Equivalência lógica - Logical equivalence
Em lógica e matemática , afirmações e são consideradas logicamente equivalentes se forem prováveis umas das outras sob um conjunto de axiomas ou tiverem o mesmo valor de verdade em todos os modelos . A equivalência lógica de e é expressa por vezes, como , , , ou , dependendo da notação sendo usada. No entanto, esses símbolos também são usados para equivalência de material , portanto, a interpretação adequada dependeria do contexto. A equivalência lógica é diferente da equivalência material, embora os dois conceitos estejam intrinsecamente relacionados.
Equivalências lógicas
Na lógica, muitas equivalências lógicas comuns existem e são frequentemente listadas como leis ou propriedades. As tabelas a seguir ilustram alguns deles.
Equivalências lógicas gerais
Equivalência | Nome |
---|---|
|
Leis de identidade |
|
Leis de dominação |
|
Leis idempotentes ou tautológicas |
Lei de dupla negação | |
|
Leis comutativas |
|
Leis associativas |
|
Leis distributivas |
|
Leis De Morgan |
|
Leis de absorção |
|
Leis de Negação |
Equivalências lógicas envolvendo declarações condicionais
Equivalências lógicas envolvendo bicondicionais
Exemplos
Na lógica
As seguintes declarações são logicamente equivalentes:
- Se Lisa está na Dinamarca , ela está na Europa (uma declaração do formulário ).
- Se Lisa não está na Europa, ela não está na Dinamarca (uma declaração do formulário ).
Sintaticamente, (1) e (2) são deriváveis um do outro por meio das regras de contraposição e dupla negação . Semanticamente, (1) e (2) são verdadeiros exatamente nos mesmos modelos (interpretações, avaliações); a saber, aqueles em que Lisa está na Dinamarca é falso ou Lisa está na Europa é verdadeiro.
(Observe que, neste exemplo, a lógica clássica é assumida. Algumas lógicas não clássicas não consideram (1) e (2) como logicamente equivalentes.)
Na matemática
Em matemática, duas afirmações e são freqüentemente consideradas logicamente equivalentes, se forem prováveis uma da outra, dado um conjunto de axiomas e pressuposições. Por exemplo, a afirmação " é divisível por 6" pode ser considerada equivalente à afirmação " é divisível por 2 e 3", uma vez que se pode provar o primeiro a partir do último (e vice-versa) usando algum conhecimento da teoria dos números básicos .
Relação com equivalência de material
A equivalência lógica é diferente da equivalência material. As fórmulas e são logicamente equivalentes se e somente se a declaração de sua equivalência material ( ) for uma tautologia.
A equivalência material de e (muitas vezes escrita como ) é em si outra declaração na mesma linguagem de objeto que e . Esta afirmação expressa a ideia "' se e somente se '". Em particular, o valor de verdade de pode mudar de um modelo para outro.
Por outro lado, a afirmação de que duas fórmulas são logicamente equivalentes é um enunciado em metalinguagem , que expressa uma relação entre dois enunciados e . As declarações são logicamente equivalentes se, em todos os modelos, elas tiverem o mesmo valor de verdade.
Veja também
- Entailment
- Aquisitabilidade
- Se e apenas se
- Bicondicional lógico
- Igualdade lógica
- ≡ o símbolo iff (U + 2261 IDENTICAL TO )
- ∷ a um é a b a c é a d símbolo (L + 2237 PROPORÇÃO )
- ⇔ o duplo batido bicondicional (U + 21D4 SETA DUPLA ESQUERDA DIREITA )
- ↔ a seta bidirecional (U + 2194 SETA ESQUERDA DIREITA )
Referências
- ^ a b "O glossário definitivo do jargão matemático superior - reivindicação equivalente" . Math Vault . 01/08/2019 . Página visitada em 2019-11-24 .
- ^ Mendelson, Elliott (1979). Introdução à lógica matemática (2 ed.). pp. 56 .
- ^ a b "Matemática | Equivalências proposicionais" . GeeksforGeeks . 22/06/2015 . Página visitada em 2019-11-24 .
- ^ Copi, Irving; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth (2014). Introdução à lógica (New International ed.). Pearson. p. 348.