Teorema de Fubini - Fubini's theorem

Na análise matemática, o teorema de Fubini , introduzido por Guido Fubini em 1907, é um resultado que fornece condições nas quais é possível calcular uma integral dupla usando uma integral iterada . Pode-se mudar a ordem de integração se a integral dupla produzir uma resposta finita quando o integrando for substituído por seu valor absoluto.

{\ displaystyle \ int _ {X \ times Y} f (x, y) \, {\ text {d}} (x, y) = \ int _ {X} \ left (\ int _ {Y} f ( x, y) \, {\ text {d}} y \ right) \, {\ text {d}} x = \ int _ {Y} \ left (\ int _ {X} f (x, y) \ , {\ text {d}} x \ right) \, {\ text {d}} y}

Como consequência, permite que a ordem de integração seja alterada em certas integrais iteradas. O teorema de Fubini implica que duas integrais iteradas são iguais à integral dupla correspondente em seus integrantes. O teorema de Tonelli , introduzido por Leonida Tonelli em 1909, é semelhante, mas se aplica a uma função mensurável não negativa ao invés de uma integrável sobre seus domínios.

Um teorema relacionado é freqüentemente chamado de teorema de Fubini para séries infinitas , que afirma que se é uma sequência duplamente indexada de números reais, e se é absolutamente convergente, então ${\ textstyle \ {a_ {m, n} \} _ {m = 1, n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ textstyle \ sum _ {(m, n) \ in \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}} a_ {m, n}}$

{\ displaystyle \ sum _ {(m, n) \ in \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}} a_ {m, n} = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {m, n} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} a_ {m, n}}

Embora o teorema de Fubini para séries infinitas seja um caso especial do teorema de Fubini mais geral, não é apropriado caracterizá-lo como uma consequência lógica do teorema de Fubini. Isso ocorre porque algumas propriedades de medidas, em particular subaditividade, são freqüentemente provadas usando o teorema de Fubini para séries infinitas. Nesse caso, o teorema geral de Fubini é uma consequência lógica do teorema de Fubini para séries infinitas.

História

O caso especial do teorema de Fubini para funções contínuas em um produto de subconjuntos fechados e limitados de espaços vetoriais reais era conhecido por Leonhard Euler no século XVIII. Henri Lebesgue ( 1904 ) estendeu isso para funções mensuráveis limitadas em um produto de intervalos. Levi (1906) conjecturou que o teorema poderia ser estendido para funções que eram integráveis ao invés de limitadas, e isso foi provado por Fubini (1907) . Leonida Tonelli ( 1909 ) deu uma variação do teorema de Fubini que se aplica a funções não negativas em vez de funções integráveis.

Medidas de produto

Se X e Y são espaços de medida com medidas, há várias maneiras naturais de definir uma medida de produto em seu produto.

O produto X x Y de espaços de medida (no sentido da teoria categoria ) tem como seus conjuntos mensuráveis a σ-álgebra gerado pelos produtos Um × B de subconjuntos mensuráveis de X e Y .

Uma medida μ em X × Y é chamada de medida de produto se μ ( A × B ) = μ ₁ ( A ) μ ₂ ( B ) para subconjuntos mensuráveis A ⊂ X e B ⊂ Y e mede μ ₁ em X e μ ₂ em Y . Em geral, pode haver muitas medidas diferentes produtos em X x Y . O teorema de Fubini e o teorema de Tonelli precisam de condições técnicas para evitar essa complicação; a forma mais comum é assumir todos os espaços de medida são σ-finito , caso em que não é uma medida produto único no X × Y . Sempre há uma medida de produto máxima única em X × Y , onde a medida de um conjunto mensurável é o inf das medidas de conjuntos que o contêm que são uniões contáveis de produtos de conjuntos mensuráveis. A medida do produto máximo pode ser construída aplicando o teorema de extensão de Carathéodory à função aditiva μ tal que μ ( A × B ) = μ ₁ ( A ) μ ₂ ( B ) no anel de conjuntos gerados por produtos de conjuntos mensuráveis. (O teorema de extensão de Carathéodory dá uma medida em um espaço de medida que em geral contém conjuntos mais mensuráveis do que o espaço de medida X × Y , então estritamente falando, a medida deve ser restrita à σ-álgebra gerada pelos produtos A × B de subconjuntos mensuráveis de X e Y. )

O produto de dois espaços de medida completos geralmente não é completo. Por exemplo, o produto da medida de Lebesgue na unidade intervalo I com si não é a medida de Lebesgue na praça I × I . Há uma variação do teorema de Fubini para medidas completas, que usa a conclusão do produto das medidas em vez do produto incompleto.

Para funções integráveis

Suponha que X e Y sejam espaços de medida σ-finitos , e suponha que X × Y receba a medida do produto (que é única, pois X e Y são σ-finitos). O teorema de Fubini afirma que se f é X × Y integrável, o que significa que f é uma função mensurável e

{\ displaystyle \ int _ {X \ times Y} | f (x, y) | \, {\ text {d}} (x, y) <\ infty,}

então

{\ displaystyle \ int _ {X} \ left (\ int _ {Y} f (x, y) \, {\ text {d}} y \ right) \, {\ text {d}} x = \ int _ {Y} \ left (\ int _ {X} f (x, y) \, {\ text {d}} x \ right) \, {\ text {d}} y = \ int _ {X \ times Y} f (x, y) \, {\ text {d}} (x, y).}

As duas primeiras integrais são integrais iteradas com respeito a duas medidas, respectivamente, e a terceira é uma integral com respeito à medida do produto. Os integrais parciais e não precisam ser definidos em todos os lugares, mas isso não importa, pois os pontos onde eles não são definidos formam um conjunto de medida 0. ${\ textstyle \ int _ {Y} f (x, y) \, {\ text {d}} y}$ ${\ textstyle \ int _ {X} f (x, y) \, {\ text {d}} x}$

Se a integral acima do valor absoluto não for finita, as duas integrais iteradas podem ter valores diferentes. Veja abaixo uma ilustração dessa possibilidade.

A condição de que X e Y são σ-finitos é geralmente inofensiva porque, na prática, quase todos os espaços de medida para os quais se deseja usar o teorema de Fubini são σ-finitos. O teorema de Fubini tem algumas extensões bastante técnicas para o caso em que X e Y não são assumidos como σ-finitos ( Fremlin 2003 ) . A principal complicação adicional, neste caso, é que pode haver mais do que uma medida de produto em X x Y . O teorema de Fubini continua válido para a medida de produto máxima, mas pode falhar para outras medidas de produto. Por exemplo, existe uma medida de produto e uma função mensurável não negativa f para a qual o integral duplo de | f | é zero, mas as duas integrais iteradas têm valores diferentes; veja a seção sobre contra-exemplos abaixo para ver um exemplo disso. O teorema de Tonelli e o teorema de Fubini – Tonelli (declarado abaixo) podem falhar em espaços não σ-finitos, mesmo para a medida do produto máximo.

Teorema de Tonelli para funções mensuráveis não negativas

O teorema de Tonelli (em homenagem a Leonida Tonelli ) é um sucessor do teorema de Fubini. A conclusão do teorema de Tonelli é idêntica à do teorema de Fubini, mas a suposição de que tem uma integral finita é substituída pela suposição de que é uma função mensurável não negativa. ${\ displaystyle | f |}$ ${\ displaystyle f}$

O teorema de Tonelli afirma que se ( X , A , μ) e ( Y , B , ν) são espaços de medida σ-finitos , enquanto f de X × Y a [0, ∞] é uma função mensurável não negativa, então

{\ displaystyle \ int _ {X} \ left (\ int _ {Y} f (x, y) \, {\ text {d}} y \ right) \, {\ text {d}} x = \ int _ {Y} \ left (\ int _ {X} f (x, y) \, {\ text {d}} x \ right) \, {\ text {d}} y = \ int _ {X \ times Y} f (x, y) \, {\ text {d}} (x, y).}

Um caso especial do teorema de Tonelli está no intercâmbio dos somatórios, como em , onde são não-negativo para todos x e y . O ponto crucial do teorema é que o intercâmbio da ordem de soma se mantém mesmo se a série diverge. Na verdade, a única maneira de uma mudança na ordem da soma pode mudar a soma é quando existem algumas subsequências que divergem para e outras divergem para . Com todos os elementos não negativos, isso não acontece no exemplo indicado. ${\ textstyle \ sum _ {x} \ sum _ {y} a_ {xy} = \ sum _ {y} \ sum _ {x} a_ {xy}}$ ${\ displaystyle a_ {xy}}$ ${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ displaystyle - \ infty}$

Sem a condição de que os espaços de medida sejam σ-finitos, é possível que todas as três integrais tenham valores diferentes. Alguns autores dão generalizações do teorema de Tonelli para alguns espaços de medida que não são σ-finitos, mas essas generalizações geralmente adicionam condições que reduzem imediatamente o problema ao caso σ-finito. Por exemplo, pode-se tomar a σ-álgebra em A × B como sendo aquela gerada pelo produto de subconjuntos de medida finita, em vez daquela gerada por todos os produtos de subconjuntos mensuráveis, embora isso tenha a consequência indesejável de que as projeções do produto aos seus fatores A e B não são mensuráveis. Outra forma é adicionar a condição de que o suporte de f esteja contido em uma união contável de produtos de conjuntos de medida finita. Fremlin (2003) dá algumas extensões bastante técnicas do teorema de Tonelli para alguns espaços não σ-finitos. Nenhuma dessas generalizações encontrou qualquer aplicação significativa fora da teoria de medida abstrata, principalmente porque quase todos os espaços de medida de interesse prático são σ-finitos.

Teorema de Fubini-Tonelli

Combinando o teorema de Fubini com o teorema de Tonelli dá o teorema de Fubini – Tonelli (muitas vezes chamado apenas de teorema de Fubini), que afirma que se X e Y são espaços de medida σ-finitos , e se f é uma função mensurável, então

{\ displaystyle \ int _ {X} \ left (\ int _ {Y} | f (x, y) | \, {\ text {d}} y \ right) \, {\ text {d}} x = \ int _ {Y} \ left (\ int _ {X} | f (x, y) | \, {\ text {d}} x \ right) \, {\ text {d}} y = \ int _ {X \ vezes Y} | f (x, y) | \, {\ text {d}} (x, y)}

Além disso, se qualquer uma dessas integrais for finita, então

{\ displaystyle \ int _ {X} \ left (\ int _ {Y} f (x, y) \, {\ text {d}} y \ right) \, {\ text {d}} x = \ int _ {Y} \ left (\ int _ {X} f (x, y) \, {\ text {d}} x \ right) \, {\ text {d}} y = \ int _ {X \ times Y} f (x, y) \, {\ text {d}} (x, y).}

O valor absoluto de f nas condições acima pode ser substituído pela parte positiva ou negativa de f ; essas formas incluem o teorema de Tonelli como um caso especial, já que a parte negativa de uma função não negativa é zero e, portanto, tem integral finita. Informalmente, todas essas condições dizem que a integral dupla de f é bem definida, embora possivelmente infinita.

A vantagem do Fubini – Tonelli sobre o teorema de Fubini é que as integrais repetidas do valor absoluto de | f | pode ser mais fácil de estudar do que o integral duplo. Como no teorema de Fubini, as integrais simples podem não ser definidas em um conjunto de medida 0.

Para medidas completas

As versões dos teoremas de Fubini e Tonelli acima não se aplicam à integração no produto da linha real R consigo mesma com a medida de Lebesgue. O problema é que a medida de Lebesgue em R × R não é o produto da medida de Lebesgue em R consigo mesmo, mas sim a conclusão disso: um produto de dois espaços de medida completos X e Y não é em geral completo. Por esta razão, às vezes usamos versões do teorema de Fubini para medidas completas: grosso modo, apenas substituímos todas as medidas por suas conclusões. As várias versões do teorema de Fubini são semelhantes às versões acima, com as seguintes pequenas diferenças:

Em vez de pegar um produto X × Y de dois espaços de medida, toma-se o preenchimento de algum produto.
Se f é mensurável na conclusão de X × Y, então suas restrições às linhas verticais ou horizontais podem ser não mensuráveis para um subconjunto de linhas zero de medida, então é preciso permitir a possibilidade de que as integrais verticais ou horizontais sejam indefinidas em um conjunto de medida 0 porque envolve a integração de funções não mensuráveis. Isso faz pouca diferença, pois já podem ser indefinidos devido às funções não serem integráveis.
Geralmente também assume-se que as medidas em X e Y estão completas, caso contrário, as duas integrais parciais ao longo das linhas verticais ou horizontais podem ser bem definidas, mas não mensuráveis. Por exemplo, se f é a função característica de um produto de um conjunto mensurável e um conjunto não mensurável contido em um conjunto de medida 0, então sua integral única é bem definida em todos os lugares, mas não mensurável.

Provas

As provas dos teoremas de Fubini e Tonelli são necessariamente um tanto técnicas, pois têm que usar uma hipótese relacionada à σ-finitude. A maioria das provas envolve a construção de teoremas completos, provando-os para funções cada vez mais complicadas com os passos a seguir.

Use o fato de que a medida no produto é uma medida do produto para provar os teoremas para as funções características dos retângulos.
Use a condição de que os espaços são σ-finitos (ou alguma condição relacionada) para provar o teorema para as funções características de conjuntos mensuráveis. Isso também cobre o caso de funções mensuráveis simples (funções mensuráveis tomando apenas um número finito de valores).
Use a condição de que as funções são mensuráveis para provar os teoremas para funções mensuráveis positivas, aproximando-os por funções mensuráveis simples. Isso prova o teorema de Tonelli.
Use a condição de que as funções sejam integráveis para escrevê-las como a diferença de duas funções integráveis positivas e aplique o teorema de Tonelli a cada uma delas. Isso prova o teorema de Fubini.

Integrais de Riemann

Para integrais de Riemann , o teorema de Fubini é comprovado pelo refinamento das partições ao longo dos eixos xey para criar uma partição conjunta da forma , que é uma partição final . Isso é usado para mostrar que os integrais duplos de qualquer ordem são iguais ao integral over . ${\ displaystyle [x_ {i}, x_ {i + 1}] \ vezes [y_ {j}, y_ {j + 1}]}$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ ${\ displaystyle X \ times Y}$

Contra-exemplos

Os exemplos a seguir mostram como o teorema de Fubini e o teorema de Tonelli podem falhar se alguma de suas hipóteses for omitida.

Falha do teorema de Tonelli para espaços não σ-finitos

Suponha que X seja o intervalo unitário com os conjuntos mensuráveis de Lebesgue e a medida de Lebesgue, e Y seja o intervalo unitário com todos os subconjuntos mensuráveis e a medida de contagem , de modo que Y não seja σ-finito. Se f é a função característica da diagonal de X x Y , em seguida, integrando f ao longo X dá a função 0 em Y , mas integrando f ao longo de Y dá a função 1 em X . Portanto, as duas integrais iteradas são diferentes. Isso mostra que o teorema de Tonelli pode falhar para espaços que não são σ-finitos, não importa qual medida de produto é escolhida. As medidas são decomponíveis , mostrando que o teorema de Tonelli falha para medidas decomponíveis (que são ligeiramente mais gerais do que medidas σ-finitas).

Falha do teorema de Fubini para medidas de produto não máximas

O teorema de Fubini é válido para espaços mesmo se eles não forem assumidos como σ-finitos, desde que se use a medida do produto máximo. No exemplo acima, para a medida do produto máximo, a diagonal tem medida infinita, então a integral dupla de | f | é infinito, e o teorema de Fubini se mantém vazio. No entanto, se dermos a X × Y a medida do produto tal que a medida de um conjunto é a soma das medidas de Lebesgue de suas seções horizontais, então a integral dupla de | f | é zero, mas as duas integrais iteradas ainda têm valores diferentes. Isso dá um exemplo de uma medida de produto em que o teorema de Fubini falha.

Isso dá um exemplo de duas medidas de produto diferentes no mesmo produto de dois espaços de medida. Para produtos de dois espaços de medida σ-finitos, existe apenas uma medida de produto.

Falha do teorema de Tonelli para funções não mensuráveis

Suponha que X seja o primeiro ordinal incontável, com a medida finita em que os conjuntos mensuráveis são contáveis (com medida 0) ou os conjuntos de complemento contável (com medida 1). O (não mensurável) subconjunto E de X × X dado por pares ( x , y ) com x < y é contável em cada linha horizontal e tem complemento contável em cada linha vertical. Se f é a função característica de E, então as duas integrais iteradas de f são definidas e têm diferentes valores 1 e 0. A função f não é mensurável. Isso mostra que o teorema de Tonelli pode falhar para funções não mensuráveis.

Falha do teorema de Fubini para funções não mensuráveis

Uma variação do exemplo acima mostra que o teorema de Fubini pode falhar para funções não mensuráveis mesmo que | f | é integrável e ambas as integrais repetidas são bem definidas: se tomarmos f como 1 em E e –1 no complemento de E , então | f | é integrável no produto com integral 1, e ambos os integrais repetidos são bem definidos, mas têm valores diferentes de 1 e -1.

Assumindo a hipótese do contínuo, pode-se identificar X com o intervalo unitário I , então há uma função não negativa limitada em I × I cujas duas integrais iteradas (usando a medida de Lebesgue) são ambas definidas, mas desiguais. Este exemplo foi encontrado por Wacław Sierpiński ( 1920 ). As versões mais fortes do teorema de Fubini em um produto de dois intervalos de unidades com medida de Lebesgue, onde a função não é mais considerada mensurável, mas apenas que as duas integrais iteradas estão bem definidas e existem, são independentes dos axiomas padrão de Zermelo-Fraenkel de teoria dos conjuntos . A hipótese do contínuo e o axioma de Martin implicam que existe uma função no quadrado da unidade cujas integrais iteradas não são iguais, enquanto Harvey Friedman ( 1980 ) mostrou que é consistente com ZFC que um forte teorema do tipo Fubini para [0, 1] é válido, e sempre que as duas integrais iteradas existem, elas são iguais. Veja Lista de declarações indecidíveis em ZFC .

Falha do teorema de Fubini para funções não integráveis

O teorema de Fubini nos diz que (para funções mensuráveis em um produto de espaços de medida σ-finitos) se a integral do valor absoluto é finita, então a ordem de integração não importa; se integrarmos primeiro em relação ax e, em seguida, em relação ay , obteremos o mesmo resultado como se integrássemos primeiro em relação ay e, em seguida, em relação a x . A suposição de que a integral do valor absoluto é finita é " integrabilidade de Lebesgue " e, sem ela, as duas integrais repetidas podem ter valores diferentes.

Um exemplo simples para mostrar que as integrais repetidas podem ser diferentes em geral é tomar os dois espaços de medida como inteiros positivos e tomar a função f ( x , y ) como 1 se x = y , −1 se x = y +1 e 0 caso contrário. Então, as duas integrais repetidas têm valores diferentes 0 e 1.

Outro exemplo é o seguinte para a função

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}} = - {\ frac {\ partial ^ {2 }} {\ partial x \ partial y}} \ arctan (y / x).}

Os integrais iterados

{\ displaystyle \ int _ {x = 0} ^ {1} \ left (\ int _ {y = 0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}} \, {\ text {d}} y \ right) \, {\ text {d}} x = {\ frac {\ pi} {4} }}

e

{\ displaystyle \ int _ {y = 0} ^ {1} \ left (\ int _ {x = 0} ^ {1} {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}} \, {\ text {d}} x \ right) \, {\ text {d}} y = - {\ frac {\ pi} {4 }}}

têm valores diferentes. O integral duplo correspondente não converge absolutamente (em outras palavras, o integral do valor absoluto não é finito):

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ left | {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {\ left (x ^ {2 } + y ^ {2} \ right) ^ {2}}} \ right | \, {\ text {d}} y \, {\ text {d}} x = \ infty.}

Veja também

Princípio de Cavalieri (um primeiro caso particular)
Fórmula Coarea (generalização para a teoria da medida geométrica)
Teorema de desintegração (um inverso restrito ao teorema de Fubini)
Teorema de Kuratowski-Ulam (análogo para categoria)
Simetria de derivados secundários (análogo para diferenciação)

Referências

Leitura adicional

DiBenedetto, Emmanuele (2002), Real Analysis , Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher, Boston: Birkhäuser, doi : 10.1007 / 978-1-4612-0117-5 , ISBN 0-8176-4231-5, MR 1897317
Billingsley, Patrick (1995), "Product Measure and Fubini's Theorem", Probability and Measure , New York: Wiley, pp. 231–240, ISBN 0-471-00710-2
Weir, Alan J. (1973), "Fubini's Theorem", Lebesgue Integration and Measure , Cambridge: Cambridge University Press, pp. 83-92, ISBN 0-521-08728-7

links externos

Kudryavtsev, LD (2001) [1994], "Teorema de Fubini" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Teschl, Gerald , Tópicos em Análise Real e Funcional , (notas de aula)

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História

Medidas de produto

Para funções integráveis

Teorema de Tonelli para funções mensuráveis não negativas

Teorema de Fubini-Tonelli

Para medidas completas

Provas

Integrais de Riemann

Contra-exemplos

Falha do teorema de Tonelli para espaços não σ-finitos

Falha do teorema de Fubini para medidas de produto não máximas

Falha do teorema de Tonelli para funções não mensuráveis

Falha do teorema de Fubini para funções não mensuráveis

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