medida do produto - Product measure

Em matemática , dados dois espaços mensuráveis e medidas sobre eles, pode-se obter um espaço mensurável produto e uma medida do produto naquele espaço. Conceitualmente, isso é similar à definição do produto cartesiano dos conjuntos e topologia produto de dois espaços topológicos, exceto que pode haver muitas escolhas naturais para a medida do produto.

Vamos e haver dois espaços mensuráveis , ou seja, e são álgebras sigma em e , respectivamente, e deixar e ser medidas sobre esses espaços. Denotam por os álgebra sigma no produto cartesiano gerados por subconjuntos de forma , onde e Este álgebra sigma é chamado o -produto tensor σ-álgebra no espaço do produto. ${\ Displaystyle (X_ {1}, \ Sigma _ {1})}$${\ Displaystyle (X_ {2}, \ Sigma _ {2})}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {1}}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {2}}$${\ Displaystyle X_ {1}}$${\ Displaystyle X_ {2}}$${\ Displaystyle \ mu _ {1}}$${\ Displaystyle \ mu _ {2}}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {1} \ otimes \ Sigma _ {2}}$ ${\ Displaystyle X_ {1} \ times X_ {2}}$${\ Displaystyle B_ {1} \ times B_ {2}}$${\ B_ displaystyle {1} \ in \ Sigma _ {1}}$${\ Displaystyle B_ {2} \ in \ Sigma _ {2}.}$

A medida do produto é definido como sendo uma medida no espaço mensurável satisfazendo a propriedade ${\ Displaystyle \ mu _ {1} \ vezes \ mu _ {2}}$${\ X_ DisplayStyle ({1} \ vezes X_ {2}, \ Sigma _ {1} \ otimes \ Sigma _ {2})}$

${\ Displaystyle (\ mu _ {1} \ vezes \ mu _ {2}) (B_ {1} \ vezes B_ {2}) = \ mu _ {1} (B_ {1}) \ mu _ {2} (B_ {2})}$

para todos

${\ Displaystyle B_ {1} \ no \ Sigma _ {1}, \ B_ {2} \ no \ Sigma _ {2}}$.

(Em multiplicando medidas, algumas das quais são infinitas, definimos o produto a ser zero se qualquer fator é zero.)

Na verdade, quando os espaços são -finite, a medida do produto é definido de forma única, e para cada conjunto mensurável E , ${\ Displaystyle \ sigma}$

${\ Displaystyle (\ mu _ {1} \ vezes \ mu _ {2}), (E) = \ int _ {X_ {2}} \ mu _ {1} (E ^ {y}) \, d \ mu _ {2} (y) = \ _ {int X_ {1}} \ mu _ {2} (E_ {x}) \, d \ mu _ {1} (x),}$

onde e que são ambos os conjuntos mensuráveis. ${\ Displaystyle E_ {x} = \ {y \ em X_ {2} | (x, y) \ em E \}}$${\ Displaystyle E ^ {y} = \ {x \ X_ em {1} | (x, y) \ em E \}}$

A existência desta medida é garantida pelo teorema Hahn-Kolmogorov . A singularidade de medida do produto é garantida apenas no caso de que tanto e são σ-finito . ${\ Displaystyle (X_ {1}, \ Sigma _ {1}, \ mu _ {1})}$${\ Displaystyle (X_ {2}, \ Sigma _ {2}, \ mu _ {2})}$

O Borel medir no espaço Euclidiano R ⁿ pode ser obtida como o produto de n cópias da medida de Borel sobre o eixo real R .

Mesmo se os dois fatores do espaço produto são espaços completos medida , o espaço produto pode não ser. Por conseguinte, o processo de conclusão é necessária para estender a Borel em medir a medida de Lebesgue , ou para estender o produto de duas medidas Lebesgue para dar a medida de Lebesgue no espaço do produto.

A construção de frente para a formação do produto de duas medidas é desintegração , o qual, em algum sentido "divide" uma determinada medida em uma família de medidas que podem ser integrados para se obter a medida inicial.

Exemplos

• Dados dois espaços de medida, há sempre uma medida do produto máxima única μ _max em seu produto, com a propriedade de que se μ _max ( A ) é finito para um conjunto mensurável A , então μ _max ( A ) = μ ( A ) para qualquer medida produto u. Em particular, o seu valor em qualquer conjunto mensurável é, pelo menos, que de qualquer outra medida do produto. Esta é a medida produzido pelo teorema extensão Carathéodory .
• Às vezes não é também uma medida do produto mínimo único μ _min , dada por μ _min ( S ) = sup _{Um ⊂ S , μ max ( A ) finito} μ _max ( A ), onde A e S são assumidos para ser mensurável.
• Aqui está um exemplo em que um produto tem mais do que uma medida do produto. Tomar o produto X x Y , onde X é a unidade de intervalo com medida de Lebesgue, e Y é o intervalo de unidade de medida com contagem e todos os conjuntos mensuráveis. Em seguida, para o produto mínima medir a medida de um conjunto é a soma das medidas de suas seções horizontais, enquanto que para o produto máxima medida de um conjunto tem medida infinito, a menos que está contido na união de um número contável de conjuntos da forma A × B , onde quer a tem Lebesgue medida 0 ou B é um único ponto. (Neste caso, a medida pode ser finito ou infinito.) Em particular, a diagonal tem medida 0 para a medida mínima do produto e infinito medida para a medida máxima do produto.

Veja também

• teorema de Fubini

Referências

• Loève, Michel (1977). "Medidas 8.2. Produto e integrais iteradas". Teoria probabilidade vol. I (4ª ed.). Springer. pp. 135 & ndash, 137. ISBN  0-387-90210-4 .
• Halmos, Paul (1974). "35. medidas do produto". Teoria da medida . Springer. pp. 143 & ndash, 145. ISBN  0-387-90088-8 .

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