Transposição (lógica) - Transposition (logic)

Na lógica proposicional , a transposição é uma regra válida de substituição que permite trocar o antecedente pelo consequente de um enunciado condicional em uma prova lógica se ambos forem negados . É a inferência da verdade de " A implica B " para a verdade de "Não- B implica não- A ", e vice-versa. Está intimamente relacionado com a regra do modus tollens de inferência . É a regra que

${\ displaystyle (P \ para Q) \ Leftrightarrow (\ neg Q \ para \ neg P)}$

onde " " é um símbolo metalógico que representa "pode ser substituído em uma prova por". ${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$

Notação formal

A regra de transposição pode ser expressa como um sequente :

{\ displaystyle (P \ to Q) \ vdash (\ neg Q \ to \ neg P)}

onde está um símbolo metalógico significando que é uma consequência sintática de algum sistema lógico; ${\ displaystyle \ vdash}$ ${\ displaystyle (\ neg Q \ a \ neg P)}$ ${\ displaystyle (P \ to Q)}$

ou como regra de inferência:

{\ displaystyle {\ frac {P \ para Q} {\ portanto \ neg Q \ para \ neg P}}}

onde a regra é que sempre que uma instância de " " aparecer em uma linha de uma prova, ela pode ser substituída por " "; ${\ displaystyle P \ a Q}$ ${\ displaystyle \ neg Q \ to \ neg P}$

ou como o enunciado de uma tautologia funcional de verdade ou teorema de lógica proposicional. O princípio foi declarado como um teorema da lógica proposicional por Russell e Whitehead em Principia Mathematica como:

{\ displaystyle (P \ to Q) \ to (\ neg Q \ to \ neg P)}

onde e são proposições expressas em algum sistema formal . ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$

Lógica tradicional

Forma de transposição

Na proposição inferida, o consequente é o contraditório do antecedente na proposição original, e o antecedente da proposição inferida é o contraditório do consequente da proposição original. O símbolo para implicação material significa a proposição como uma forma hipotética ou "se-então", por exemplo, "se P, então Q".

O enunciado bicondicional da regra de transposição (↔) refere-se à relação entre proposições hipotéticas (→) , com cada proposição incluindo um termo antecedente e um termo consequente. Por uma questão de inferência lógica, transpor ou converter os termos de uma proposição requer a conversão dos termos das proposições em ambos os lados da relação bicondicional. Ou seja, transpor ou converter (P → Q) em (Q → P) requer que a outra proposição, (~ Q → ~ P), seja transposta ou convertida em (~ P → ~ Q). Caso contrário, converter os termos de uma proposição e não a outra torna a regra inválida, violando a condição suficiente e necessária dos termos das proposições, onde a violação é que a proposição alterada comete a falácia de negar o antecedente ou afirmar o conseqüente por meio de conversão ilícita .

A verdade da regra de transposição depende das relações de condição suficiente e condição necessária na lógica.

Condição suficiente

Na proposição "Se P então Q", a ocorrência de 'P' é razão suficiente para a ocorrência de 'Q'. 'P', como um indivíduo ou uma classe, implica materialmente 'Q', mas a relação de 'Q' com 'P' é tal que a proposição inversa "Se Q, então P" não tem necessariamente condição suficiente. A regra de inferência para condição suficiente é modus ponens , que é um argumento para implicação condicional:

Premissa (1): Se P, então Q

Premissa (2): P

Conclusão: Portanto, Q

Condição necessaria

Uma vez que o inverso da premissa (1) não é válido, tudo o que pode ser afirmado da relação de 'P' e 'Q' é que na ausência de 'Q', 'P' não ocorre, o que significa que 'Q' é a condição necessária para 'P'. A regra de inferência para a condição necessária é o modus tollens :

Premissa (1): Se P, então Q

Premissa (2): não Q

Conclusão: Portanto, não P

Exemplo de necessidade e suficiência

Um exemplo tradicionalmente usado por lógicos contrastando condições suficientes e necessárias é a afirmação "Se houver fogo, então o oxigênio está presente". Um ambiente oxigenado é necessário para fogo ou combustão, mas simplesmente porque existe um ambiente oxigenado não significa necessariamente que esteja ocorrendo fogo ou combustão. Embora se possa inferir que o fogo estipula a presença de oxigênio, da presença de oxigênio o inverso "Se houver oxigênio presente, então o fogo está presente" não pode ser inferido. Tudo o que pode ser inferido da proposição original é que "Se o oxigênio não estiver presente, então não pode haver fogo".

Relação de proposições

O símbolo para o bicondicional ("↔") significa que a relação entre as proposições é necessária e suficiente, e é verbalizado como " se e somente se ", ou, de acordo com o exemplo "Se P então Q 'se e somente se' se não Q, então não P ".

As condições necessárias e suficientes podem ser explicadas por analogia em termos dos conceitos e das regras de inferência imediata da lógica tradicional. Na proposição categórica "Todo S é P", diz-se que o termo sujeito 'S' está distribuído, ou seja, todos os membros de sua classe estão exauridos em sua expressão. Inversamente, o termo predicado 'P' não pode ser considerado distribuído ou exaurido em sua expressão porque é indeterminado se cada instância de um membro de 'P' como uma classe também é um membro de 'S' como uma classe. Tudo o que pode ser validamente inferido é que "Alguns P são S". Assim, a proposição de tipo 'A' "Todo P é S" não pode ser inferida por conversão da proposição de tipo 'A' original "Todo S é P". Tudo o que pode ser inferido é a proposição do tipo "A" "Todo não-P é não-S" (Observe que (P → Q) e (~ Q → ~ P) são ambas proposições do tipo 'A'). Gramaticamente, não se pode inferir "todos os mortais são homens" de "Todos os homens são mortais". Uma proposição do tipo 'A' só pode ser imediatamente inferida por conversão quando o sujeito e o predicado são distribuídos, como na inferência "Todos os solteiros são solteiros" de "Todos os solteiros são solteiros".

Transposição e o método de contraposição

Na lógica tradicional, o processo de raciocínio de transposição como regra de inferência é aplicado a proposições categóricas por meio de contraposição e inversão , uma série de inferências imediatas em que a regra de inversão é aplicada pela primeira vez à proposição categórica original "Todo S é P"; produzindo o anverso "Nenhum S é não-P". Na reversão da proposição original para uma proposição do tipo 'E', ambos os termos tornam-se distribuídos. O anverso é então convertido, resultando em "Nenhum não-P é S", mantendo a distribuição de ambos os termos. O Não não-P é S "é novamente invertido, resultando no [contrapositivo]" Todo não-P é não-S ". Como nada é dito na definição de contraposição em relação ao predicado da proposição inferida, é permitido que possa ser o sujeito original ou seu contraditório, e o termo predicado da proposição de tipo 'A' resultante é novamente não distribuído. Isso resulta em dois contrapositivos, um onde o termo predicado é distribuído e outro onde o termo predicado é não distribuído .

Diferenças entre transposição e contraposição

Observe que o método de transposição e contraposição não deve ser confundido. Contraposição é um tipo de inferência imediata em que de uma dada proposição categórica é inferida outra proposição categórica que tem como sujeito o contraditório do predicado original. Uma vez que nada é dito na definição de contraposição em relação ao predicado da proposição inferida, é admissível que seja o sujeito original ou seu contraditório. Isso está em contradição com a forma das proposições de transposição, que podem ser uma implicação material ou uma afirmação hipotética. A diferença é que em sua aplicação a proposições categóricas o resultado da contraposição são duas contrapositivas, cada uma sendo o obvert da outra, ou seja, "Nenhum não-P é S" e "Todo não-P é não-S". A distinção entre as duas contrapositivas é absorvida e eliminada no princípio da transposição, que pressupõe as "inferências mediatas" da contraposição e é também referida como "lei da contraposição".

Transposição em lógica matemática

Veja Transposição (matemática) , teoria dos conjuntos

Provas


Proposição	Derivação
${\ displaystyle P \ rightarrow Q}$	Dado
${\ displaystyle \ neg P \ lor Q}$	Implicação material
${\ displaystyle Q \ lor \ neg P}$	Comutatividade
${\ displaystyle \ neg \ neg Q \ lor \ neg P}$	Negação dupla
${\ displaystyle \ neg Q \ rightarrow \ neg P}$	Implicação material

No sistema de cálculo proposicional clássico

Nos sistemas dedutivos do estilo de Hilbert para lógica proposicional, apenas um lado da transposição é considerado um axioma e o outro é um teorema. Descrevemos uma prova deste teorema no sistema de três axiomas proposto por Jan Łukasiewicz :

A1.

{\ displaystyle \ phi \ to \ left (\ psi \ to \ phi \ right)}

A2.

{\ displaystyle \ left (\ phi \ to \ left (\ psi \ rightarrow \ xi \ right) \ right) \ to \ left (\ left (\ phi \ to \ psi \ right) \ to \ left (\ phi \ para \ xi \ direita) \ direita)}

A3.

{\ displaystyle \ left (\ lnão \ phi \ to \ lnot \ psi \ right) \ to \ left (\ psi \ to \ phi \ right)}

(A3) já dá um dos sentidos da transposição. O outro lado, se comprovado abaixo, usando os seguintes lemas comprovados aqui : ${\ displaystyle (\ psi \ to \ phi) \ to (\ neg \ phi \ to \ neg \ psi)}$

(DN1) - Negação dupla (uma direção)

{\ displaystyle \ neg \ neg p \ to p}

(DN2) - Negação dupla (outra direção)

{\ displaystyle p \ to \ neg \ neg p}

(HS1) - uma forma de silogismo hipotético

{\ displaystyle (q \ to r) \ to ((p \ to q) \ to (p \ to r))}

(HS2) - outra forma de silogismo hipotético.

{\ displaystyle (p \ to q) \ to ((q \ to r) \ to (p \ to r))}

Também usamos o método do metateorema do silogismo hipotético como uma abreviatura para várias etapas de prova.

A prova é a seguinte:

(1) (instância do (DN2))

{\ displaystyle q \ to \ neg \ neg q}

(2) (instância do (HS1)

{\ displaystyle (q \ to \ neg \ neg q) \ to ((p \ to q) \ to (p \ to \ neg \ neg q))}

(3) (de (1) e (2) por modus ponens)

{\ displaystyle (p \ to q) \ to (p \ to \ neg \ neg q)}

(4) (instância do (DN1))

{\ displaystyle \ neg \ neg p \ to p}

(5) (instância do (HS2))

{\ displaystyle (\ neg \ neg p \ a p) \ a ((p \ a \ neg \ neg q) \ a (\ neg \ neg p \ a \ neg \ neg q))}

(6) (de (4) e (5) por modus ponens)

{\ displaystyle (p \ to \ neg \ neg q) \ to (\ neg \ neg p \ to \ neg \ neg q)}

(7) (de (3) e (6) usando o metateorema de silogismo hipotético)

{\ displaystyle (p \ to q) \ to (\ neg \ neg p \ to \ neg \ neg q)}

(8) (instância de (A3))

{\ displaystyle (\ neg \ neg p \ para \ neg \ neg q) \ para (\ neg q \ para \ neg p)}

(9) (de (7) e (8) usando o metateorema de silogismo hipotético)

{\ displaystyle (p \ to q) \ to (\ neg q \ to \ neg p)}

Veja também

Contraposição (lógica tradicional)

Referências

Leitura adicional

Brody, Bobuch A. "Glossário de termos lógicos". Enciclopédia de Filosofia. Vol. 5-6, pág. 61. Macmillan, 1973.
Irving M. Copi; Carl Cohen; Victor Rodych (9 de setembro de 2016). Introdução à lógica . Taylor e Francis. ISBN 978-1-315-51087-3.
Copi, Irving. Lógica Simbólica . MacMillan, 1979, quinta edição.
Antes, AN "Lógica, Tradicional". Encyclopedia of Philosophy , vol. 5, Macmillan, 1973.
Stebbing, Susan . Uma introdução moderna à lógica . Harper, 1961, sétima edição

links externos

Transposição imprópria (arquivos falaciosos)

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