Negação dupla - Double negation
Na lógica proposicional , a negação dupla é o teorema que afirma que "Se uma afirmação é verdadeira, então não é o caso que a afirmação não é verdadeira." Isso é expresso dizendo que uma proposição A é logicamente equivalente a não (não-A ), ou pela fórmula A ≡ ~ (~ A) onde o sinal ≡ expressa a equivalência lógica e o sinal ~ expressa a negação .
Como a lei do terceiro excluído , esse princípio é considerado uma lei do pensamento na lógica clássica , mas não é permitido pela lógica intuicionista . O princípio foi declarado como um teorema da lógica proposicional por Russell e Whitehead em Principia Mathematica como:
- "Este é o princípio da dupla negação, ou seja , uma proposição é equivalente à falsidade de sua negação."
Eliminação e introdução
Eliminação dupla negação e introdução da negação dupla são duas válidas as regras de substituição . Elas são as inferências de que se A é verdadeiro, então não-A é verdadeiro e seu inverso , que, se não-A é verdadeiro, então A é verdadeiro. A regra permite introduzir ou eliminar uma negação de uma prova formal . A regra é baseada na equivalência de, por exemplo, É falso que não está chovendo. e está chovendo.
A regra de introdução de dupla negação é:
- P P
e a regra de eliminação de dupla negação é:
- P P
Onde " " é um símbolo metalógico que representa "pode ser substituído em uma prova por."
Em lógicas que possuem ambas as regras, a negação é uma involução .
Notação formal
A regra de introdução de dupla negação pode ser escrita em notação sequente :
A regra de eliminação de dupla negação pode ser escrita como:
Em forma de regra :
e
ou como uma tautologia (sentença de cálculo proposicional simples):
e
Eles podem ser combinados em uma única fórmula bicondicional:
- .
Visto que a bicondicionalidade é uma relação de equivalência , qualquer instância de ¬¬ A em uma fórmula bem formada pode ser substituída por A , deixando inalterado o valor de verdade da fórmula bem formada.
A eliminação dupla negativa é um teorema da lógica clássica , mas não de lógicas mais fracas, como a lógica intuicionista e a lógica mínima . A introdução da dupla negação é um teorema tanto da lógica intuicionista quanto da lógica mínima, como é .
Por causa de seu caráter construtivo, uma declaração como Não é o caso de não estar chovendo é mais fraca do que Está chovendo. O último requer uma prova de chuva, enquanto o primeiro requer apenas uma prova de que a chuva não seria contraditória. Essa distinção também surge na linguagem natural na forma de litotes .
Provas
No sistema de cálculo proposicional clássico
Nos sistemas dedutivos do estilo de Hilbert para lógica proposicional, a negação dupla nem sempre é tomada como um axioma (ver lista de sistemas de Hilbert ) e é antes um teorema. Descrevemos uma prova deste teorema no sistema de três axiomas proposto por Jan Łukasiewicz :
- A1.
- A2.
- A3.
Usamos o lema provado aqui , ao qual nos referimos como (L1), e usamos o seguinte lema adicional, provado aqui :
- (L2)
Primeiro provamos . Para abreviatura, denotamos por φ 0 . Também usamos repetidamente o método do metateorema do silogismo hipotético como uma abreviatura para várias etapas de prova.
- (1) (instância de (A1))
- (2) (instância de (A3))
- (3) (instância de (A3))
- (4) (de (2) e (3) pelo metateorema de silogismo hipotético)
- (5) (instância de (A1))
- (6) (de (4) e (5) pelo metateorema de silogismo hipotético)
- (7) (instância de (L2))
- (8) (de (1) e (7) por modus ponens)
- (9) (de (6) e (8) pelo metateorema de silogismo hipotético)
Agora provamos .
- (1) (instância da primeira parte do teorema que acabamos de provar)
- (2) (instância de (A3))
- (3) (de (1) e (2) por modus ponens)
E a prova está completa.
Veja também
Referências
Bibliografia
- William Hamilton , 1860, Lectures on Metaphysics and Logic, Vol. II. Lógica; Editado por Henry Mansel e John Veitch , Boston, Gould e Lincoln.
- Christoph Sigwart , 1895, Logic: The Judgment, Concept, and Inference; Segunda edição, traduzido por Helen Dendy , Macmillan & Co. New York.
- Stephen C. Kleene , 1952, Introduction to Metamathematics , 6ª reimpressão com correções 1971, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN 0-7204-2103-9 .
- Stephen C. Kleene , 1967, Mathematical Logic , Dover edition 2002, Dover Publications, Inc, Mineola NY ISBN 0-486-42533-9
- Alfred North Whitehead e Bertrand Russell , Principia Mathematica to * 56 , 2ª edição 1927, reimpressão 1962, Cambridge at the University Press.