Fórmula Coarea - Coarea formula

No campo matemático da teoria da medida geométrica , a fórmula coarea expressa a integral de uma função sobre um conjunto aberto no espaço euclidiano em termos de integrais sobre os conjuntos de nível de outra função. Um caso especial é o teorema de Fubini , que diz sob hipóteses adequadas que a integral de uma função sobre a região delimitada por uma caixa retangular pode ser escrita como a integral iterada sobre os conjuntos de nível das funções de coordenadas. Outro caso especial é a integração em coordenadas esféricas , em que a integral de uma função em R ⁿ está relacionada à integral da função sobre cascas esféricas: conjuntos de nível da função radial. A fórmula desempenha um papel decisivo no estudo moderno de problemas isoperimétricos .

Para funções suaves, a fórmula é o resultado de um cálculo multivariado que segue de uma mudança de variáveis . Formas mais gerais da fórmula para funções de Lipschitz foram estabelecidas pela primeira vez por Herbert Federer ( Federer 1959 ), e para funções BV por Fleming & Rishel (1960) .

Uma declaração precisa da fórmula é a seguinte. Suponha que Ω seja um conjunto aberto em e u seja uma função de Lipschitz com valor real em Ω. Então, para uma função L ¹ g , ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} g (x) | \ nabla u (x) | \, dx = \ int _ {\ mathbb {R}} \ left (\ int _ {u ^ {- 1} ( t)} g (x) \, dH_ {n-1} (x) \ direita) \, dt}$

onde H _{n −1} é a medida de Hausdorff ( n  - 1) dimensional . Em particular, ao considerar g como um, isso implica

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} | \ nabla u | = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} H_ {n-1} (u ^ {- 1} (t)) \, dt, }$

e, inversamente, a última igualdade implica a primeira por técnicas padrão na integração de Lebesgue .

Mais geralmente, a fórmula de coarea pode ser aplicada às funções de Lipschitz u definidas ao assumir valores em que k  ≤  n . Neste caso, a seguinte identidade é válida ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n},}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} g (x) | J_ {k} u (x) | \, dx = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {k}} \ left (\ int _ {u ^ {- 1} (t)} g (x) \, dH_ {nk} (x) \ direita) \, dt}$

onde J _k u é o Jacobiano k- dimensional de u cujo determinante é dado por

${\ displaystyle | J_ {k} u (x) | = \ left ({\ det \ left (Ju (x) Ju (x) ^ {\ intercal} \ right)} \ right) ^ {1/2}. }$

Formulários

• Tomando u ( x ) = | x  -  x ₀ | fornece a fórmula para integração em coordenadas esféricas de uma função integrável f :

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f \, dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left \ {\ int _ {\ partial B (x_ {0}; r)} f \, dS \ right \} \, dr.}$

• Combinar a fórmula coarea com a desigualdade isoperimétrica dá uma prova da desigualdade de Sobolev para W ^1,1 com melhor constante:

${\ displaystyle \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | u | ^ {\ frac {n} {n-1}} \ right) ^ {\ frac {n-1} {n }} \ leq n ^ {- 1} \ omega _ {n} ^ {- {\ frac {1} {n}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | \ nabla u |}$

onde está o volume da bola unitária em${\ displaystyle \ omega _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Veja também

• Teorema de Sard
• Fórmula de massa lisa

Referências

• Federer, Herbert (1969), Teoria da medida geométrica , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153, Nova York: Springer-Verlag New York Inc., pp. Xiv + 676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR  0257325.
• Federer, Herbert (1959), "Medidas de curvatura", Transações da Sociedade Matemática Americana , Transações da Sociedade Matemática Americana, Vol. 93, No. 3, 93 (3): 418–491, doi : 10.2307 / 1993504 , JSTOR  1993504.
• Fleming, WH; Rishel, R (1960), "Uma fórmula integral para a variação total do gradiente", Archiv der Mathematik , 11 (1): 218–222, doi : 10.1007 / BF01236935
• Malý, J; Swanson, D; Ziemer, W (2002), "The co-area formula for Sobolev mappings" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 355 (2): 477–492, doi : 10.1090 / S0002-9947-02-03091-X.