Modus tollens -Modus tollens

Na lógica proposicional , modus tollens ( / m d ə s t ɒ l ɛ n z / ) ( MT ), também conhecido como modus tollendo Tollens ( Latina por "método de remoção por tirar") e negar o consequente , é uma forma de argumento dedutiva e uma regra de inferência . O Modus tollens assume a forma de "Se P, então Q. Não Q. Portanto, não P." É uma aplicação da verdade geral de que se uma afirmação é verdadeira, então sua contraposição também o é . A forma mostra que a inferência de P implica Q para a negação de Q implica que a negação de P é um argumento válido .

A história do modus tollens da regra de inferência remonta à antiguidade. O primeiro a descrever explicitamente a forma de argumento modus tollens foi Teofrasto .

Modus tollens está intimamente relacionado ao modus ponens . Existem duas formas de argumento semelhantes, mas inválidas : afirmando o conseqüente e negando o antecedente . Veja também contraposição e prova por contraposição .

Explicação

A forma de um argumento do modus tollens se assemelha a um silogismo , com duas premissas e uma conclusão:

Se P , então Q .
Não Q .
Portanto, não P .

O primeiro é uma premissa condicional ( "se-então") reivindicação, tal como P implica Q . A segunda premissa é uma afirmação de que Q , o consequente da reivindicação condicional, não é o caso. A partir dessas duas premissas, pode-se concluir logicamente que P , o antecedente da afirmação condicional, também não é o caso.

Por exemplo:

Se o cão detectar um intruso, ele latirá.
O cachorro não latiu.
Portanto, nenhum intruso foi detectado pelo cão.

Supondo que ambas as premissas sejam verdadeiras (o cão irá latir se detectar um intruso e de fato não latir), segue-se que nenhum intruso foi detectado. Este é um argumento válido, uma vez que não é possível que a conclusão seja falsa se as premissas forem verdadeiras. (É concebível que pode ter havido um intruso que o cão não detectou, mas isso não invalida o argumento; a primeira premissa é "se o cão detectar um intruso". O importante é que o cão detecte ou faça não detecta um intruso, nem se há um.)

Outro exemplo:

Se eu sou o assassino do machado, posso usar um machado.
Eu não posso usar um machado.
Portanto, eu não sou o assassino do machado.

Outro exemplo:

Se Rex é uma galinha, então ele é um pássaro.
Rex não é um pássaro.
Portanto, Rex não é uma galinha.

Relação com o modus ponens

Todo uso do modus tollens pode ser convertido em um uso do modus ponens e um uso da transposição para a premissa que é uma implicação material. Por exemplo:

Se P , então Q . (premissa - implicação material)
Se não Q , então não P . (derivado por transposição)
Não Q . (premissa)
Portanto, não P . (derivado de modus ponens )

Da mesma forma, todo uso de modus ponens pode ser convertido em um uso de modus tollens e transposição.

Notação formal

A regra do modus tollens pode ser declarada formalmente como:

onde representa a declaração "P implica Q". significa "não é o caso de Q" (ou, em resumo, "não é Q"). Então, sempre que " " e " " aparecem individualmente como uma linha de uma prova , então " " pode ser validamente colocado em uma linha subsequente.

A regra do modus tollens pode ser escrita em notação sequente :

onde está um símbolo metalógico que significa que é uma consequência sintática de e em algum sistema lógico ;

ou como a declaração de uma tautologia funcional ou teorema da lógica proposicional:

onde e são proposições expressas em algum sistema formal ;

ou incluindo suposições:

embora, como a regra não altera o conjunto de suposições, isso não é estritamente necessário.

Reescritas mais complexas envolvendo o modus tollens são frequentemente vistas, por exemplo, na teoria dos conjuntos :

("P é um subconjunto de Q. x não está em Q. Portanto, x não está em P.")

Também na lógica de predicado de primeira ordem :

("Para todo x, se x for P, então x é Q. y não é Q. Portanto, y não é P.")

Estritamente falando, esses não são exemplos de modus tollens , mas podem ser derivados do modus tollens usando algumas etapas extras.

Justificativa via tabela de verdade

A validade do modus tollens pode ser claramente demonstrada por meio de uma tabela de verdade .

p q p → q
T T T
T F F
F T T
F F T

Em casos de modus tollens , assumimos como premissas que p → q é verdadeiro eq é falso. Existe apenas uma linha da tabela verdade - a quarta linha - que satisfaz essas duas condições. Nessa linha, p é falso. Portanto, em cada instância em que p → q é verdadeiro eq é falso, p também deve ser falso.

Prova formal

Via silogismo disjuntivo

Etapa Proposição Derivação
1 Dado
2 Dado
3 Implicação material (1)
4 Silogismo disjuntivo (3,2)

Via reductio ad absurdum

Etapa Proposição Derivação
1 Dado
2 Dado
3 Suposição
4 Modus ponens (1,3)
5 Introdução de conjunção (2,4)
6 Reductio ad absurdum (3,5)
7 Introdução condicional (2,6)

Por contraposição

Etapa Proposição Derivação
1 Dado
2 Dado
3 Contraposição (1)
4 Modus ponens (2,3)

Correspondência com outras estruturas matemáticas

Cálculo de probabilidade

Modus tollens representa uma instância da lei da probabilidade total combinada com o teorema de Bayes expresso como:

,

onde os condicionais e são obtidos com (a forma estendida do) teorema de Bayes expresso como:

e .

Nas equações acima denota a probabilidade de , e denota a taxa básica (também conhecida como probabilidade anterior ) de . A probabilidade condicional generaliza a afirmação lógica , ou seja, além de atribuir VERDADEIRO ou FALSO, também podemos atribuir qualquer probabilidade à afirmação. Suponha que isso seja equivalente a ser TRUE e que seja equivalente a ser FALSE. Então, é fácil perceber quando e . Isso ocorre porque assim na última equação. Portanto, os termos do produto na primeira equação sempre têm um fator zero, de modo que é equivalente a ser FALSO. Portanto, a lei da probabilidade total combinada com o teorema de Bayes representa uma generalização do modus tollens .

Lógica subjetiva

Modus tollens representa uma instância do operador de abdução na lógica subjetiva expressa como:

,

onde denota a opinião subjetiva sobre e denota um par de opiniões condicionais binomiais, conforme expresso pela fonte . O parâmetro denota a taxa básica (também conhecida como a probabilidade anterior ) de . A opinião marginal abduzida sobre é denotada . A opinião condicional generaliza o enunciado lógico , ou seja, além de atribuir VERDADEIRO ou FALSO, a fonte pode atribuir qualquer opinião subjetiva ao enunciado. O caso em que é uma opinião VERDADEIRA absoluta é equivalente à fonte dizendo que é VERDADEIRA, e o caso em que é uma opinião FALSA absoluta é equivalente à fonte dizendo que é FALSO. O operador de abdução da lógica subjetiva produz uma opinião abduzida FALSA absoluta quando a opinião condicional é VERDADEIRA absoluta e a opinião conseqüente é FALSA absoluta. Conseqüentemente, a abdução lógica subjetiva representa uma generalização do modus tollens e da Lei da probabilidade total combinada com o teorema de Bayes .

Veja também

Notas

Fontes

links externos