Quadro síncrono - Synchronous frame

Um quadro síncrono é um quadro de referência no qual a coordenada de tempo define o tempo adequado para todos os observadores em movimento. Ele é construído escolhendo alguma hipersuperfície de tempo constante como origem, de modo que tenha em cada ponto uma normal ao longo da linha do tempo e um cone de luz com um vértice nesse ponto possa ser construído; todos os elementos de intervalo nesta hipersuperfície são semelhantes ao espaço . Uma família de geodésicas normais a esta hipersuperfície é desenhada e definida como as coordenadas de tempo com um início na hipersuperfície.

Tal construção e, portanto, a escolha do quadro síncrono, é sempre possível, embora não seja único. Permite qualquer transformação de coordenadas espaciais que independe do tempo e, adicionalmente, uma transformação ocasionada pela escolha arbitrária da hipersuperfície utilizada para esta construção geométrica.

Sincronização sobre um espaço curvo

A sincronização de relógios localizados em pontos diferentes do espaço significa que eventos que acontecem em locais diferentes podem ser medidos como simultâneos se esses relógios mostrarem os mesmos horários. Na relatividade especial , o elemento de distância espacial dl é definido como os intervalos entre dois eventos muito próximos que ocorrem no mesmo momento do tempo. Na relatividade geral isso não pode ser feito, ou seja, não se pode definir dl apenas substituindo dt ≡ dx ⁰ = 0 na métrica . A razão para isso é a dependência diferente entre o tempo adequado e a coordenada de tempo x ⁰ ≡ t em diferentes pontos do espaço.

Figura 1. Sincronização de relógios em espaço curvo por meio de sinais de luz.

Para encontrar dl , neste caso, o tempo pode ser sincronizado ao longo de algum intervalo de espaço da seguinte maneira (Fig. 1): Bob envia um sinal de luz de algum ponto do espaço B com coordenadas para Alice, que está em um ponto muito próximo A com as coordenadas x ^α e então Alice refletem imediatamente ( para o fóton) o sinal de volta para Bob. O tempo necessário para esta operação (medido por Bob), multiplicado por c é, obviamente, a distância dobrada entre Alice e Bob. ${\ displaystyle x ^ {\ alpha} + dx ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle ds_ {A} ^ {2} = 0}$

O elemento de linha , com coordenadas de espaço e tempo separadas, é:

${\ displaystyle ds ^ {2} = g _ {\ alpha \ beta} \, dx ^ {\ alpha} \, dx ^ {\ beta} + 2g_ {0 \ alpha} \, dx ^ {0} \, dx ^ {\ alpha} + g_ {00} \ left (dx ^ {0} \ right) ^ {2},}$

( eq. 1 )

onde um índice grego repetido dentro de um termo significa soma pelos valores 1, 2, 3. O intervalo entre os eventos de chegada do sinal e sua reflexão imediata de volta no ponto A é zero (dois eventos, chegada e reflexão estão acontecendo no mesmo ponto em espaço e tempo). A equação resolvida para dx ⁰ dá duas raízes: ${\ displaystyle ds_ {A} ^ {2} = 0}$

${\ displaystyle dx ^ {0 (1)} = {\ frac {1} {g_ {00}}} \ left (-g_ {0 \ alpha} \, dx ^ {\ alpha} - {\ sqrt {\ left (g_ {0 \ alpha} g_ {0 \ beta} -g _ {\ alpha \ beta} g_ {00} \ right) \, dx ^ {\ alpha} \, dx ^ {\ beta}}} \ right), }$

${\ displaystyle dx ^ {0 (2)} = {\ frac {1} {g_ {00}}} \ left (-g_ {0 \ alpha} \, dx ^ {\ alpha} + {\ sqrt {\ left (g_ {0 \ alpha} g_ {0 \ beta} -g _ {\ alpha \ beta} g_ {00} \ right) \, dx ^ {\ alpha} \, dx ^ {\ beta}}} \ right), }$

( eq. 2 )

que correspondem à propagação do sinal em ambas as direções entre Alice e Bob. Se x ⁰ é o momento de chegada / reflexão do sinal de / para Alice no relógio de Bob, então, os momentos de saída do sinal de Bob e sua chegada de volta a Bob correspondem, respectivamente, a x ⁰ + dx ^{0 (1)} e x ⁰ + dx ^{0 (2)} . As linhas grossas na Fig. 1 são as linhas de mundo de Alice e Bob com coordenadas x ^α e x ^α + dx ^α , respectivamente, enquanto as linhas vermelhas são as linhas de mundo dos sinais. A Fig. 1 supõe que dx ^{0 (2)} é positivo e dx ^{0 (1)} é negativo, o que, entretanto, não é necessariamente o caso: dx ^{0 (1)} e dx ^{0 (2)} podem ter o mesmo sinal. O fato de que, neste último caso, o valor x ⁰ (Alice) no momento da chegada do sinal à posição de Alice pode ser menor que o valor x ⁰ (Bob) no momento da saída do sinal de Bob não contém uma contradição porque os relógios em diferentes pontos do espaço não devem ser sincronizados. É claro que o intervalo de "tempo" completo entre a partida e a chegada do sinal no lugar de Bob é

${\ displaystyle dx ^ {0 (2)} - dx ^ {0 (1)} = {\ frac {2} {g_ {00}}} {\ sqrt {\ left (g_ {0 \ alpha} g_ {0 \ beta} -g _ {\ alpha \ beta} g_ {00} \ right) \, dx ^ {\ alpha} \, dx ^ {\ beta}}}.}$

O respectivo intervalo de tempo adequado é obtido da relação acima por multiplicação por e a distância dl entre os dois pontos - por multiplicação adicional por c / 2. Como resultado: ${\ displaystyle {\ sqrt {g_ {00}}} / c}$

${\ displaystyle dl ^ {2} = \ left (-g _ {\ alpha \ beta} + {\ frac {g_ {0 \ alpha} g_ {0 \ beta}} {g_ {00}}} \ right) \, dx ^ {\ alpha} \, dx ^ {\ beta}.}$

( eq. 3 )

Este é o relacionamento necessário que define a distância por meio dos elementos de coordenadas do espaço.

É óbvio que tal sincronização deve ser feita por troca de sinais de luz entre os pontos. Considere novamente a propagação de sinais entre os pontos infinitesimalmente próximos A e B na Fig. 1. A leitura do relógio em B, que é simultânea com o momento de reflexão em A, está no meio entre os momentos de envio e recebimento do sinal em B ; neste momento, se o relógio de Alice lê y ⁰ e o relógio de Bob lê x ^0, então, por meio da condição de sincronização de Einstein ,

${\ displaystyle y ^ {0} = {\ frac {(x ^ {0} + dx ^ {0 (1)}) + (x ^ {0} + dx ^ {0 (2)})} {2} } = x ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} \ left (dx ^ {0 (2)} + dx ^ {0 (1)} \ right) = x ^ {0} + \ Delta x ^ {0}.}$

Substitua aqui eq. 2 para encontrar a diferença no "tempo" x ⁰ entre dois eventos simultâneos ocorrendo em pontos infinitesimalmente próximos como

${\ displaystyle \ Delta x ^ {0} = - {\ frac {g_ {0 \ alpha} \, dx ^ {\ alpha}} {g_ {00}}} \ equiv g _ {\ alpha} \, dx ^ { \ alpha}.}$

( eq. 4 )

Essa relação permite a sincronização do relógio em qualquer volume de espaço infinitesimalmente pequeno. Continuando tal sincronização mais além do ponto A , pode-se sincronizar relógios, ou seja, determinar a simultaneidade de eventos ao longo de qualquer linha aberta. A condição de sincronização pode ser escrita em outra forma multiplicando a eq. 4 por g ₀₀ e trazendo os termos para o lado esquerdo

${\ displaystyle \ Delta x_ {0} = g_ {0i} dx ^ {i} = 0}$

( eq. 5 )

ou, o "diferencial covariante" dx ₀ entre dois pontos infinitesimalmente próximos deve ser zero.

Porém, é impossível, em geral, sincronizar relógios ao longo de um contorno fechado: partindo ao longo do contorno e retornando ao ponto inicial obteríamos um valor Δ x ⁰ diferente de zero. Assim, a sincronização inequívoca dos relógios em todo o espaço é impossível. Uma exceção são os referenciais nos quais todos os componentes g _0α são zeros.

A incapacidade de sincronizar todos os relógios é uma propriedade do referencial e não do próprio espaço-tempo. É sempre possível, de infinitas maneiras, em qualquer campo gravitacional, escolher o referencial de modo que os três g _0α se tornem zeros e assim possibilitem uma sincronização completa dos relógios. A esta classe são atribuídos casos em que g _0α pode ser transformado em zeros por uma simples mudança na coordenada de tempo que não envolve a escolha de um sistema de objetos que definem as coordenadas espaciais.

Na teoria da relatividade especial, também, o tempo adequado decorre de maneira diferente para relógios que se movem em relação uns aos outros. Na relatividade geral, o tempo adequado é diferente, mesmo no mesmo referencial em diferentes pontos do espaço. Isso significa que o intervalo de tempo adequado entre dois eventos que ocorrem em algum ponto do espaço e o intervalo de tempo entre os eventos simultâneos com aqueles em outro ponto do espaço são, em geral, diferentes.

Tensor métrico espacial

Eq. 3 pode ser reescrito na forma

${\ displaystyle dl ^ {2} = \ gamma _ {\ alpha \ beta} \, dx ^ {\ alpha} \, dx ^ {\ beta},}$

( eq. 6 )

Onde

${\ displaystyle \ gamma _ {\ alpha \ beta} = - g _ {\ alpha \ beta} + {\ frac {g_ {0 \ alpha} g_ {0 \ beta}} {g_ {00}}}}$

( eq. 7 )

é o tensor métrico tridimensional que determina a métrica, ou seja, as propriedades geométricas do espaço. Equações eq. 7 fornecem as relações entre a métrica do espaço tridimensional e a métrica do espaço-tempo quadridimensional . ${\ displaystyle \ gamma _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle g_ {ik}}$

Em geral, entretanto, depende de x ^{0, de} modo que muda com o tempo. Portanto, não faz sentido integrar dl : essa integral depende da escolha da linha de mundo entre os dois pontos em que é tomada. Segue-se que, na relatividade geral, a distância entre dois corpos não pode ser determinada em geral; esta distância é determinada apenas para pontos infinitesimalmente próximos. A distância pode ser determinada para regiões do espaço finito apenas em referenciais nos quais g _ik não depende do tempo e, portanto, a integral ao longo da curva do espaço adquire algum sentido definido. ${\ displaystyle g_ {ik}}$${\ displaystyle \ gamma _ {\ alpha \ beta}}$${\ textstyle \ int dl}$

O tensor é inverso ao tensor tridimensional contravariante . Na verdade, escrevendo a equação em componentes, tem-se: ${\ displaystyle - \ gamma _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle g ^ {ik} g_ {kl} = \ delta _ {l} ^ {i}}$

${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta} g _ {\ beta \ gamma} + g ^ {\ alpha 0} g_ {0 \ gamma} = \ delta _ {\ gamma} ^ {\ alpha},}$

${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta} g _ {\ beta 0} + g ^ {\ alpha 0} g_ {00} = 0,}$

( eqs. 8 )

${\ displaystyle g ^ {0 \ beta} g _ {\ beta 0} + g ^ {00} g_ {00} = 1.}$

Determinar a partir da segunda equação e substituí-la na primeira prova que ${\ displaystyle g ^ {\ alpha 0}}$

${\ displaystyle -g ^ {\ alpha \ beta} \ gamma _ {\ beta \ gamma} = \ delta _ {\ gamma} ^ {\ alpha},}$

( eq. 9 )

Este resultado pode ser apresentado de outra forma, dizendo que são componentes de um tensor tridimensional contravariante correspondente à métrica : ${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {\ alpha \ beta}}$

${\ displaystyle \ gamma ^ {\ alpha \ beta} = - g ^ {\ alpha \ beta}.}$

( eq. 10 )

Os determinantes g e compostos de elementos e , respectivamente, estão relacionados entre si pela relação simples: ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle g_ {ik}}$${\ displaystyle \ gamma _ {\ alpha \ beta}}$

${\ displaystyle -g = g_ {00} \ gamma.}$

( eq. 11 )

Em muitas aplicações, é conveniente definir um vetor tridimensional g com componentes covariantes

${\ displaystyle g _ {\ alpha} = - {\ frac {g_ {0 \ alpha}} {g_ {00}}}.}$

( eq. 12 )

Considerando g como um vetor no espaço com métrica , seus componentes contravariantes podem ser escritos como . Usando a eq. 11 e a segunda das eqs. 8 , é fácil ver que ${\ displaystyle \ gamma _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle g ^ {\ alpha} = \ gamma ^ {\ alpha \ beta} g _ {\ beta}}$

${\ displaystyle g ^ {\ alpha} = \ gamma ^ {\ alpha \ beta} g _ {\ beta} = - g ^ {0 \ alpha}.}$

( eq. 13 )

A partir do terceiro das eqs. 8 , segue-se

${\ displaystyle g ^ {00} = {\ frac {1} {g_ {00}}} - g _ {\ alpha} g ^ {\ alpha}.}$

( eq. 14 )

Coordenadas síncronas

Conforme concluído da eq. 5 , a condição que permite a sincronização do relógio em diferentes pontos do espaço é que os componentes do tensor métrico g _0α sejam zeros. Se, além disso, g ₀₀ = 1, então a coordenada de tempo x ⁰ = t é o tempo adequado em cada ponto do espaço (com c = 1). Um quadro de referência que satisfaça as condições

${\ displaystyle g_ {00} = 1, \ quad g_ {0 \ alpha} = 0,}$

( eq. 15 )

é chamado de quadro síncrono . O elemento de intervalo neste sistema é dado pela expressão

${\ displaystyle ds ^ {2} = dt ^ {2} -g _ {\ alpha \ beta} \, dx ^ {\ alpha} \, dx ^ {\ beta},}$

( eq. 16 )

com os componentes do tensor métrico espacial idênticos (com sinal oposto) aos componentes g _αβ :

${\ displaystyle \ gamma _ {\ alpha \ beta} = - g _ {\ alpha \ beta}.}$

( eq. 17 )

Figura 2. Um quadro síncrono construído com a escolha da hipersuperfície semelhante ao tempo t = const (cor azul-petróleo). Apenas uma coordenada espacial x ¹ = x é mostrada. Os quatro observadores têm os mesmos tempos próprios x ⁰ = t que são normais à hipersuperfície em seus espaços-tempos localmente planos (mostrados pelos cones de luz ). O vetor unitário n ⁰ = u ⁰ = 1 é mostrado em amarelo. Não há componentes de velocidade espacial ( u ^α = 0), então o tempo adequado comum é uma linha geodésica com um início na hipersuperfície e uma direção positiva (setas vermelhas).

No tempo de quadro síncrono, as linhas do tempo são normais às hipersuperfícies t = const. De fato, a unidade de quatro vetores normal para tal hipersuperfície n _i = ∂ t / ∂ x ⁱ tem componentes covariantes n _α = 0, n ₀ = 1. Os respectivos componentes contravariantes com as condições eq. 15 são novamente n ^α = 0, n ⁰ = 1.

Os componentes da normal unitária coincidem com os do quatro vetores u ⁱ = dx ⁱ / ds que é tangente à reta mundial x ¹ , x ² , x ³ = const. O u ⁱ com os componentes u ^α = 0, u ⁰ = 1 satisfaz automaticamente as equações geodésicas :

${\ displaystyle {\ frac {du ^ {i}} {ds}} + \ Gamma _ {kl} ^ {i} u ^ {k} u ^ {l} = \ Gamma _ {00} ^ {i} = 0,}$

uma vez que, a partir das condições eq. 15 , os símbolos de Christoffel e desaparecem de forma idêntica. Portanto, no quadro síncrono, as linhas do tempo são geodésicas no espaço-tempo. ${\ displaystyle \ Gamma _ {00} ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {00} ^ {0}}$

Essas propriedades podem ser usadas para construir um quadro síncrono em qualquer espaço-tempo (Fig. 2). Para tanto, escolha alguma hipersuperfície semelhante a um espaço como origem, de modo que tenha em cada ponto uma normal ao longo da linha do tempo (fica dentro do cone de luz com um vértice naquele ponto); todos os elementos de intervalo nesta hipersuperfície são semelhantes ao espaço. Em seguida, desenhe uma família de geodésicas normais a esta hipersuperfície. Escolha essas linhas como linhas de coordenadas de tempo e defina a coordenada de tempo t como o comprimento s da geodésica medido com um início na hipersuperfície; o resultado é um quadro síncrono.

Uma transformação analítica para quadro síncrono pode ser feita com o uso da equação de Hamilton-Jacobi . O princípio deste método é baseado no fato de que as trajetórias das partículas em campos gravitacionais são geodésicas. A equação de Hamilton-Jacobi para uma partícula (cuja massa é igual à unidade) em um campo gravitacional é

${\ displaystyle g ^ {ik} {\ frac {\ parcial S} {\ parcial x ^ {i}}} {\ frac {\ parcial S} {\ parcial x ^ {k}}} = 1,}$

( eq. 18a )

onde S é a ação. Sua integral completa tem a forma:

${\ displaystyle S = f \ left (\ xi ^ {\ alpha}, x ^ {i} \ right) + A \ left (\ xi ^ {\ alpha} \ right),}$

( eq. 18b )

onde f é uma função das quatro coordenadas x ⁱ e dos três parâmetros ξ ^α ; a constante A é tratada como uma função arbitrária dos três ξ ^α . Com tal representação para S, as equações para a trajetória da partícula podem ser obtidas igualando as derivadas ∂S / ∂ξ ^α a zero, ou seja,

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial \ xi ^ {\ alpha}}} = - {\ frac {\ partial A} {\ partial \ xi ^ {\ alpha}}}.}$

( eq. 18c )

Para cada conjunto de valores atribuídos aos parâmetros ξ ^α , os lados direitos das equações 18a-18c têm valores constantes definidos, e a linha de mundo determinada por essas equações é uma das trajetórias possíveis da partícula. Escolhendo as quantidades ξ ^α , que são constantes ao longo da trajetória, como novas coordenadas espaciais, e a quantidade S como a nova coordenada temporal, obtém-se um quadro síncrono; a transformação das coordenadas antigas para as novas é dada pelas equações 18b-18c . Na verdade, é garantido que para tal transformação as linhas do tempo serão geodésicas e normais às hipersuperfícies S = const. O último ponto é óbvio a partir da analogia mecânica: o quatro vetores ∂S / ∂x ⁱ que é normal à hipersuperfície coincide em mecânica com o quatro momentos da partícula e, portanto, coincide na direção com suas quatro velocidades u ⁱ ou seja, com a tangente de quatro vetores à trajetória. Finalmente a condição g ₀₀ = 1 é obviamente satisfeita, uma vez que a derivada - dS / ds da ação ao longo da trajetória é a massa da partícula, que foi definida igual a 1; portanto | dS / ds | = 1.

As condições do medidor eq. 15 não fixam o sistema de coordenadas completamente e, portanto, não são um medidor fixo , pois a hipersuperfície semelhante a um espaço em pode ser escolhida arbitrariamente. Ainda temos a liberdade de realizar algumas transformações de coordenadas contendo quatro funções arbitrárias dependendo das três variáveis ​​espaciais x ^α , que são facilmente calculadas de forma infinitesimal: ${\ displaystyle t = 0}$

${\ displaystyle x ^ {i} = {\ tilde {x}} ^ {i} + \ xi ^ {i} ({\ tilde {x}}).}$

( eq. 18 )

Aqui, as coleções das quatro coordenadas antigas ( t , x ^α ) e quatro novas coordenadas são denotadas pelos símbolos x e , respectivamente. As funções junto com suas primeiras derivadas são quantidades infinitesimalmente pequenas. Após essa transformação, o intervalo quadridimensional assume a forma: ${\ displaystyle ({\ tilde {t}}, {\ tilde {x}} ^ {\ alpha})}$${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$${\ displaystyle \ xi ^ {i} ({\ tilde {x}})}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = g_ {ik} (x) dx ^ {i} dx ^ {k} = g_ {ik} ^ {\ text {(novo)}} ({\ tilde {x}}) d {\ til {x}} ^ {i} d {\ til {x}} ^ {k},}$

( eq. 19 )

Onde

${\ displaystyle g_ {ik} ^ {\ text {(novo)}} ({\ tilde {x}}) = g_ {ik} ({\ tilde {x}}) + g_ {il} ({\ til { x}}) {\ frac {\ partial \ xi ^ {l} ({\ tilde {x}})} {\ partial {\ tilde {x}} ^ {k}}} + g_ {kl} ({\ til {x}}) {\ frac {\ partial \ xi ^ {l} ({\ tilde {x}})} {\ partial {\ tilde {x}} ^ {i}}} + {\ frac {\ parcial g_ {ik} ({\ tilde {x}})} {\ parcial {\ til {x}} ^ {l}}} \ xi ^ {l} ({\ til {x}}).}$

( eq. 20 )

Na última fórmula, são as mesmas funções g _ik ( x ) nas quais x deve ser simplesmente substituído por . Se alguém deseja preservar o medidor eq. 15 também para o novo tensor métrico nas novas coordenadas , é necessário impor as seguintes restrições às funções : ${\ displaystyle g_ {ik} ({\ tilde {x}})}$${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$${\ displaystyle g_ {ik} ^ {\ text {(novo)}} ({\ tilde {x}})}$${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$${\ displaystyle \ xi ^ {i} ({\ agudo {x}})}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ xi ^ {0} ({\ tilde {x}})} {\ partial {\ tilde {x}}}} = 0, \ quad g _ {\ alpha \ beta} ( {\ tilde {x}}) {\ frac {\ parcial \ xi ^ {\ beta} ({\ tilde {x}})} {\ parcial {\ tilde {t}}}} - {\ frac {\ parcial \ xi ^ {0} ({\ tilde {x}})} {\ parcial {\ til {x}} ^ {\ alpha}}} = 0.}$

( eq. 21 )

As soluções dessas equações são:

${\ displaystyle \ xi ^ {0} = f ^ {0} \ left ({\ tilde {x}} ^ {1}, {\ tilde {x}} ^ {2}, {\ tilde {x}} ^ {3} \ right), \ quad \ xi ^ {\ alpha} = \ int {g ^ {\ alpha \ beta} ({\ tilde {x}}) {\ frac {\ partial f ^ {0} \ left ({\ tilde {x}} ^ {1}, {\ til {x}} ^ {2}, {\ til {x}} ^ {3} \ right)} {\ partial {\ tilde {x}} ^ {\ beta}}} d {\ tilde {x}} ^ {0}} + f ^ {\ alpha} \ left ({\ tilde {x}} ^ {1}, {\ tilde {x}} ^ {2}, {\ tilde {x}} ^ {3} \ right),}$

( eq. 22 )

onde f ⁰ e f ^α são quatro funções arbitrárias dependendo apenas as coordenadas espaciais . ${\ displaystyle {\ tilde {x}} ^ {\ alpha}}$

Para uma explicação geométrica mais elementar, considere a Fig. 2. Primeiro, a linha de tempo síncrona ξ ⁰ = t pode ser escolhida arbitrariamente (Bob's, Carol's, Dana's ou qualquer um de infinitos observadores). Isso faz com que uma função arbitrariamente escolhido: . Em segundo lugar, a hipersuperfície inicial pode ser escolhida de inúmeras maneiras. Cada uma dessas opções altera três funções: uma função para cada uma das três coordenadas espaciais . Ao todo, quatro (= 1 + 3) funções são arbitrárias. ${\ displaystyle \ xi ^ {0} = f ^ {0} \ left ({\ tilde {x}} ^ {1}, {\ tilde {x}} ^ {2}, {\ tilde {x}} ^ {3} \ direita)}$${\ displaystyle \ xi ^ {\ alpha} = f ^ {\ alpha} \ left ({\ tilde {x}} ^ {1}, {\ tilde {x}} ^ {2}, {\ tilde {x} } ^ {3} \ right)}$

Ao discutir soluções gerais g _αβ das equações de campo em medidores síncronos, é necessário ter em mente que os potenciais gravitacionais g _αβ contêm, entre todos os parâmetros funcionais arbitrários possíveis presentes neles, quatro funções arbitrárias de espaço 3 apenas representando o medidor liberdade e, portanto, sem significado físico direto.

Outro problema com o quadro síncrono é que podem ocorrer cáusticos que fazem com que a escolha do medidor seja interrompida. Esses problemas causaram algumas dificuldades em fazer a teoria da perturbação cosmológica em quadro síncrono, mas os problemas agora são bem compreendidos. Coordenadas síncronas são geralmente consideradas o sistema de referência mais eficiente para fazer cálculos e são usadas em muitos códigos de cosmologia modernos, como CMBFAST . Eles também são úteis para resolver problemas teóricos nos quais uma hipersuperfície semelhante ao espaço precisa ser consertada, como ocorre com as singularidades semelhantes ao espaço .

Equações de Einstein em quadro síncrono

A introdução de um quadro síncrono permite separar as operações de diferenciação espacial e temporal nas equações de campo de Einstein . Para torná-los mais concisos, a notação

${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha \ beta} = {\ frac {\ partial \ gamma _ {\ alpha \ beta}} {\ partial t}}}$

( eq. 23 )

é apresentado para as derivadas de tempo do tensor métrico tridimensional; essas quantidades também formam um tensor tridimensional. No quadro síncrono é proporcional à segunda forma fundamental (tensor de forma). Todas as operações de deslocamento de índices e diferenciação covariante do tensor são feitas no espaço tridimensional com a métrica γ _αβ . Isso não se aplica a operações de deslocamento de índices nas componentes espaciais dos quatro tensores R _ik , T _ik . Assim, T _α ^β deve ser entendido como g ^βγ T _γα + g ^{β 0} T _{0 α} , que se reduz a g ^βγ T _γα e difere no sinal de γ ^βγ T _γα . A soma é a derivada logarítmica do determinante γ ≡ | γ _αβ | = - g : ${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha}}$

${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha} = \ gamma ^ {\ alpha \ beta} {\ frac {\ partial \ gamma _ {\ alpha \ beta}} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ ln {(\ gamma)}.}$

( eq. 24 )

Então, para o conjunto completo de símbolos de Christoffel, obtém-se: ${\ displaystyle \ Gamma _ {kl} ^ {i}}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {00} ^ {0} = \ Gamma _ {00} ^ {\ alpha} = \ Gamma _ {0 \ alpha} ^ {0} = 0, \ quad \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {0} = {\ frac {1} {2}} \ varkappa _ {\ alpha \ beta}, \ quad \ Gamma _ {0 \ beta} ^ {\ alpha} = {\ frac {1} { 2}} \ varkappa _ {\ beta} ^ {\ alpha}, \ quad \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma} = \ lambda _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma}}$

( eq. 25 )

onde estão os símbolos tridimensionais de Christoffel construídos a partir de γ _αβ : ${\ displaystyle \ lambda _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma} = {\ frac {1} {2}} \ gamma ^ {\ gamma \ mu} \ left (\ gamma _ {\ mu \ alpha, \ beta} + \ gamma _ {\ mu \ beta, \ beta} - \ gamma _ {\ alpha \ beta, \ mu} \ right),}$

( eq. 26 )

onde a vírgula denota derivada parcial pela respectiva coordenada.

Com os símbolos de Christoffel eq. 25 , os componentes R ⁱ _k = g ^il R _lk do tensor de Ricci podem ser escritos na forma:

${\ displaystyle R_ {0} ^ {0} = - {\ frac {1} {2}} {\ dot {\ varkappa}} - {\ frac {1} {4}} \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ varkappa _ {\ beta} ^ {\ alpha},}$

( eq. 27 )

${\ displaystyle R _ {\ alpha} ^ {0} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ varkappa _ {\ alpha; \ beta} ^ {\ beta} - \ varkappa _ {, \ alpha} \direito),}$

( eq. 28 )

${\ displaystyle R _ {\ alpha} ^ {\ beta} = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {\ gamma}}}} {\ dot {\ left ({\ sqrt {\ gamma}} \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ right)}} - P _ {\ alpha} ^ {\ beta}.}$

( eq. 29 )

Os pontos na diferenciação tempo superior designam, ponto e vírgula ( ";") designam covariante diferenciação que neste caso é realizada com respeito à métrica tridimensional y _αβ com símbolos tridimensionais Christoffel , e P _ct ^p é um tridimensional Ricci tensor construído a partir de : ${\ displaystyle \ lambda _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma}}$${\ displaystyle \ varkappa \ equiv \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ lambda _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma}}$

${\ displaystyle P _ {\ alpha} ^ {\ beta} = \ gamma ^ {\ beta \ gamma} P _ {\ gamma \ alpha}, \ quad P _ {\ alpha \ beta} = \ lambda _ {\ alpha \ beta, \ gamma} ^ {\ gamma} - \ lambda _ {\ gamma \ alpha, \ beta} ^ {\ gamma} + \ lambda _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma} \ lambda _ {\ gamma \ mu} ^ {\ mu} - \ lambda _ {\ alpha \ mu} ^ {\ gamma} \ lambda _ {\ beta \ gamma} ^ {\ mu}.}$

( eq. 30 )

Decorre da eq. 27-29 que as equações de Einstein (com os componentes do tensor de energia-momento T ₀ ⁰ = - T ₀₀ , T _α ⁰ = - T _0α , T _α ^β = γ ^βγ T _γα ) tornam-se em um referencial síncrono: ${\ displaystyle R_ {i} ^ {k} = 8 \ pi k \ left (T_ {i} ^ {k} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {i} ^ {k} T \ direito)}$

${\ displaystyle R_ {0} ^ {0} = - {\ frac {1} {2}} {\ dot {\ varkappa}} - {\ frac {1} {4}} \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ varkappa _ {\ beta} ^ {\ alpha} = 8 \ pi k \ left (T_ {0} ^ {0} - {\ frac {1} {2}} T \ right),}$

( eq. 31 )

${\ displaystyle R _ {\ alpha} ^ {0} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ varkappa _ {\ alpha; \ beta} ^ {\ beta} - \ varkappa _ {, \ alpha} \ right) = 8 \ pi kT _ {\ alpha} ^ {0},}$

( eq. 32 )

${\ displaystyle R _ {\ alpha} ^ {\ beta} = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {\ gamma}}}} {\ dot {\ left ({\ sqrt {\ gamma}} \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ right)}} - P _ {\ alpha} ^ {\ beta} = 8 \ pi k \ left (T _ {\ alpha} ^ {\ beta} - {\ frac {1 } {2}} \ delta _ {\ alpha} ^ {\ beta} T \ right).}$

( eq. 33 )

Uma característica do referencial síncrono é que ele não é estacionário: o campo gravitacional não pode ser constante em tal referencial. Em um campo constante se tornaria zero. Mas, na presença da matéria, o desaparecimento de todos contradiria a eq. 31 (que tem um lado direito diferente de zero). No espaço vazio da eq. 33 segue que todos P _αβ , e com eles todos os componentes do tensor de curvatura tridimensional P _αβγδ ( tensor de Riemann ) desaparecem, ou seja, o campo desaparece inteiramente (em um quadro síncrono com uma métrica espacial Euclidiana o espaço-tempo é plano) . ${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha \ beta}}$

Ao mesmo tempo, a matéria que preenche o espaço não pode, em geral, estar em repouso em relação ao quadro síncrono. Isso é óbvio pelo fato de que as partículas de matéria dentro das quais há pressões geralmente se movem ao longo de linhas que não são geodésicas; a linha de mundo de uma partícula em repouso é uma linha de tempo e, portanto, é uma geodésica no referencial síncrono. Uma exceção é o caso da poeira ( p = 0). Aqui, as partículas interagindo umas com as outras se moverão ao longo de linhas geodésicas; conseqüentemente, neste caso, a condição para um quadro síncrono não contradiz a condição de que ele esteja se movendo com a matéria. Mesmo neste caso, para poder escolher uma moldura comovendo sincronicamente , ainda é necessário que a matéria se mova sem rotação. No referencial móvel, os componentes contravariantes da velocidade são u ⁰ = 1, u ^α = 0. Se o referencial também for síncrono, os componentes covariantes devem satisfazer u ₀ = 1, u _α = 0, de modo que sua curvatura quadridimensional deve desaparecer:

${\ displaystyle u_ {i; k} -u_ {k; i} \ equiv {\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial x ^ {k}}} - {\ frac {\ parcial u_ {k} } {\ parcial x ^ {i}}} = 0.}$

Mas essa equação tensorial também deve ser válida em qualquer outro referencial. Assim, em um quadro síncrono, mas não comovente, a condição curl v = 0 para a velocidade tridimensional v é adicionalmente necessária. Para outras equações de estado, uma situação semelhante pode ocorrer apenas em casos especiais, quando o gradiente de pressão desaparece em todas ou em certas direções.

Singularidade em quadro síncrono

O uso do referencial síncrono em problemas cosmológicos requer um exame completo de seu comportamento assintótico. Em particular, deve-se saber se o quadro síncrono pode ser estendido ao tempo infinito e ao espaço infinito, mantendo sempre a rotulação inequívoca de cada ponto em termos de coordenadas neste quadro.

Foi demonstrado que a sincronização inequívoca dos relógios em todo o espaço é impossível devido à impossibilidade de sincronizar os relógios ao longo de um contorno fechado. No que diz respeito à sincronização ao longo do tempo infinito, vamos primeiro lembrar que as linhas do tempo de todos os observadores são normais à hipersuperfície escolhida e, neste sentido, são "paralelas". Tradicionalmente, o conceito de paralelismo é definido na geometria euclidiana para significar linhas retas que estão em todos os lugares equidistantes umas das outras, mas em geometrias arbitrárias esse conceito pode ser estendido para significar linhas que são geodésicas . Foi mostrado que as linhas do tempo são geodésicas em quadro síncrono. Outra, mais conveniente para a presente definição de propósito de linhas paralelas, são aquelas que têm todos ou nenhum de seus pontos em comum. Excluindo o caso de todos os pontos em comum (obviamente, a mesma linha) chega-se à definição de paralelismo em que duas linhas do tempo não têm um ponto comum.

Como as linhas do tempo em um quadro síncrono são geodésicas, essas linhas são retas (o caminho da luz) para todos os observadores na hipersuperfície geradora. A métrica espacial é

${\ displaystyle dl ^ {2} = \ gamma _ {\ alpha \ beta} dx ^ {\ alpha} dx ^ {\ beta}}$.

O determinante do tensor métrica é o valor absoluto do produto triplo dos vectores de linha na matriz que é também o volume do paralelepípedo gerado pelos vectores , e (isto é, o paralelepípedo, cujos lados adjacentes são os vectores , e ) ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle {\ vec {\ gamma}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ vec {\ gamma}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ vec {\ gamma}} _ {3}}$${\ displaystyle {\ vec {\ gamma}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ vec {\ gamma}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ vec {\ gamma}} _ {3}}$

${\ displaystyle \ gamma = | {\ vec {\ gamma}} _ {1} \ cdot ({\ vec {\ gamma}} _ {2} \ times {\ vec {\ gamma}} _ {3}) | = {\ begin {vmatrix} \ gamma _ {11} & \ gamma _ {12} & \ gamma _ {13} \\\ gamma _ {21} & \ gamma _ {22} & \ gamma _ {23} \ \\ gamma _ {31} & \ gamma _ {32} & \ gamma _ {33} \ end {vmatrix}} = V _ {\ text {paralelepípedo}}}$

Se virar zero, o volume deste paralelepípedo é zero. Isso pode acontecer quando um dos vetores fica no plano dos outros dois vetores de forma que o volume paralelepípedo se transforme na área da base (a altura passa a ser zero), ou mais formalmente, quando dois dos vetores são linearmente dependentes. Mas então vários pontos (os pontos de interseção) podem ser rotulados da mesma maneira, ou seja, a métrica tem uma singularidade. ${\ displaystyle \ gamma}$

O grupo de Landau descobriu que o referencial síncrono necessariamente forma uma singularidade de tempo, ou seja, as linhas de tempo se cruzam (e, respectivamente, o determinante do tensor métrico passa a zero) em um tempo finito.

Isso é comprovado da seguinte maneira. A mão direita da eq. 31 , contendo os tensores de tensão-energia da matéria e do campo eletromagnético,

${\ displaystyle T_ {i} ^ {k} = \ left (p + \ varepsilon \ right) \ vezes u_ {i} u ^ {k} + p \ delta _ {i} ^ {k}}$

é um número positivo devido à forte condição de energia . Isso pode ser facilmente visto quando escrito em componentes.

para o assunto

${\ displaystyle T_ {0} ^ {0} - {\ frac {1} {2}} T = {\ frac {1} {2}} \ left (\ varepsilon + 3p \ right) + {\ frac {\ esquerda (p + \ varejpsilon \ direita) v ^ {2}} {1-v ^ {2}}}> 0}$

para campo eletromagnético

${\ displaystyle T = 0, \ quad T_ {0} ^ {0} = {1 \ over 2} \ left (\ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {\ mu _ { 0}}} B ^ {2} \ right)> 0}$

Com o exposto em mente, a eq. 31 é então reescrito como uma desigualdade

${\ displaystyle -R_ {0} ^ {0} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha} + { \ frac {1} {4}} \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ varkappa _ {\ beta} ^ {\ alpha} \ leq 0}$

( eq. 34 )

com a igualdade relativa ao espaço vazio.

Usando a desigualdade algébrica

${\ displaystyle \ varkappa _ {\ beta} ^ {\ alpha} \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ geq {\ frac {1} {3}} \ left (\ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha} \ right) ^ {2}}$

eq. 34 torna-se

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha} + {\ frac {1} {6}} \ left (\ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha} \ right) ^ {2} \ leq 0}$.

Dividindo os dois lados e usando a igualdade ${\ displaystyle \ left (\ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha} \ right) ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ left (\ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha} \ right) ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha} = - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ frac {1} {\ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha}}}}$

chega-se à desigualdade

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ frac {1} {\ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha}}} \ geq {1 \ over 6}}$.

( eq. 35 )

Deixe, por exemplo, em algum momento. Como a derivada é positiva, então a razão diminui com o tempo decrescente, sempre tendo uma derivada finita diferente de zero e, portanto, deve se tornar zero, vindo do lado positivo, durante um tempo finito. Em outras palavras, torna-se , e porque , isso significa que o determinante torna-se zero (de acordo com a eq. 35, não mais rápido que ). Se, por outro lado, inicialmente, o mesmo vale para o aumento do tempo. ${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha}> 0}$${\ textstyle {\ frac {1} {\ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha}}}}$${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle + \ infty}$${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha} = \ partial \ ln \ gamma / \ partial t}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle t ^ {6}}$${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha} <0}$

Uma ideia sobre o espaço na singularidade pode ser obtida considerando o tensor métrico diagonalizado . A diagonalização torna os elementos da matriz em todos os lugares zero, exceto a diagonal principal cujos elementos são os três valores próprios e ; estes são três valores reais quando o discriminante do polinômio característico é maior ou igual a zero ou um real e dois valores conjugados complexos quando o discriminante é menor que zero. Então, o determinante é apenas o produto dos três valores próprios. Se apenas um desses autovalores se tornar zero, todo o determinante será zero. Deixe, por exemplo, o autovalor real se tornar zero ( ). Então, a matriz diagonalizada se torna uma matriz 2 × 2 com os autovalores (geralmente conjugados complexos) na diagonal principal. Mas esta matriz é o tensor métrico diagonalizado do espaço onde ; portanto, o que foi dito acima sugere que na singularidade ( ) o espaço é bidimensional quando apenas um autovalor muda para zero. ${\ displaystyle \ gamma _ {\ alpha \ beta}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}}$${\ displaystyle \ lambda _ {3}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ lambda _ {1} = 0}$${\ displaystyle \ gamma _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ lambda _ {2}, \ lambda _ {3}}$${\ displaystyle \ gamma = 0}$${\ displaystyle \ gamma = 0}$

Geometricamente, a diagonalização é uma rotação da base para os vetores que compõem a matriz de tal forma que a direção dos vetores da base coincide com a direção dos vetores próprios . Se for uma matriz simétrica real , os autovetores formam uma base ortonormal definindo um paralelepípedo retangular cujo comprimento, largura e altura são as magnitudes dos três autovalores. Este exemplo é especialmente demonstrativo porque o determinante que também é o volume do paralelepípedo é igual a comprimento x largura x altura, ou seja, o produto dos autovalores. Tornar o volume do paralelepípedo igual a zero, por exemplo, igualando a altura a zero, deixa apenas uma face do paralelepípedo, um espaço bidimensional, cuja área é comprimento × largura. Continuando com a obliteração e igualando a largura a zero, fica-se com uma linha de comprimento de tamanho, um espaço unidimensional. Equacionar ainda mais o comprimento com zero deixa apenas um ponto, um espaço 0-dimensional, que marca o lugar onde o paralelepípedo esteve. ${\ displaystyle \ gamma _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ gamma}$

Figura 3.

Uma analogia da ótica geométrica é a comparação da singularidade com as cáusticas, como o padrão brilhante na Fig. 3, que mostra cáusticas formadas por um copo d'água iluminado pelo lado direito. Os raios de luz são análogos às linhas do tempo dos observadores em queda livre localizados na hipersuperfície sincronizada. A julgar pelos lados aproximadamente paralelos do contorno da sombra projetada pelo vidro, pode-se supor que a fonte de luz está a uma distância praticamente infinita do vidro (como o sol), mas isso não é certo, pois a fonte de luz não é mostrada no a foto. Portanto, pode-se supor que os raios de luz (linhas do tempo) sejam paralelos sem que isso seja provado com certeza. O copo d'água é um análogo das equações de Einstein ou do (s) agente (s) por trás delas que dobram as linhas do tempo para formar o padrão cáustico (a singularidade). Este último não é tão simples quanto a face de um paralelepípedo, mas é uma mistura complicada de vários tipos de interseções. Pode-se distinguir uma sobreposição de espaços bidimensionais, unidimensionais ou zero, ou seja, mistura de superfícies e linhas, algumas convergindo para um ponto ( cúspide ), como a formação da ponta de seta no centro do padrão cáustico.

A conclusão de que campos vetoriais geodésicos semelhantes ao tempo devem inevitavelmente atingir uma singularidade após um tempo finito foi alcançada independentemente por Raychaudhuri por outro método que levou à equação de Raychaudhuri , também chamada de equação de Landau-Raychaudhuri para homenagear os dois pesquisadores.

Veja também

• Coordenadas normais
• Congruência (relatividade geral) , para uma derivação da decomposição cinemática e da equação de Raychaudhuri.

Referências

Bibliografia

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