objeto a' é 'vermelho'") realmente significa "'objeto a' é um dado dos sentidos" e "'vermelho' é um dado dos sentidos" , e eles "estão em relação" um ao outro e em relação ao "Eu". Assim, o que realmente queremos dizer é: "Percebo que 'Este objeto a é vermelho'" e esta é uma "verdade" inegável por terceiros.

PM define ainda uma distinção entre um "dado dos sentidos" e uma "sensação":

Ou seja, quando julgamos (digamos) "isto é vermelho", o que ocorre é uma relação de três termos, a mente, e "isto" e "vermelho". Por outro lado, quando percebemos "a vermelhidão disso", há uma relação de dois termos, a saber, a mente e o objeto complexo "a vermelhidão disso" (pp. 43-44).

Russell reiterou sua distinção entre "dados dos sentidos" e "sensação" em seu livro The Problems of Philosophy (1912), publicado ao mesmo tempo que PM (1910-1913):

Vamos dar o nome de "dados dos sentidos" às coisas que são imediatamente conhecidas na sensação: coisas como cores, sons, cheiros, durezas, asperezas e assim por diante. Daremos o nome de "sensação" à experiência de estar imediatamente ciente dessas coisas ... A própria cor é um dado dos sentidos, não uma sensação. (p. 12)

Russell descreveu ainda mais seu raciocínio por trás de suas definições de "verdade" e "falsidade" no mesmo livro (Capítulo XII, Verdade e Falsidade ).

Consequências da lei do terceiro excluído em Principia Mathematica

Da lei do meio excluído, a fórmula ✸2.1 em Principia Mathematica , Whitehead e Russell derivam algumas das ferramentas mais poderosas do kit de ferramentas de argumentação do lógico. (Em Principia Mathematica, as fórmulas e proposições são identificadas por um asterisco e dois números, como "✸2.1".)

✸2.1 ~ pp "Esta é a Lei do meio excluído" ( PM , p. 101).

A prova de ✸2.1 é aproximadamente a seguinte: "ideia primitiva" 1.08 define pq = ~ pq . Substituindo p por q nesta regra resulta pp = ~ pp . Visto que pp é verdadeiro (este é o Teorema 2.08, que é provado separadamente), então ~ pp deve ser verdadeiro.

✸2.11 p ∨ ~ p (A permutação das asserções é permitida pelo axioma 1.4)
✸2.12 p → ~ (~ p ) (Princípio da negação dupla, parte 1: se "esta rosa é vermelha" for verdadeira, então não é verdade que " 'esta rosa não é vermelha' é verdade ".)
✸2.13 p ∨ ~ {~ (~ p )} (Lema junto com 2.12 usado para derivar 2.14)
✸2.14 ~ (~ p ) → p (Princípio da dupla negação, parte 2)
✸2.15 (~ pq ) → (~ qp ) (Um dos quatro "Princípios de transposição". Semelhante a 1.03, 1.16 e 1.17. Uma demonstração muito longa foi necessária aqui.)
✸2.16 ( pq ) → (~ q → ~ p ) (Se for verdade que "Se esta rosa é vermelha, então este porco voa", então é verdade que "Se este porco não voar, então esta rosa não é vermelha.")
✸ 2.17 (~ p → ~ q ) → ( qp ) (Outro dos "Princípios de transposição".)
✸2.18 (~ pp ) → p (Chamado "O complemento de reductio ad absurdum . Afirma que uma proposição que segue da hipótese de que sua própria falsidade é verdadeira "( PM , pp. 103-104).)

A maioria desses teoremas - em particular ✸2.1, ✸2.11 e ✸2.14 - são rejeitados pelo intuicionismo. Essas ferramentas são reformuladas em outra forma que Kolmogorov cita como "os quatro axiomas de implicação de Hilbert" e "os dois axiomas de negação de Hilbert" (Kolmogorov em van Heijenoort, p. 335).

Proposições ✸2.12 e ✸2.14, "dupla negação": Os escritos intuicionistas de LEJ Brouwer referem-se ao que ele chama de "o princípio da reciprocidade das espécies múltiplas , isto é, o princípio de que para todo sistema a correção de uma propriedade decorre de a impossibilidade da impossibilidade dessa propriedade "(Brouwer, ibid, p. 335).

Esse princípio é comumente chamado de "princípio da dupla negação" ( PM , pp. 101-102). Da lei do terceiro excluído (✸2.1 e ✸2.11), PM deriva o princípio ✸2.12 imediatamente. Substituímos ~ p por p em 2,11 para produzir ~ p ∨ ~ (~ p ), e pela definição de implicação (ou seja, 1,01 p → q = ~ p ∨ q) então ~ p ∨ ~ (~ p) = p → ~ (~ p). QED (A derivação de 2.14 é um pouco mais complicada.)

Reichenbach

É correto, pelo menos para a lógica bivalente - isto é, pode ser visto com um mapa de Karnaugh - que esta lei remove "o meio" do inclusivo - ou usada em sua lei (3). E este é o ponto da demonstração de Reichenbach de que alguns acreditam que o exclusivo -ou deve tomar o lugar do inclusivo -ou .

Sobre esta questão (em termos reconhecidamente muito técnicos) Reichenbach observa:

O tertium non datur
29. ( x ) [ f ( x ) ∨ ~ f ( x )]
não é exaustiva em seus termos principais e, portanto, é uma fórmula inflada. Este fato talvez explique por que algumas pessoas consideram não razoável escrever (29) com o inclusivo 'ou', e querem que seja escrito com o sinal do exclusivo - 'ou'
30. ( x ) [ f ( x ) ⊕ ~ f ( x )], onde o símbolo "⊕" significa exclusivo ou
em cuja forma seria totalmente exaustivo e, portanto, nomológico no sentido mais estrito. (Reichenbach, p. 376)

Na linha (30), o "(x)" significa "para todos" ou "para todos", uma forma usada por Russell e Reichenbach; hoje, o simbolismo geralmente é x . Assim, um exemplo da expressão ficaria assim:

  • ( porco ): ( Moscas ( porco ) ⊕ ~ Moscas ( porco ))
  • (Para todas as ocorrências de "porco" visível e invisível): ("Porco voa" ou "Porco não voa", mas não os dois simultaneamente)

Lógicos versus Intuicionistas

Do final do século 19 até a década de 1930, um debate amargo e persistente foi travado entre Hilbert e seus seguidores contra Hermann Weyl e LEJ Brouwer . A filosofia de Brouwer, chamada de intuicionismo , começou para valer com Leopold Kronecker no final do século XIX.

Hilbert detestava intensamente as ideias de Kronecker:

Kronecker insistiu que não poderia haver existência sem construção. Para ele, como para Paul Gordan [outro matemático idoso], a prova de Hilbert da finitude da base do sistema invariante simplesmente não era matemática. Hilbert, por outro lado, ao longo de sua vida insistiu que se alguém pode provar que os atributos atribuídos a um conceito nunca levarão a uma contradição, a existência matemática do conceito é assim estabelecida (Reid p. 34)

Era sua afirmação [de Kronecker] de que nada poderia ser dito como tendo existência matemática, a menos que pudesse realmente ser construído com um número finito de inteiros positivos (Reid p. 26)

O debate teve um efeito profundo em Hilbert. Reid indica que o segundo problema de Hilbert (um dos problemas de Hilbert da Segunda Conferência Internacional em Paris em 1900) evoluiu a partir deste debate (itálico no original):

Em seu segundo problema, [Hilbert] pediu uma prova matemática da consistência dos axiomas da aritmética dos números reais.
Para mostrar a importância deste problema, ele acrescentou a seguinte observação:
"Se atributos contraditórios forem atribuídos a um conceito, digo que matematicamente o conceito não existe " (Reid p. 71)

Assim, Hilbert estava dizendo: "Se p e ~ p são ambos comprovados como verdadeiros, então p não existe", e estava, portanto, invocando a lei do terceiro excluído moldado na forma da lei da contradição.

E, finalmente, os construtivistas ... restringiram a matemática ao estudo de operações concretas em estruturas finitas ou potencialmente (mas não realmente) infinitas; totalidades infinitas completas ... foram rejeitadas, assim como a prova indireta baseada na Lei do Meio Excluído. Os mais radicais entre os construtivistas foram os intuicionistas, liderados pelo antigo topólogo LEJ Brouwer (Dawson p. 49)

O debate rancoroso continuou do início dos anos 1900 até os anos 1920; em 1927, Brouwer queixou-se de "polemizar contra ele [o intuicionismo] em tons zombeteiros" (Brouwer in van Heijenoort, p. 492). Mas o debate foi fértil: resultou em Principia Mathematica (1910-1913), e esse trabalho deu uma definição precisa para a lei do terceiro excluído, e tudo isso forneceu um cenário intelectual e as ferramentas necessárias para os matemáticos do início do século 20 :

Do rancor, e gerado em parte por ele, surgiram vários desenvolvimentos lógicos importantes ... A axiomatização da teoria dos conjuntos de Zermelo (1908a) ... que foi seguida dois anos depois pelo primeiro volume de Principia Mathematica ... em que Russell e Whitehead mostraram como, por meio da teoria dos tipos, muito da aritmética poderia ser desenvolvida por meios lógicos (Dawson p. 49)

Brouwer reduziu o debate ao uso de provas concebidas a partir de provas "negativas" ou "inexistentes" versus "construtivas":

Segundo Brouwer, a afirmação de que existe um objeto com uma determinada propriedade significa que, e só é provada, quando é conhecido um método que, em princípio, pelo menos permitirá que tal objeto seja encontrado ou construído ...
Hilbert naturalmente discordou.
"As provas de existência pura têm sido os marcos mais importantes no desenvolvimento histórico de nossa ciência", afirmou. (Reid p. 155)
Brouwer ... recusou-se a aceitar o princípio lógico do terceiro excluído ... Seu argumento era o seguinte:
"Suponha que A seja a declaração" Existe um membro do conjunto S com a propriedade P. "Se o conjunto for finito, é possível - em princípio - examinar cada membro de S e determinar se há um membro de S com a propriedade P ou que todo membro de S carece da propriedade P. Para conjuntos finitos, portanto, Brouwer aceitou o princípio do meio excluído como válido. Ele se recusou a aceitá-lo para conjuntos infinitos porque se o conjunto S é infinito, não podemos - mesmo em princípio - examine cada membro do conjunto. Se, durante o curso de nosso exame, encontrarmos um membro do conjunto com a propriedade P , a primeira alternativa é comprovada; mas se nunca encontrarmos tal membro, a segunda alternativa ainda não está fundamentada.
Visto que os teoremas matemáticos são freqüentemente provados estabelecendo-se que a negação nos envolveria em uma contradição, esta terceira possibilidade sugerida por Brouwer colocaria em questão muitas das afirmações matemáticas atualmente aceitas.
"Tirar o Princípio do Meio Excluído do matemático", disse Hilbert, "é o mesmo que ... proibir ao boxeador o uso de seus punhos."
"A possível derrota não pareceu incomodar Weyl ... o programa de Brouwer era o que viria a seguir, insistiu ele aos seus amigos em Zurique." (Reid, p. 149)}}

Em sua palestra em 1941 em Yale e no artigo subsequente, Gödel propôs uma solução: "que a negação de uma proposição universal deveria ser entendida como afirmando a existência ... de um contra-exemplo" (Dawson, p. 157))

A abordagem de Gödel para a lei do terceiro excluído era afirmar que as objeções contra "o uso de 'definições impredicativas'" "tinham mais peso" do que "a lei do terceiro excluído e teoremas relacionados do cálculo proposicional" (Dawson p. 156). Ele propôs seu "sistema Σ ... e concluiu mencionando várias aplicações de sua interpretação. Entre elas estava uma prova da consistência com a lógica intuicionista do princípio ~ (∀A: (A ∨ ~ A)) (apesar da inconsistência da suposição ∃ A: ~ (A ∨ ~ A) "(Dawson, p. 157)

O debate pareceu enfraquecer: matemáticos, lógicos e engenheiros continuam a usar a lei do terceiro excluído (e da dupla negação) em seu trabalho diário.

Definições intuicionistas da lei (princípio) do terceiro excluído

O que se segue destaca o profundo problema matemático e filosófico por trás do que significa "saber" e também ajuda a elucidar o que a "lei" implica (ou seja, o que a lei realmente significa). Suas dificuldades com a lei emergem: que eles não querem aceitar como verdadeiras implicações tiradas daquilo que é inverificável (não testável, incognoscível) ou do impossível ou do falso. (Todas as citações são de van Heijenoort, itálico adicionado).

Brouwer oferece sua definição de "princípio do terceiro excluído"; vemos aqui também a questão da "testabilidade":

Com base na testabilidade que acabamos de mencionar, mantém-se, para propriedades concebidas dentro de um sistema principal finito específico, o "princípio do meio excluído", isto é, o princípio de que para cada sistema toda propriedade é correta [richtig] ou impossível , e, em particular, o princípio da reciprocidade das espécies complementares, isto é, o princípio de que para todo sistema a correção de uma propriedade decorre da impossibilidade da impossibilidade dessa propriedade. (335)

A definição de Kolmogorov cita os dois axiomas de negação de Hilbert

  1. A → (~ AB )
  2. ( AB ) → {(~ AB ) → B }
O primeiro axioma de negação de Hilbert, "tudo segue do falso", apareceu apenas com o surgimento da lógica simbólica, como fez o primeiro axioma de implicação ... enquanto ... o axioma em consideração [axioma 5] afirma algo sobre as consequências de algo impossível: temos que aceitar B se o verdadeiro julgamento A for considerado falso ...
O segundo axioma da negação de Hilbert expressa o princípio do terceiro excluído. O princípio é expresso aqui na forma em que é usado para derivações: se B segue de A , bem como de ~ A , então B é verdadeiro. Sua forma usual, "todo julgamento é verdadeiro ou falso" é equivalente ao dado acima ".
Desde a primeira interpretação da negação, isto é, a proibição de considerar o julgamento como verdadeiro, é impossível obter a certeza de que o princípio do terceiro excluído é verdadeiro ... Brouwer mostrou que no caso de tais julgamentos transfinitos o princípio de o meio excluído não pode ser considerado óbvio
nota de rodapé 9: "Esta é a formulação muito simples de Leibniz (ver Nouveaux Essais , IV, 2). A formulação" A é B ou não- B "não tem nada a ver com a lógica dos julgamentos.
nota de rodapé 10: "Simbolicamente, a segunda forma é expressa assim
A ∨ ~ A

onde ∨ significa "ou". A equivalência das duas formas é facilmente comprovada (p. 421)

Exemplos

Por exemplo, se P é a proposição:

Sócrates é mortal.

então a lei do terceiro excluído sustenta que a disjunção lógica :

Ou Sócrates é mortal ou não é o caso de Sócrates ser mortal.

é verdadeiro em virtude apenas de sua forma. Ou seja, a posição "intermediária", de que Sócrates não é mortal nem não mortal, é excluída pela lógica e, portanto, ou a primeira possibilidade ( Sócrates é mortal ) ou sua negação ( não é o caso de Sócrates ser mortal ) deve seja verdadeiro.

Segue um exemplo de argumento que depende da lei do terceiro excluído. Procuramos provar que

existem dois números irracionais e tal que é racional.

É sabido que é irracional (veja a prova ). Considere o número

.

Claramente (excluído do meio) esse número é racional ou irracional. Se for racional, a prova está completa, e

e .

Mas se é irracional, então vamos

e .

Então

,

e 2 é certamente racional. Isso conclui a prova.

No argumento acima, a afirmação "este número é racional ou irracional" invoca a lei do terceiro excluído. Um intuicionista , por exemplo, não aceitaria esse argumento sem mais suporte para essa afirmação. Isso pode vir na forma de uma prova de que o número em questão é de fato irracional (ou racional, conforme o caso); ou um algoritmo finito que pode determinar se o número é racional.

Provas não construtivas sobre o infinito

A prova acima é um exemplo de uma prova não construtiva não permitida por intuicionistas:

A prova é não construtiva porque não dá números específicos e que satisfazem o teorema, mas apenas duas possibilidades separadas, uma das quais deve funcionar. (Na verdade é irracional, mas não há nenhuma prova fácil conhecida desse fato.) (Davis 2000: 220)

(Provas construtivas do exemplo específico acima não são difíceis de produzir; por exemplo, e são facilmente demonstradas como irracionais, e ; uma prova permitida por intuicionistas).

Por não construtivo Davis significa que "uma prova de que realmente existem entidades matemáticas que satisfazem certas condições não teria que fornecer um método para exibir explicitamente as entidades em questão." (p. 85). Tais provas presumem a existência de uma totalidade que é completa, uma noção não permitida pelos intuicionistas quando estendida ao infinito - para eles o infinito nunca pode ser concluído:

Na matemática clássica ocorrem provas não construtivas ou de existência indireta , que os intuicionistas não aceitam. Por exemplo, para provar que existe um n tal que P ( n ), o matemático clássico pode deduzir uma contradição da suposição para todo n , não P ( n ). Tanto na lógica clássica quanto na intuicionista, por reductio ad absurdum isso nãopara todo n, não P ( n ). A lógica clássica permite que este resultado seja transformado em existe um n tal que P ( n ), mas não em geral o intuicionista ... o significado clássico, que em algum lugar na totalidade infinita completa dos números naturais ocorre um n tal que P ( n ), não está disponível para ele, uma vez que ele não concebe os números naturais como uma totalidade completa. (Kleene 1952: 49–50)

David Hilbert e Luitzen EJ Brouwer dão exemplos da lei do meio excluído estendida ao infinito. O exemplo de Hilbert: "a afirmação de que ou existem apenas números primos finitos ou existem infinitamente muitos" (citado em Davis 2000: 97); e de Brouwer: "Todas as espécies matemáticas são finitas ou infinitas." (Brouwer 1923 em van Heijenoort 1967: 336). Em geral, os intuicionistas permitem o uso da lei do meio excluído quando ela está confinada ao discurso sobre coleções finitas (conjuntos), mas não quando é usada no discurso sobre conjuntos infinitos (por exemplo, os números naturais). Assim, os intuicionistas desaprovam absolutamente a afirmação geral: "Para todas as proposições P concernentes aos conjuntos infinitos D : P ou ~ P " (Kleene 1952: 48).

Contra-exemplos putativos à lei do terceiro excluído incluem o paradoxo do mentiroso ou o paradoxo de Quine . Certas resoluções desses paradoxos, particularmente o dialeteísmo de Graham Priest formalizado em LP, têm a lei do meio excluído como um teorema, mas resolvem o Mentiroso como verdadeiro e falso. Desse modo, a lei do terceiro excluído é verdadeira, mas porque a própria verdade, e portanto a disjunção, não é exclusiva, ela não diz quase nada se um dos disjuntos é paradoxal, ou verdadeiro e falso.

Críticas

Muitos sistemas lógicos modernos substituem a lei do meio excluído pelo conceito de negação como falha . Em vez de uma proposição ser verdadeira ou falsa, uma proposição é verdadeira ou não pode ser provada como verdadeira. Essas duas dicotomias diferem apenas em sistemas lógicos que não são completos . O princípio da negação como falha é usado como base para a lógica autoepistêmica e é amplamente usado na programação lógica . Nesses sistemas, o programador é livre para afirmar a lei do meio excluído como um fato verdadeiro, mas ela não está embutida a priori nesses sistemas.

Matemáticos como L. E. J. Brouwer e Arend Heyting também contestaram a utilidade da lei do terceiro excluído no contexto da matemática moderna.

Na lógica matemática

Na lógica matemática moderna , o meio excluído mostrou resultar em uma possível autocontradição . É possível em lógica fazer proposições bem construídas que não podem ser verdadeiras nem falsas; um exemplo comum disso é o " paradoxo do mentiroso ", a afirmação "esta afirmação é falsa", que não pode ser verdadeira nem falsa. A lei do terceiro excluído ainda é válida aqui, pois a negação dessa afirmação "Esta afirmação não é falsa" pode ser atribuída como verdadeira. Na teoria dos conjuntos , tal paradoxo autorreferencial pode ser construído examinando o conjunto "o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm". Esse conjunto é definido de forma inequívoca, mas leva a um paradoxo de Russell : o conjunto contém, como um de seus elementos, a si mesmo? No entanto, na moderna teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel , esse tipo de contradição não é mais admitido.

Leis análogas

Alguns sistemas de lógica têm leis diferentes, mas análogas. Para algumas lógicas finitas de n- valores , existe uma lei análoga chamada lei do n + 1o excluído . Se a negação for cíclica e "∨" for um "operador máximo", então a lei pode ser expressa na linguagem do objeto por (P ∨ ~ P ∨ ~~ P ∨ ... ∨ ~ ... ~ P), onde " ~ ... ~ "representa n −1 sinais de negação e" ∨ ... ∨ " n −1 sinais de disjunção. É fácil verificar se a frase deve receber pelo menos um dos n valores de verdade (e não um valor que não seja um dos n ).

Outros sistemas rejeitam a lei inteiramente.

Veja também

Notas de rodapé

Referências

  • Aquinas, Thomas , " Summa Theologica ", Padres da Província Dominicana Inglesa (trad.), Daniel J. Sullivan (ed.), Vols. 19–20 em Robert Maynard Hutchins (ed.), Grandes Livros do Mundo Ocidental , Encyclopædia Britannica, Inc., Chicago, IL, 1952. Citado como GB 19–20.
  • Aristóteles , " Metafísica ", WD Ross (trad.), Vol. 8 em Robert Maynard Hutchins (ed.), Grandes Livros do Mundo Ocidental , Encyclopædia Britannica, Inc., Chicago, IL, 1952. Citado como GB 8. 1ª publicação, WD Ross (trad.), The Works of Aristotle , Oxford University Press, Oxford, Reino Unido.
  • Martin Davis 2000, Engines of Logic: Mathematicians and the Origin of the Computer , WW Norton & Company, NY, ISBN  0-393-32229-7 pbk.
  • Dawson, J. , Logical Dilemmas, The Life and Work of Kurt Gödel , AK Peters, Wellesley, MA, 1997.
  • van Heijenoort, J. , From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Reimpresso com correções, 1977.
  • Luitzen Egbertus Jan Brouwer , 1923, Sobre a importância do princípio do meio excluído na matemática, especialmente na teoria da função [reimpresso com comentários, p. 334, van Heijenoort]
  • Andrei Nikolaevich Kolmogorov , 1925, Sobre o princípio do meio excluído , [reimpresso com comentários, p. 414, van Heijenoort]
  • Luitzen Egbertus Jan Brouwer , 1927, Sobre os domínios das definições de funções , [reimpresso com comentário, p. 446, van Heijenoort] Embora não diretamente pertinente, em seu (1923) Brouwer usa certas palavras definidas neste artigo.
  • Luitzen Egbertus Jan Brouwer , 1927 (2), Intuitionistic reflections on formalism , [reimpresso com comentários, p. 490, van Heijenoort]
  • Stephen C. Kleene 1952 impressão original, 1971 6ª impressão com correções, 10ª impressão 1991, Introdução à Metamatemática , North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN  0-7204-2103-9 .
  • Kneale, W. e Kneale, M. , The Development of Logic , Oxford University Press, Oxford, UK, 1962. Reimpresso com correções, 1975.
  • Alfred North Whitehead e Bertrand Russell , Principia Mathematica to * 56 , Cambridge na University Press 1962 (Segunda Edição de 1927, reimpressão). Extremamente difícil por causa do simbolismo arcano, mas um must-have para lógicos sérios.
  • Bertrand Russell , uma investigação sobre o significado e a verdade . As palestras William James de 1940, proferidas na Universidade de Harvard.
  • Bertrand Russell , The Problems of Philosophy, With a New Introduction, de John Perry , Oxford University Press, Nova York, edição de 1997 (publicado pela primeira vez em 1912). Muito fácil de ler: Russell foi um escritor maravilhoso.
  • Bertrand Russell , The Art of Philosophizing and Other Essays , Littlefield, Adams & Co., Totowa, NJ, edição de 1974 (publicado pela primeira vez em 1968). Inclui um maravilhoso ensaio sobre "A arte de desenhar inferências".
  • Hans Reichenbach , Elements of Symbolic Logic , Dover, Nova York, 1947, 1975.
  • Tom Mitchell , Machine Learning , WCB McGraw-Hill, 1997.
  • Constance Reid , Hilbert , Copernicus: Springer-Verlag New York, Inc. 1996, publicado pela primeira vez em 1969. Contém uma riqueza de informações biográficas, muitas derivadas de entrevistas.
  • Bart Kosko , Fuzzy Thinking: The New Science of Fuzzy Logic , Hyperion, New York, 1993. Fuzzy thinking no seu melhor. Mas uma boa introdução aos conceitos.
  • David Hume , An Inquiry Concerning Human Understanding , reimpresso em Great Books of the Western World Encyclopædia Britannica, Volume 35, 1952, p. 449 ff. Este trabalho foi publicado por Hume em 1758 como sua reescrita de seu "juvenil" Tratado da Natureza Humana: Ser, uma tentativa de introduzir o método experimental de Reasoning into Moral Subject Vol. I, Of The Understanding publicado pela primeira vez em 1739, reimpresso como: David Hume, A Treatise of Human Nature , Penguin Classics, 1985. Ver também: David Applebaum , The Vision of Hume , Vega, Londres, 2001: uma reimpressão de uma parte de An A investigação começa na pág. 94 ff

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