Dilema construtivo - Constructive dilemma

O dilema construtivo é uma regra válida de inferência da lógica proposicional . É a inferência de que, se P implica Q e R implica S e P ou R é verdadeiro, então Q ou S tem que ser verdadeiro. Em suma, se duas condicionais são verdadeiras e pelo menos um de seus antecedentes é, então pelo menos um de seus consequentes também deve ser. O dilema construtivo é a versão disjuntiva do modus ponens , enquanto o dilema destrutivo é a versão disjuntiva do modus tollens . A regra do dilema construtivo pode ser declarada:

{\ displaystyle {\ frac {(P \ para Q), (R \ para S), P \ lor R} {\ portanto Q \ lor S}}}

onde a regra é que sempre que ocorrências de " ", " " e " " aparecem nas linhas de uma prova, " " pode ser colocado em uma linha subsequente. ${\ displaystyle P \ a Q}$ ${\ displaystyle R \ a S}$ ${\ displaystyle P \ lor R}$ ${\ displaystyle Q \ lor S}$

Notação formal

A regra do dilema construtivo pode ser escrita em notação sequencial :

{\ displaystyle (P \ to Q), (R \ to S), (P \ lor R) \ vdash (Q \ lor S)}

onde é um metalógica símbolo que significa que é uma conseqüência sintática de , e em algum sistema lógico ; ${\ displaystyle \ vdash}$ ${\ displaystyle Q \ lor S}$ ${\ displaystyle P \ a Q}$ ${\ displaystyle R \ a S}$ ${\ displaystyle P \ lor R}$

e expresso como uma tautologia funcional de verdade ou teorema da lógica proposicional:

{\ displaystyle (((P \ to Q) \ land (R \ to S)) \ land (P \ lor R)) \ to (Q \ lor S)}

onde , , e são proposições expressas em algum sistema formal . ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle S}$

Prova


Etapa	Proposição	Derivação
1	${\ displaystyle P \ a Q}$	Dado
2	${\ displaystyle R \ a S}$	Dado
3	${\ displaystyle P \ lor R}$	Dado
4	${\ displaystyle \ neg \ neg P \ lor R}$	Negação dupla (3)
5	${\ displaystyle \ neg P \ to R}$	Implicação material (4)
6	${\ displaystyle \ neg Q \ to \ neg P}$	Transposição (1)
7	${\ displaystyle \ neg Q \ to R}$	Silogismo hipotético (6,5)
8	${\ displaystyle \ neg Q \ to S}$	Silogismo hipotético (7,2)
9	${\ displaystyle \ neg \ neg Q \ lor S}$	Implicação material (8)
10	${\ displaystyle Q \ lor S}$	Negação dupla (9)