Linha real projetivamente estendida - Projectively extended real line

A linha real projetivamente estendida pode ser visualizada como a linha de número real enrolada em um círculo (por alguma forma de projeção estereográfica ) com um ponto adicional no infinito.

Na análise real , a linha real projetivamente estendida (também chamada de compactação de um ponto da linha real ), é a extensão do conjunto dos números reais , por um ponto denotado por ∞ . É, portanto, o conjunto com as operações aritméticas padrão estendidas onde possível, e às vezes é denotado por O ponto adicionado é chamado de ponto no infinito , porque é considerado um vizinho de ambas as extremidades da linha real. Mais precisamente, o ponto no infinito é o limite de toda sequência de números reais cujos valores absolutos são crescentes e ilimitados . ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}.}$

A linha real projetivamente estendida pode ser identificada com uma linha projetiva real na qual três pontos foram atribuídos aos valores específicos 0 , 1 e ∞ . A linha de número real projetivamente estendida é distinta da linha de número real estendida afinamente , na qual + ∞ e −∞ são distintos.

Dividindo por zero

Ao contrário da maioria dos modelos matemáticos do conceito intuitivo de 'número', esta estrutura permite a divisão por zero :

${\ displaystyle {\ frac {a} {0}} = \ infty}$

para diferente de zero a . Em particular 1/0 = ∞ e, além disso, 1 / ∞ = 0 , tornando recíproco , 1 / x , uma função total nesta estrutura. A estrutura, entretanto, não é um campo , e nenhuma das operações aritméticas binárias é total, como testemunhado, por exemplo, por 0⋅∞ ser indefinido apesar de o recíproco ser total. Ele tem interpretações utilizáveis, no entanto - por exemplo, em geometria, uma linha vertical tem inclinação infinita .

Extensões da linha real

A linha real projetivamente estendida estende o campo dos números reais da mesma forma que a esfera de Riemann estende o campo dos números complexos , adicionando um único ponto chamado convencionalmente . ${\ displaystyle \ infty}$

Em contraste, a linha de número real afinamente estendida (também chamada de compactação de dois pontos da linha real) distingue entre e . ${\ displaystyle + \ infty}$${\ displaystyle - \ infty}$

Pedido

A relação de ordem não pode ser estendida de uma forma significativa. Dado um número , não há argumento convincente para definir um ou aquele . Já que não pode ser comparado com nenhum dos outros elementos, não faz sentido manter essa relação . No entanto, a ordem em é usada nas definições em . ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle a \ neq \ infty}$${\ displaystyle a> \ infty}$${\ displaystyle a <\ infty}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$

Geometria

Fundamental para a ideia de que ∞ é um ponto não diferente de qualquer outro é o modo como a linha projetiva real é um espaço homogêneo , de fato homeomórfico a um círculo . Por exemplo, o grupo linear geral de matrizes invertíveis reais 2 × 2 tem uma ação transitiva sobre ele. A ação do grupo pode ser expressa por transformações de Möbius , (também chamadas de transformações lineares fracionárias), entendendo-se que quando o denominador da transformação linear fracionária é 0, a imagem é ∞.

A análise detalhada da ação mostra que para quaisquer três pontos distintos P , Q e R , há uma transformação fracionária linear levando P a 0, Q a 1 e R a ∞, ou seja, o grupo de transformações fracionárias lineares é triplamente transitivo na linha projetiva real. Isso não pode ser estendido para 4 tuplas de pontos, porque a razão cruzada é invariante.

A terminologia linha projetiva é apropriada, porque os pontos estão em correspondência 1 para 1 com subespaços lineares unidimensionais de . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Operaçoes aritimeticas

Motivação para operações aritméticas

As operações aritméticas neste espaço são uma extensão das mesmas operações em reais. Uma motivação para as novas definições são os limites das funções dos números reais.

Operações aritméticas que são definidas

Além das operações padrão no subconjunto de , as seguintes operações são definidas para , com exceções conforme indicado: ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle a \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} a + \ infty = \ infty + a & = \ infty, & a \ neq \ infty \\ a- \ infty = \ infty -a & = \ infty, & a \ neq \ infty \\ a / \ infty = a \ cdot 0 = 0 \ cdot a & = 0, & a \ neq \ infty \\\ infty / a & = \ infty, & a \ neq \ infty \\ a / 0 = a \ cdot \ infty = \ infty \ cdot a & = \ infty, & a \ neq 0 \\ 0 / a & = 0, & a \ neq 0 \ end {alinhado}}}$

Operações aritméticas que são deixadas indefinidas

As seguintes expressões não podem ser motivadas considerando os limites das funções reais, e nenhuma definição delas permite que a declaração das propriedades algébricas padrão seja mantida inalterada na forma para todos os casos definidos. Consequentemente, eles são deixados indefinidos:

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ infty + \ infty \\ & \ infty - \ infty \\ & \ infty \ cdot 0 \\ & 0 \ cdot \ infty \\ & \ infty / \ infty \\ & 0 / 0 \ end {alinhado}}}$

Propriedades algébricas

As seguintes igualdades significam: Ambos os lados são indefinidos ou ambos os lados são definidos e iguais. Isso é verdade para qualquer um . ${\ displaystyle a, b, c \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} (a + b) + c & = a + (b + c) \\ a + b & = b + a \\ (a \ cdot b) \ cdot c & = a \ cdot (b \ cdot c) \\ a \ cdot b & = b \ cdot a \\ a \ cdot \ infty & = {\ frac {a} {0}} \\\ end {alinhado}}}$

O seguinte é verdadeiro sempre que o lado direito é definido, para qualquer . ${\ displaystyle a, b, c \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} a \ cdot (b + c) & = a \ cdot b + a \ cdot c \\ a & = ({\ frac {a} {b}}) \ cdot b & = \, \, & {\ frac {(a \ cdot b)} {b}} \\ a & = (a + b) -b & = \, \, & (ab) + b \ end {alinhado}}}$

Em geral, todas as leis da aritmética válidas para também são válidas para sempre que todas as expressões ocorrentes forem definidas. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$

Intervalos e topologia

O conceito de intervalo pode ser estendido a . No entanto, como é um conjunto não ordenado, o intervalo tem um significado ligeiramente diferente. As definições para intervalos fechados são as seguintes (presume-se que ): ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}, a <b}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ left [a, b \ right] & = \ lbrace x \ mid x \ in \ mathbb {R}, a \ leq x \ leq b \ rbrace \\\ left [a, \ infty \ right] & = \ lbrace x \ mid x \ in \ mathbb {R}, a \ leq x \ rbrace \ cup \ lbrace \ infty \ rbrace \\\ left [b, a \ right] & = \ lbrace x \ mid x \ in \ mathbb {R}, b \ leq x \ rbrace \ cup \ lbrace \ infty \ rbrace \ cup \ lbrace x \ mid x \ in \ mathbb {R}, x \ leq a \ rbrace \\ \ left [\ infty, a \ right] & = \ lbrace \ infty \ rbrace \ cup \ lbrace x \ mid x \ in \ mathbb {R}, x \ leq a \ rbrace \\\ left [a, a \ right ] & = \ {a \} \\\ left [\ infty, \ infty \ right] & = \ lbrace \ infty \ rbrace \ end {alinhado}}}$

Com exceção de quando os pontos finais são iguais, os intervalos abertos e semiabertos correspondentes são definidos removendo os respectivos pontos finais.

${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$e o conjunto vazio também é um intervalo, pois exclui qualquer ponto único. ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$

Os intervalos abertos como base definem uma topologia em . O suficiente para uma base são os intervalos abertos finitos em e os intervalos para tudo isso . ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle (b, a) = \ {x \ mid x \ in \ mathbb {R}, b <x \} \ cup \ {\ infty \} \ cup \ {x \ mid x \ in \ mathbb {R }, x <a \}}$${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle a <b}$

Como disse, a topologia é homeomórfica a um círculo . Portanto, é metrizável correspondendo (para um determinado homeomorfismo) à métrica comum neste círculo (medido em linha reta ou ao longo do círculo). Não há métrica que seja uma extensão da métrica comum . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Aritmética de intervalo

A aritmética de intervalo se estende até de . O resultado de uma operação aritmética em intervalos é sempre um intervalo, exceto quando os intervalos com uma operação binária contêm valores incompatíveis que levam a um resultado indefinido. Em particular, temos, para cada : ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle a, b \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$

${\ displaystyle x \ in [a, b] \ iff {\ frac {1} {x}} \ in \ left [{\ frac {1} {b}}, {\ frac {1} {a}} \ direito],}$

independentemente de qualquer intervalo incluir e . ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ infty}$

Cálculo

As ferramentas de cálculo podem ser usadas para analisar funções de . As definições são motivadas pela topologia deste espaço. ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$

Bairros

Deixe . ${\ displaystyle x \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}, A \ subseteq {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$

• A é uma vizinhança de x , se e somente se A contém um intervalo aberto B e .${\ displaystyle x \ in B}$
• A é uma vizinhança do lado direito de x, se e somente se houver tal que A contenha .${\ displaystyle y \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}} \ setminus \ {x \}}$${\ displaystyle [x, y)}$
• A é uma vizinhança do lado esquerdo de x, se e somente se houver tal que A contenha .${\ displaystyle y \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}} \ setminus \ {x \}}$${\ displaystyle (y, x]}$
• A é uma vizinhança puncionada (lado direito, lado esquerdo) de x , se e somente se houver tal que B é uma vizinhança (lado direito, lado esquerdo) de x, e .${\ displaystyle B \ subseteq {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle A = B \ setminus \ {x \}}$

Limites

Definições básicas de limites

Deixe . ${\ displaystyle f: {\ widehat {\ mathbb {R}}} \ to {\ widehat {\ mathbb {R}}}, p \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}, L \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$

O limite de f ( x ) conforme x se aproxima de p é L , denotado

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to p} {f (x)} = L}$

se e somente se para cada vizinhança A de L , há uma vizinhança B puncionada de p , de modo que isso implica . ${\ displaystyle x \ in B}$${\ displaystyle f (x) \ in A}$

O limite unilateral de f ( x ) conforme x se aproxima de p da direita (esquerda) é L , denotado

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to p ^ {+}} {f (x)} = L \ qquad \ left (\ lim _ {x \ to p ^ {-}} {f (x)} = L \direito)}$

se e somente se para cada vizinhança A de L , há uma vizinhança B perfurada do lado direito (lado esquerdo) de p , de modo que isso implica . ${\ displaystyle x \ in B}$${\ displaystyle f (x) \ in A}$

Pode-se mostrar que se e somente se e . ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to p} {f (x)} = L}$${\ displaystyle \ lim _ {x \ to p ^ {+}} {f (x)} = L}$${\ displaystyle \ lim _ {x \ to p ^ {-}} {f (x)} = L}$

Comparação com limites em ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

As definições fornecidas acima podem ser comparadas com as definições usuais de limites de funções reais. Nas seguintes declarações,, o primeiro limite é conforme definido acima, e o segundo limite está no sentido usual: ${\ displaystyle p, L \ in \ mathbb {R}}$

• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to p} {f (x)} = L}$é equivalente a .${\ displaystyle \ lim _ {x \ to p} {f (x)} = L}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty ^ {+}} {f (x)} = L}$é equivalente a .${\ displaystyle \ lim _ {x \ to - \ infty} {f (x)} = L}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty ^ {-}} {f (x)} = L}$é equivalente a .${\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {f (x)} = L}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to p} {f (x)} = \ infty}$é equivalente a .${\ displaystyle \ lim _ {x \ to p} {| f (x) |} = + \ infty}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty ^ {+}} {f (x)} = \ infty}$é equivalente a .${\ displaystyle \ lim _ {x \ to - \ infty} {| f (x) |} = + \ infty}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty ^ {-}} {f (x)} = \ infty}$é equivalente a .${\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {| f (x) |} = + \ infty}$

Definição estendida de limites

Deixe . Então p é um ponto limite de A se e somente se toda vizinhança de p inclui um ponto tal que . ${\ displaystyle A \ subseteq {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle y \ in A}$${\ displaystyle y \ neq p}$

Vamos , p um ponto limite de A . O limite de f (x) conforme x se aproxima de p através de A é L , se e somente se para cada vizinhança B de L , houver uma vizinhança puncionada C de p , de modo que isso implica . ${\ displaystyle f: {\ widehat {\ mathbb {R}}} \ to {\ widehat {\ mathbb {R}}}, A \ subseteq {\ widehat {\ mathbb {R}}}, L \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}, p \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle x \ in A \ cap C}$${\ displaystyle f (x) \ in B}$

Isso corresponde à definição topológica regular de continuidade, aplicada à topologia do subespaço on , e à restrição de f to . ${\ displaystyle A \ cup \ lbrace p \ rbrace}$${\ displaystyle A \ cup \ lbrace p \ rbrace}$

Continuidade

A função

${\ displaystyle f: {\ widehat {\ mathbb {R}}} \ to {\ widehat {\ mathbb {R}}}, \ quad p \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}.}$

é contínuo em p se e somente se f for definido em p e

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to p} {f (x)} = f (p).}$

Se a função ${\ displaystyle A \ subseteq {\ widehat {\ mathbb {R}}},}$

${\ displaystyle f: A \ to {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$

é contínuo em A se, e somente se, para todo , f é definido em p e o limite de f ( x ) quando x tende a p através de A é f ( p ) . ${\ displaystyle p \ in A}$

Toda função racional P ( x ) / Q ( x ) , onde P e Q são polinômios , pode ser prolongada, de forma única, a uma função de a que é contínua em . Em particular, este é o caso de funções polinomiais , que levam o valor em se eles não são constantes. ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle \ infty,}$

Além disso, se a função tangente tan for estendida de modo que

${\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + n \ pi \ right) = \ infty {\ text {para}} n \ in \ mathbb {Z},}$

então o bronzeado é contínuo em, mas não pode ser prolongado ainda mais para uma função que é contínua em${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}.}$

Muitas funções elementares que são contínuas em não podem ser prolongadas para funções que são contínuas em. Este é o caso, por exemplo, da função exponencial e de todas as funções trigonométricas . Por exemplo, a função seno é contínua em, mas não pode ser tornada contínua em Como visto acima, a função tangente pode ser prolongada para uma função que é contínua em, mas esta função não pode ser contínua em${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}.}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ displaystyle \ infty.}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ displaystyle \ infty.}$

Muitas funções descontínuas que se tornam contínuas quando o codomínio é estendido para permanecer descontínuo se o codomínio é estendido para o sistema de número real estendido afinamente. Este é o caso da função. Por outro lado, algumas funções que são contínuas e descontínuas em tornam - se contínuas se o domínio é estendido para Este é o caso do arco tangente . ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}.}$${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {x}}.}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ infty \ in {\ widehat {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}.}$

Como um alcance projetivo

Quando a linha projetiva real é considerada no contexto do plano projetivo real , então as consequências do teorema de Desargues estão implícitas. Em particular, a construção da relação conjugada harmônica projetiva entre os pontos faz parte da estrutura da linha projetiva real. Por exemplo, dado qualquer par de pontos, o ponto no infinito é o conjugado harmônico projetivo de seu ponto médio .

Como as projetividades preservam a relação harmônica, elas formam os automorfismos da linha projetiva real. As projetividades são descritas algebricamente como homografias , uma vez que os números reais formam um anel , conforme a construção geral de uma linha projetiva sobre um anel . Coletivamente, eles formam o grupo PGL (2, R) .

As projetividades que são suas próprias inversas são chamadas de involuções . Uma involução hiperbólica possui dois pontos fixos . Duas delas correspondem a operações aritméticas elementares na linha projetiva real: negação e reciprocidade . De fato, 0 e ∞ são fixos sob negação, enquanto 1 e −1 são fixados sob reciprocidade.

Notas

Veja também

• Plano projetivo real
• Plano projetivo complexo
• Teoria da roda

links externos

• Números reais projetivamente estendidos - de Mathworld