Desigualdade de Sobolev - Sobolev inequality

Na matemática , existe na análise matemática uma classe de desigualdades de Sobolev , relacionando normas incluindo aquelas dos espaços de Sobolev . Estes são usados ​​para provar o teorema de incorporação de Sobolev , dando inclusões entre certos espaços de Sobolev , e o teorema de Rellich-Kondrachov mostrando que sob condições ligeiramente mais fortes alguns espaços de Sobolev são compactamente incorporados em outros. Eles são nomeados após Sergei Lvovich Sobolev .

Teorema de incorporação de Sobolev

Representação gráfica das condições de incorporação. O espaço W ^{3, p} , representado por um ponto azul no ponto (1 / p, 3) , incorpora-se aos espaços indicados por pontos vermelhos, todos situados em uma linha com inclinação n . O círculo branco em (0,0) indica a impossibilidade de embeddings ideais em L ^∞ .

Seja W ^{k, p} ( R ⁿ ) o espaço de Sobolev que consiste em todas as funções de valor real em R ⁿ cujas primeiras k derivadas fracas são funções em L ^p . Aqui k é um número inteiro não negativo e 1 ≤ p <∞ . A primeira parte do teorema de incorporação de Sobolev afirma que se k > ℓ , p < n e 1 ≤ p < q <∞ são dois números reais tais que

${\ displaystyle {\ frac {1} {p}} - {\ frac {k} {n}} = {\ frac {1} {q}} - {\ frac {\ ell} {n}},}$

então

${\ displaystyle W ^ {k, p} (\ mathbf {R} ^ {n}) \ subseteq W ^ {\ ell, q} (\ mathbf {R} ^ {n})}$

e a incorporação é contínua. No caso especial de k = 1 e ℓ = 0 , a incorporação de Sobolev dá

${\ displaystyle W ^ {1, p} (\ mathbf {R} ^ {n}) \ subseteq L ^ {p ^ {*}} (\ mathbf {R} ^ {n})}$

onde p ^∗ é o conjugado de Sobolev de p , dado por

${\ displaystyle {\ frac {1} {p ^ {*}}} = {\ frac {1} {p}} - {\ frac {1} {n}}.}$

Este caso especial de incorporação de Sobolev é uma consequência direta da desigualdade de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev . O resultado deve ser interpretado como dizendo que se uma função em tem uma derivada em , então ela mesma melhorou o comportamento local, o que significa que pertence ao espaço onde . (Observe que , para que .) Portanto, quaisquer singularidades locais em devem ser mais suaves do que para uma função típica em . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle L ^ {p}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle L ^ {p ^ {*}}}$${\ displaystyle p ^ {*}> p}$${\ displaystyle 1 / p ^ {*} <1 / p}$${\ displaystyle p ^ {*}> p}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle L ^ {p}}$

Se a linha da imagem acima intercepta o eixo y em s = r + α , a incorporação em um espaço de Hölder C ^{r, α} (vermelho) se mantém. Círculos brancos indicam pontos de interseção nos quais os embeddings ideais não são válidos.

A segunda parte do teorema de embedding de Sobolev se aplica a embeddings em espaços de Hölder C ^{r, α} ( R ⁿ ) . Se n < pk e

${\ displaystyle {\ frac {1} {p}} - {\ frac {k} {n}} = - {\ frac {r + \ alpha} {n}},}$

com α ∈ (0, 1], então temos a incorporação

${\ displaystyle W ^ {k, p} (\ mathbf {R} ^ {n}) \ subconjunto C ^ {r, \ alpha} (\ mathbf {R} ^ {n}).}$

Esta parte da incorporação de Sobolev é uma consequência direta da desigualdade de Morrey . Intuitivamente, essa inclusão expressa o fato de que a existência de um número suficiente de derivadas fracas implica alguma continuidade das derivadas clássicas.

Em particular, enquanto , o critério de incorporação se manterá com e algum valor positivo de . Ou seja, para uma função on , se tiver derivadas em e , então será contínua (e na verdade Hölder contínua com algum expoente positivo ). ${\ displaystyle pk> n}$${\ displaystyle r = 0}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle L ^ {p}}$${\ displaystyle pk> n}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ alpha}$

Generalizações

O teorema de incorporação de Sobolev é válido para espaços de Sobolev W ^{k, p} ( M ) em outros domínios M adequados . Em particular ( Aubin 1982 , Capítulo 2; Aubin 1976 ), ambas as partes da incorporação de Sobolev mantêm-se quando

• M é um conjunto limitado aberto em R ⁿ com limite de Lipschitz (ou cujo limite satisfaz a condição do cone ; Adams 1975 , Teorema 5.4)
• M é uma variedade Riemanniana compacta
• M é uma variedade Riemanniana compacta com limite e o limite é Lipschitz (o que significa que o limite pode ser representado localmente como um gráfico de uma função contínua de Lipschitz).
• M é uma variedade Riemanniana completa com raio de injetividade δ > 0 e curvatura seccional limitada .

Se M é um conjunto aberto limitado em R ⁿ com contorno contínuo, então W ^1,2 ( M ) é compactamente embutido em L ² ( M ) ( Nečas 2012 , Seção 1.1.5, Teorema 1.4).

Teorema de incorporação de Kondrachov

Em uma variedade compacta M com contorno C ¹ , o teorema de incorporação de Kondrachov afirma que se k > ℓ e

$${\ displaystyle {\ frac {1} {p}} - {\ frac {k} {n}} <{\ frac {1} {q}} - {\ frac {\ ell} {n}}}$$

${\ displaystyle W ^ {k, p} (M) \ subconjunto W ^ {\ ell, q} (M)}$

é totalmente contínuo (compacto). Observe que a condição é igual à da primeira parte do teorema de incorporação de Sobolev, com a igualdade substituída por uma desigualdade, exigindo assim um espaço mais regular W ^{k, p} ( M ) .

Desigualdade de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev

Suponha que u seja uma função de valor real continuamente diferenciável em R ⁿ com suporte compacto . Então, para 1 ≤ p < n, há uma constante C dependendo apenas de n e p tal que

${\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {p ^ {*}} (\ mathbf {R} ^ {n})} \ leq C \ | Du \ | _ {L ^ {p} (\ mathbf { R} ^ {n})}.}$

com 1 / p * = 1 / p - 1 / n. O caso é devido a Sobolev, a Gagliardo e Nirenberg independentemente. A desigualdade de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev implica diretamente na incorporação de Sobolev ${\ displaystyle 1 <p <n}$${\ displaystyle p = 1}$

${\ displaystyle W ^ {1, p} (\ mathbf {R} ^ {n}) \ subset L ^ {p ^ {*}} (\ mathbf {R} ^ {n}).}$

Os embeddings em outras ordens em R ⁿ são então obtidos por iteração adequada.

Lema de Hardy – Littlewood – Sobolev

A prova original de Sobolev do teorema de incorporação de Sobolev baseou-se no seguinte, às vezes conhecido como teorema de integração fracionária de Hardy-Littlewood-Sobolev . Uma declaração equivalente é conhecida como lema de Sobolev em ( Aubin 1982 , Capítulo 2). Uma prova está em ( Stein , Capítulo V, §1.3) . erro harv: sem alvo: CITEREFStein ( ajuda )

Seja 0 < α < n e 1 < p < q <∞ . Seja I _α = (−Δ) ^{- α / 2} o potencial de Riesz em R ⁿ . Então, para q definido por

${\ displaystyle {\ frac {1} {q}} = {\ frac {1} {p}} - {\ frac {\ alpha} {n}}}$

existe uma constante C dependendo apenas de p tal que

${\ displaystyle \ left \ | I _ {\ alpha} f \ right \ | _ {q} \ leq C \ | f \ | _ {p}.}$

Se p = 1 , então temos duas estimativas de substituição possíveis. A primeira é a estimativa mais clássica do tipo fraco:

${\ displaystyle m \ left \ {x: \ left | I _ {\ alpha} f (x) \ right |> \ lambda \ right \} \ leq C \ left ({\ frac {\ | f \ | _ {1 }} {\ lambda}} \ right) ^ {q},}$

onde 1 / q = 1 - α / n . Alternativamente, um tem a estimativa

$${\ displaystyle \ left \ | I _ {\ alpha} f \ right \ | _ {q} \ leq C \ | Rf \ | _ {1},}$$

implica que a última desigualdade fornece uma maneira unificada de escrever a família de desigualdades para o potencial de Riesz. ${\ displaystyle Rf}$erro harv: sem alvo: CITEREFSchikorraSpectorVan_Schaftingen ( ajuda )

O lema de Hardy-Littlewood-Sobolev implica a incorporação de Sobolev essencialmente pela relação entre as transformadas de Riesz e os potenciais de Riesz.

Desigualdade de Morrey

Suponha que n < p ≤ ∞ . Então existe uma constante C , dependendo apenas de p e n , tal que

${\ displaystyle \ | u \ | _ {C ^ {0, \ gamma} (\ mathbf {R} ^ {n})} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {1, p} (\ mathbf {R} ^ {n})}}$

para todo u ∈ C ¹ ( R ⁿ ) ∩ L ^p ( R ⁿ ) , onde

${\ displaystyle \ gamma = 1 - {\ frac {n} {p}}.}$

Assim, se u ∈ W ^{1, p} ( R ⁿ ) , então u é de fato Hölder contínuo do expoente γ , após possivelmente ser redefinido em um conjunto de medida 0.

Um resultado semelhante é válido para um domínio limitado U com fronteira C ¹ . Nesse caso,

${\ displaystyle \ | u \ | _ {C ^ {0, \ gamma} (U)} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {1, p} (U)}}$

onde a constante C depende agora em N , P e L . Esta versão da desigualdade segue da anterior aplicando a extensão preservadora de normas de W ^{1, p} ( U ) a W ^{1, p} ( R ⁿ ) . A desigualdade tem o nome de Charles B. Morrey Jr.

Desigualdades gerais de Sobolev

Seja U um subconjunto aberto limitado de R ⁿ , com um limite C ¹ . ( U também pode ser ilimitado, mas, neste caso, seu limite, se existir, deve ser suficientemente bem comportado).

Suponha que u ∈ W ^{k, p} ( U ) . Em seguida, consideramos dois casos:

k < n / p

Neste caso, concluímos que u ∈ L ^q ( U ) , onde

${\ displaystyle {\ frac {1} {q}} = {\ frac {1} {p}} - {\ frac {k} {n}}.}$

Temos, além disso, a estimativa

${\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {q} (U)} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {k, p} (U)}}$,

a constante C dependendo apenas de k , p , n , e L .

k > n / p

Aqui, concluímos que u pertence a um espaço de Hölder , mais precisamente:

${\ displaystyle u \ in C ^ {k- \ left [{\ frac {n} {p}} \ right] -1, \ gamma} (U),}$

Onde

${\ displaystyle \ gamma = {\ begin {cases} \ left [{\ frac {n} {p}} \ right] +1 - {\ frac {n} {p}} & {\ frac {n} {p }} \ notin \ mathbf {Z} \\ {\ text {qualquer elemento em}} (0,1) & {\ frac {n} {p}} \ in \ mathbf {Z} \ end {casos}}}$

Temos, além disso, a estimativa

${\ displaystyle \ | u \ | _ {C ^ {k- \ left [{\ frac {n} {p}} \ right] -1, \ gamma} (U)} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {k, p} (U)},}$

a constante C dependendo apenas de k , p , n , γ , e L . Em particular, a condição garante que seja contínua (e, na verdade, Hölder contínua com algum expoente positivo). ${\ displaystyle k> n / p}$${\ displaystyle u}$

Caso ${\ displaystyle p = n, k = 1}$

Se , então,

e ${\ displaystyle u \ in W ^ {1, n} (\ mathbf {R} ^ {n})}$

${\ displaystyle \ | u \ | _ {BMO} \ leq C \ | Du \ | _ {L ^ {n} (\ mathbf {R} ^ {n})},}$

para alguma constante C dependendo apenas de n . Essa estimativa é um corolário da desigualdade de Poincaré .

Desigualdade de Nash

A desigualdade de Nash, introduzida por John Nash  ( 1958 ), afirma que existe uma constante C > 0 , tal que para todo u ∈ L ¹ ( R ⁿ ) ∩ W ^1,2 ( R ⁿ ) ,

${\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {2} (\ mathbf {R} ^ {n})} ^ {1 + 2 / n} \ leq C \ | u \ | _ {L ^ {1} (\ mathbf {R} ^ {n})} ^ {2 / n} \ | Du \ | _ {L ^ {2} (\ mathbf {R} ^ {n})}.}$

A desigualdade segue de propriedades básicas da transformada de Fourier . Na verdade, integrando sobre o complemento da bola de raio ρ ,

${\ displaystyle \ int _ {| x | \ geq \ rho} \ left | {\ hat {u}} (x) \ right | ^ {2} \, dx \ leq \ int _ {| x | \ geq \ rho} {\ frac {| x | ^ {2}} {\ rho ^ {2}}} \ left | {\ hat {u}} (x) \ right | ^ {2} \, dx \ leq \ rho ^ {- 2} \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} | Du | ^ {2} \, dx}$

( 1 )

porque . Por outro lado, um tem ${\ displaystyle 1 \ leq | x | ^ {2} / \ rho ^ {2}}$

${\ displaystyle | {\ hat {u}} | \ leq \ | u \ | _ {L ^ {1}}}$

que, quando integrado sobre a bola de raio ρ dá

${\ displaystyle \ int _ {| x | \ leq \ rho} | {\ hat {u}} (x) | ^ {2} \, dx \ leq \ rho ^ {n} \ omega _ {n} \ | u \ | _ {L ^ {1}} ^ {2}}$

( 2 )

onde ω _n é o volume da

${\ displaystyle \ | {\ hat {u}} \ | _ {L ^ {2}} = \ | u \ | _ {L ^ {2}}}$

dá a desigualdade.

No caso especial de n = 1 , a desigualdade de Nash pode ser estendida para o caso L ^p , caso em que é uma generalização da desigualdade de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev ( Brezis 2011 , Comentários no Capítulo 8). Na verdade, se I for um intervalo limitado, então para todos 1 ≤ r <∞ e todos 1 ≤ q ≤ p <∞ a seguinte desigualdade é válida

${\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {p} (I)} \ leq C \ | u \ | _ {L ^ {q} (I)} ^ {1-a} \ | u \ | _ {W ^ {1, r} (I)} ^ {a},}$

Onde:

${\ displaystyle a \ left ({\ frac {1} {q}} - {\ frac {1} {r}} + 1 \ right) = {\ frac {1} {q}} - {\ frac {1 } {p}}.}$

Desigualdade logarítmica de Sobolev

O mais simples dos teoremas de incorporação de Sobolev, descrito acima, afirma que se uma função em tem uma derivada em , então ela mesma está em , onde ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle L ^ {p}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle L ^ {p ^ {*}}}$

${\ displaystyle 1 / p ^ {*} = 1 / p-1 / n.}$

Podemos ver que como tende ao infinito, se aproxima . Assim, se a dimensão do espaço no qual é definida é grande, a melhoria no comportamento local de ter uma derivada em é pequena ( é apenas ligeiramente maior que ). Em particular, para funções em um espaço de dimensão infinita, não podemos esperar nenhum análogo direto dos teoremas de incorporação clássicos de Sobolev. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p ^ {*}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle L ^ {p}}$${\ displaystyle p ^ {*}}$${\ displaystyle p}$

Existe, no entanto, um tipo de desigualdade de Sobolev, estabelecida por Leonard Gross ( Gross 1975 ) e conhecida como uma desigualdade de Sobolev logarítmica , que tem constantes independentes de dimensão e, portanto, continua a se manter no cenário de dimensão infinita. A desigualdade logarítmica de Sobolev diz, grosso modo, que se uma função está em com respeito a uma medida gaussiana e tem uma derivada que também está em , então está em " -log", o que significa que a integral de é finita. A desigualdade que expressa esse fato possui constantes que não envolvem a dimensão do espaço e, portanto, a desigualdade se mantém na configuração de uma medida gaussiana em um espaço de dimensão infinita. Sabe-se agora que as desigualdades logarítmicas de Sobolev são válidas para muitos tipos diferentes de medidas, não apenas para medidas gaussianas. ${\ displaystyle L ^ {p}}$${\ displaystyle L ^ {p}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle L ^ {p}}$${\ displaystyle | f | ^ {p} \ log | f |}$

Embora possa parecer que a condição -log é uma melhoria muito pequena em relação a estar dentro , essa melhoria é suficiente para derivar um resultado importante, a saber, hipercontratividade para o operador de forma de Dirichlet associado . Este resultado significa que se uma função está no intervalo do exponencial do operador de forma de Dirichlet - o que significa que a função tem, em algum sentido, infinitas derivadas em - então a função pertence a alguns ( Teorema 6 de Gross 1975 ) . ${\ displaystyle L ^ {p}}$${\ displaystyle L ^ {p}}$${\ displaystyle L ^ {p}}$${\ displaystyle L ^ {p ^ {*}}}$${\ displaystyle p ^ {*}> p}$

Referências

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• Brezis, Haïm (1983), Analyze Fonctionnelle: théorie et applications , Paris: Masson , ISBN 0-8218-0772-2
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