Modus tollens -Modus tollens
Na lógica proposicional , modus tollens ( / m oʊ d ə s t ɒ l ɛ n z / ) ( MT ), também conhecido como modus tollendo Tollens ( Latina por "método de remoção por tirar") e negar o consequente , é uma forma de argumento dedutiva e uma regra de inferência . O Modus tollens assume a forma de "Se P, então Q. Não Q. Portanto, não P." É uma aplicação da verdade geral de que se uma afirmação é verdadeira, então sua contraposição também o é . A forma mostra que a inferência de P implica Q para a negação de Q implica que a negação de P é um argumento válido .
A história do modus tollens da regra de inferência remonta à antiguidade. O primeiro a descrever explicitamente a forma de argumento modus tollens foi Teofrasto .
Modus tollens está intimamente relacionado ao modus ponens . Existem duas formas de argumento semelhantes, mas inválidas : afirmando o conseqüente e negando o antecedente . Veja também contraposição e prova por contraposição .
Explicação
A forma de um argumento do modus tollens se assemelha a um silogismo , com duas premissas e uma conclusão:
- Se P , então Q .
- Não Q .
- Portanto, não P .
O primeiro é uma premissa condicional ( "se-então") reivindicação, tal como P implica Q . A segunda premissa é uma afirmação de que Q , o consequente da reivindicação condicional, não é o caso. A partir dessas duas premissas, pode-se concluir logicamente que P , o antecedente da afirmação condicional, também não é o caso.
Por exemplo:
- Se o cão detectar um intruso, ele latirá.
- O cachorro não latiu.
- Portanto, nenhum intruso foi detectado pelo cão.
Supondo que ambas as premissas sejam verdadeiras (o cão irá latir se detectar um intruso e de fato não latir), segue-se que nenhum intruso foi detectado. Este é um argumento válido, uma vez que não é possível que a conclusão seja falsa se as premissas forem verdadeiras. (É concebível que pode ter havido um intruso que o cão não detectou, mas isso não invalida o argumento; a primeira premissa é "se o cão detectar um intruso". O importante é que o cão detecte ou faça não detecta um intruso, nem se há um.)
Outro exemplo:
- Se eu sou o assassino do machado, posso usar um machado.
- Eu não posso usar um machado.
- Portanto, eu não sou o assassino do machado.
Outro exemplo:
- Se Rex é uma galinha, então ele é um pássaro.
- Rex não é um pássaro.
- Portanto, Rex não é uma galinha.
Relação com o modus ponens
Todo uso do modus tollens pode ser convertido em um uso do modus ponens e um uso da transposição para a premissa que é uma implicação material. Por exemplo:
- Se P , então Q . (premissa - implicação material)
- Se não Q , então não P . (derivado por transposição)
- Não Q . (premissa)
- Portanto, não P . (derivado de modus ponens )
Da mesma forma, todo uso de modus ponens pode ser convertido em um uso de modus tollens e transposição.
Notação formal
A regra do modus tollens pode ser declarada formalmente como:
onde representa a declaração "P implica Q". significa "não é o caso de Q" (ou, em resumo, "não é Q"). Então, sempre que " " e " " aparecem individualmente como uma linha de uma prova , então " " pode ser validamente colocado em uma linha subsequente.
A regra do modus tollens pode ser escrita em notação sequente :
onde está um símbolo metalógico que significa que é uma consequência sintática de e em algum sistema lógico ;
ou como a declaração de uma tautologia funcional ou teorema da lógica proposicional:
onde e são proposições expressas em algum sistema formal ;
ou incluindo suposições:
embora, como a regra não altera o conjunto de suposições, isso não é estritamente necessário.
Reescritas mais complexas envolvendo o modus tollens são frequentemente vistas, por exemplo, na teoria dos conjuntos :
("P é um subconjunto de Q. x não está em Q. Portanto, x não está em P.")
Também na lógica de predicado de primeira ordem :
("Para todo x, se x for P, então x é Q. y não é Q. Portanto, y não é P.")
Estritamente falando, esses não são exemplos de modus tollens , mas podem ser derivados do modus tollens usando algumas etapas extras.
Justificativa via tabela de verdade
A validade do modus tollens pode ser claramente demonstrada por meio de uma tabela de verdade .
p | q | p → q |
---|---|---|
T | T | T |
T | F | F |
F | T | T |
F | F | T |
Em casos de modus tollens , assumimos como premissas que p → q é verdadeiro eq é falso. Existe apenas uma linha da tabela verdade - a quarta linha - que satisfaz essas duas condições. Nessa linha, p é falso. Portanto, em cada instância em que p → q é verdadeiro eq é falso, p também deve ser falso.
Prova formal
Via silogismo disjuntivo
Etapa | Proposição | Derivação |
---|---|---|
1 | Dado | |
2 | Dado | |
3 | Implicação material (1) | |
4 | Silogismo disjuntivo (3,2) |
Via reductio ad absurdum
Etapa | Proposição | Derivação |
---|---|---|
1 | Dado | |
2 | Dado | |
3 | Suposição | |
4 | Modus ponens (1,3) | |
5 | Introdução de conjunção (2,4) | |
6 | Reductio ad absurdum (3,5) | |
7 | Introdução condicional (2,6) |
Por contraposição
Etapa | Proposição | Derivação |
---|---|---|
1 | Dado | |
2 | Dado | |
3 | Contraposição (1) | |
4 | Modus ponens (2,3) |
Correspondência com outras estruturas matemáticas
Cálculo de probabilidade
Modus tollens representa uma instância da lei da probabilidade total combinada com o teorema de Bayes expresso como:
,
onde os condicionais e são obtidos com (a forma estendida do) teorema de Bayes expresso como:
e .
Nas equações acima denota a probabilidade de , e denota a taxa básica (também conhecida como probabilidade anterior ) de . A probabilidade condicional generaliza a afirmação lógica , ou seja, além de atribuir VERDADEIRO ou FALSO, também podemos atribuir qualquer probabilidade à afirmação. Suponha que isso seja equivalente a ser TRUE e que seja equivalente a ser FALSE. Então, é fácil perceber quando e . Isso ocorre porque assim na última equação. Portanto, os termos do produto na primeira equação sempre têm um fator zero, de modo que é equivalente a ser FALSO. Portanto, a lei da probabilidade total combinada com o teorema de Bayes representa uma generalização do modus tollens .
Lógica subjetiva
Modus tollens representa uma instância do operador de abdução na lógica subjetiva expressa como:
,
onde denota a opinião subjetiva sobre e denota um par de opiniões condicionais binomiais, conforme expresso pela fonte . O parâmetro denota a taxa básica (também conhecida como a probabilidade anterior ) de . A opinião marginal abduzida sobre é denotada . A opinião condicional generaliza o enunciado lógico , ou seja, além de atribuir VERDADEIRO ou FALSO, a fonte pode atribuir qualquer opinião subjetiva ao enunciado. O caso em que é uma opinião VERDADEIRA absoluta é equivalente à fonte dizendo que é VERDADEIRA, e o caso em que é uma opinião FALSA absoluta é equivalente à fonte dizendo que é FALSO. O operador de abdução da lógica subjetiva produz uma opinião abduzida FALSA absoluta quando a opinião condicional é VERDADEIRA absoluta e a opinião conseqüente é FALSA absoluta. Conseqüentemente, a abdução lógica subjetiva representa uma generalização do modus tollens e da Lei da probabilidade total combinada com o teorema de Bayes .
Veja também
- Prova de ausência - Prova de qualquer tipo que sugira que algo está faltando ou que não existe
- Frases latinas
- Modus operandi - hábitos de trabalho
- Modus ponens - Regra de inferência lógica
- Modus vivendi - Acordo que permite que as partes em conflito coexistam em paz
- Non sequitur
- Prova por contradição - Forma de prova indireta que estabelece a verdade ou validade de uma proposição
- Prova por contraposição
- Lógica estóica - Sistema de lógica proposicional desenvolvido pelos filósofos estóicos
Notas
Fontes
- Audun Jøsang, 2016, Subjective Logic; Um formalismo para raciocínio sob incerteza Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1
links externos
- Modus Tollens na Wolfram MathWorld