Inverso aditivo - Additive inverse

Em matemática, o inverso aditivo de um número a é o número que, quando adicionado a a , resulta em zero . Este número também é conhecido como o oposto (número), mudança de sinal e negação . Para um número real , ele inverte seu sinal : o inverso aditivo (número oposto) de um número positivo é negativo e o inverso aditivo de um número negativo é positivo. Zero é o inverso aditivo de si mesmo.

O inverso aditivo de a é denotado por menos unário : - a (veja também § Relação com a subtração abaixo). Por exemplo, o inverso aditivo de 7 é −7, porque 7 + (−7) = 0 , e o inverso aditivo de −0,3 é 0,3, porque −0,3 + 0,3 = 0 .

Da mesma forma, o inverso aditivo de a - b é - ( a - b ) que pode ser simplificado para b - a . O inverso aditivo de 2 x - 3 é 3 - 2 x , porque 2 x - 3 + 3 - 2 x = 0 .

O inverso aditivo é definido como seu elemento inverso sob a operação binária de adição (ver também § Definição formal abaixo), o que permite uma ampla generalização para objetos matemáticos diferentes de números. Como para qualquer operação inversa, o inverso aditivo duplo não tem efeito líquido : - (- x ) = x .

Esses números complexos, dois de oito valores de 81 , são mutuamente opostos

Exemplos comuns

Para um número (e mais geralmente em qualquer anel ), o inverso aditivo pode ser calculado usando a multiplicação por -1 ; ou seja, - n = −1 ×  n . Exemplos de anéis de números são inteiros , números racionais , números reais e números complexos .

Relação com subtração

O aditivo inverso está intimamente relacionado à subtração , que pode ser vista como uma adição do oposto:

a - b  =  a + (- b ) .

Por outro lado, o inverso aditivo pode ser pensado como subtração de zero:

- a  = 0 - a .

Conseqüentemente, a notação de sinal de menos unário pode ser vista como uma abreviação para subtração (com o símbolo "0" omitido), embora em uma tipografia correta , não deva haver espaço após "-" unário.

Outras propriedades

Além das identidades listadas acima, a negação tem as seguintes propriedades algébricas:

  • - (- a ) = a , é uma operação de Involução
  • - ( a + b ) = (- a ) + (- b )
  • - ( a - b ) = b - a
  • a - (- b ) = a + b
  • (- a ) ×  b = a  × (- b ) = - ( a  ×  b )
  • (- a ) × (- b ) = a × b
    notavelmente, (- a ) 2 = a 2

Definição formal

A notação + é normalmente reservada para operações binárias comutativas (operações onde x + y = y + x para todos os x ,  y ). Se tal operação admite um elemento de identidade o (tal que x + o (= o + x  ) = x para todo x ), então este elemento é único ( o ′ = o ′ + o = o ). Para um dado x , se existe x ′ tal que x + x ′ (= x ′ + x  ) = o , então x ′ é chamado de inverso aditivo de x .

Se + for associativo , ou seja, ( x  +  y ) + z = x + ( y  +  z ) para todos os x ,  y ,  z , então um inverso aditivo é único. Para ver isso, sejam x ′ e x ″ cada um inverso aditivo de x ; então

x ′ = x ′ + o = x ′ + ( x + x ″ ) = ( x ′ + x ) + x ″ = o + x ″ = x ″ .

Por exemplo, como a adição de números reais é associativa, cada número real tem um inverso aditivo único.

Outros exemplos

Todos os exemplos a seguir são, na verdade, grupos abelianos :

  • Números complexos : - ( a + bi ) = (- a ) + (- b ) i . No plano complexo , esta operação gira um número complexo 180 graus em torno da origem (veja a imagem acima ).
  • Adição de funções de valor real e complexo: aqui, o inverso aditivo de uma função f é a função - f definida por (- f  ) ( x ) = - f  ( x ) , para todo x , tal que f + (- f  ) = o , a função zero ( o ( x ) = 0 para todo x ).
  • De forma mais geral, o que precede se aplica a todas as funções com valores em um grupo abeliano ('zero' significa então o elemento de identidade deste grupo):
  • Sequências , matrizes e redes também são tipos especiais de funções.
  • Em um espaço vetorial , o inverso aditivo - v é freqüentemente chamado de vetor oposto de v ; tem a mesma magnitude que a direção original e oposta. A inversão aditiva corresponde à multiplicação escalar por -1. Para o espaço euclidiano , é ponto de reflexão na origem. Vetores em direções exatamente opostas (multiplicados por números negativos) às vezes são chamados de antiparalelos .
    • funções avaliadas no espaço vetorial (não necessariamente lineares),
  • Na aritmética modular , o inverso aditivo modular de x também é definido: é o número a tal que a + x ≡ 0 (mod n ) . Este inverso aditivo sempre existe. Por exemplo, o inverso de 3 módulo 11 é 8 porque é a solução para 3 + x ≡ 0 (mod 11) .

Não exemplos

Números naturais , números cardinais e números ordinais não têm inversos aditivos em seus respectivos conjuntos . Assim pode-se dizer, por exemplo, que os números naturais não têm inversos aditivos, mas porque esses inversos aditivos não são eles próprios números naturais, o conjunto dos números naturais não é fechado sob tomando inversos aditivos.

Veja também

Notas e referências