Coordenadas de Lemaître - Lemaître coordinates

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Relatividade geral
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Introdução História Formulação matemática Testes
Conceitos fundamentais Princípio da Relatividade Teoria da relatividade Quadro de Referência Quadro de referência inercial Quadro de descanso Quadro de centro de impulso Cone de luz Princípio de equivalência Equivalência massa-energia Relatividade especial Relatividade duplamente especial Relatividade especial invariante de Sitter Relatividade de escala Linha mundial Hora certa Geometria riemanniana Condição de energia
Fenômenos Gravitoeletromagnetismo Problema Kepler Gravidade Campo gravitacional Gravidade bem Lente gravitacional Ondas gravitacionais Redshift gravitacional Redshift Turno azul Dilatação do tempo Dilatação do tempo gravitacional Atraso de tempo Shapiro Potencial gravitacional Compressão gravitacional Colapso gravitacional Arrasto de quadro Efeito geodésico Horizonte aparente Horizonte de eventos Singularidade gravitacional Singularidade nua Buraco negro Buraco branco Espaço-tempo Espaço Tempo Diagramas de espaço-tempo Espaço-tempo de Minkowski Curva tipo tempo fechada (CTC) Buraco de minhoca Buraco de minhoca de Ellis
Equações Formalismos Equações Gravidade linearizada Equações de campo de Einstein Friedmann Geodésica Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Invariante de curvatura (relatividade geral) Variedade Lorentziana Formalismos ADM BSSN Newman – Penrose Pós-newtoniana Teoria avançada Teoria de Kaluza-Klein Gravidade quântica Supergravidade
Soluções Schwarzschild ( interior ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr-Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker onda pp poeira van Stockum Weyl – Lewis – Papapetrou Solução de vácuo
Teoremas Teorema de Birkhoff Teorema de divisão de Geroch Teorema de Goldberg-Sachs Teorema de Lovelock Teorema sem cabelo Teoremas de singularidade de Penrose-Hawking Teorema da energia positiva
Cientistas Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Wheeler Robertson Bardeen andador Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Novo homem Yau Thorne outras
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As coordenadas de Lemaître são um conjunto particular de coordenadas para a métrica de Schwarzschild - uma solução esfericamente simétrica para as equações de campo de Einstein no vácuo - introduzida por Georges Lemaître em 1932. Mudar de coordenadas de Schwarzschild para Lemaître remove a singularidade da coordenada no raio de Schwarzschild .

Equações

A expressão coordenada de Schwarzschild original da métrica de Schwarzschild, em unidades naturais ( c = G = 1 ), é dada como

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1- {r_ {s} \ over r} \ right) dt ^ {2} - {dr ^ {2} \ over 1- {r_ {s} \ over r }} - r ^ {2} \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2} \ right) \ ;,}$

Onde

${\ displaystyle ds ^ {2}}$ é o intervalo invariável ;

${\ displaystyle r_ {s} = 2M}$ é o raio de Schwarzschild;

${\ displaystyle M}$ é a massa do corpo central;

${\ displaystyle t, r, \ theta, \ phi}$ são as coordenadas de Schwarzschild (que se transformam assintoticamente nas coordenadas esféricas planas );

${\ displaystyle c}$ é a velocidade da luz ;

e é a constante gravitacional . ${\ displaystyle G}$

Esta métrica tem uma singularidade coordenada no raio de Schwarzschild . ${\ displaystyle r = r_ {s}}$

Georges Lemaître foi o primeiro a mostrar que esta não é uma singularidade física real, mas simplesmente uma manifestação do fato de que as coordenadas Schwarzschild estáticas não podem ser realizadas com corpos materiais dentro do raio de Schwarzschild. Na verdade, dentro do raio de Schwarzschild tudo cai em direção ao centro e é impossível para um corpo físico manter um raio constante.

Uma transformação do sistema de coordenadas Schwarzschild de para as novas coordenadas ${\ displaystyle \ {t, r \}}$${\ displaystyle \ {\ tau, \ rho \},}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} d \ tau = dt + {\ sqrt {\ frac {r_ {s}} {r}}} \, \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r} } \ right) ^ {- 1} dr ~ \\ d \ rho = dt + {\ sqrt {\ frac {r} {r_ {s}}}} \, \ left (1 - {\ frac {r_ {s} } {r}} \ right) ^ {- 1} dr ~ \ end {alinhado}}}$

(o numerador e o denominador são trocados dentro das raízes quadradas), leva à expressão da coordenada de Lemaître da métrica,

${\ displaystyle ds ^ {2} = d \ tau ^ {2} - {\ frac {r_ {s}} {r}} d \ rho ^ {2} -r ^ {2} (d \ theta ^ {2 } + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2})}$

Onde

${\ displaystyle r = \ left [{\ frac {3} {2}} (\ rho - \ tau) \ right] ^ {2/3} r_ {s} ^ {1/3} \ ;.}$

As trajetórias com ρ constante são geodésicas temporais com τ o tempo adequado ao longo dessas geodésicas. Eles representam o movimento de partículas em queda livre que começam com velocidade zero no infinito. Em qualquer ponto, sua velocidade é igual à velocidade de escape daquele ponto.

Nas coordenadas de Lemaître não há singularidade no raio de Schwarzschild, que em vez disso corresponde ao ponto . No entanto, permanece uma genuína singularidade gravitacional no centro, onde , que não pode ser removida por uma mudança de coordenadas. ${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} (\ rho - \ tau) = r_ {s}}$${\ displaystyle \ rho - \ tau = 0}$

O sistema de coordenadas de Lemaître é síncrono , ou seja, a coordenada de tempo global da métrica define o tempo adequado dos observadores em movimento. Os corpos caindo radialmente alcançam o raio de Schwarzschild e o centro dentro de um tempo próprio finito.

Ao longo da trajetória de um raio de luz radial,

${\ displaystyle dr = \ left (\ pm 1 - {\ sqrt {r_ {s} \ over r}} \ right) d \ tau,}$

portanto, nenhum sinal pode escapar de dentro do raio de Schwarzschild, onde sempre e os raios de luz emitidos radialmente para dentro e para fora terminam na origem. ${\ displaystyle dr <0}$

Veja também

• Coordenadas de Kruskal-Szekeres
• Coordenadas de Eddington-Finkelstein
• Lemaître-Tolman métrica
• Introdução à matemática da relatividade geral
• Tensor de tensão-energia
• Tensor métrico (relatividade geral)
• Momento angular relativístico

Referências