Medida de contagem - Counting measure

Em matemática , especificamente na teoria da medida , a medida de contagem é uma maneira intuitiva de colocar uma medida em qualquer conjunto - o "tamanho" de um subconjunto é considerado o número de elementos no subconjunto se o subconjunto tiver elementos finitos e ∞ se o subconjunto for infinito .

A medida de contagem pode ser definida em qualquer espaço mensurável (ou seja, qualquer conjunto junto com uma sigma-álgebra), mas é usada principalmente em conjuntos contáveis . ${\ displaystyle X}$

Em notação formal, podemos transformar qualquer conjunto em um espaço mensurável, tomando o conjunto de potência de como sigma-álgebra , ou seja, todos os subconjuntos de são mensuráveis. Então, a medida de contagem neste espaço mensurável é a medida positiva definida por ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ displaystyle \ Sigma \ rightarrow [0, + \ infty]}$

${\ displaystyle \ mu (A) = {\ begin {cases} \ vert A \ vert & {\ text {if}} A {\ text {é finito}} \\ + \ infty & {\ text {if}} Um {\ text {é infinito}} \ end {casos}}}$

para todos , onde denota a cardinalidade do conjunto . ${\ displaystyle A \ in \ Sigma}$${\ displaystyle \ vert A \ vert}$${\ displaystyle A}$

A medida de contagem em é σ-finita se e somente se o espaço for contável . ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ displaystyle X}$

Discussão

A medida de contagem é um caso especial de construção mais geral. Com a notação como acima, qualquer função define uma medida sobre através ${\ displaystyle f \ colon X \ to [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$

${\ displaystyle \ mu (A): = \ sum _ {a \ in A} f (a) \ quad \ forall A \ subseteq X,}$

onde a soma possivelmente incontável de números reais é definida como o supremo das somas sobre todos os subconjuntos finitos, ou seja,

${\ displaystyle \ sum _ {y \, \ in \, Y \! \ \ subseteq \, \ mathbb {R}} y \: = \ \ sup _ {F \ subseteq Y, \, | F | <\ infty } \ left \ {\ sum _ {y \ in F} y \ right \}.}$

Tomando f ( x ) = 1 para todo x em X dá a medida de contagem.

Referências