Coordenadas de Schwarzschild - Schwarzschild coordinates

Na teoria das variedades Lorentzianas , os espaços-tempos esfericamente simétricos admitem uma família de esferas redondas aninhadas . Em tal espaço-tempo, um tipo particularmente importante de gráfico de coordenadas é o gráfico de Schwarzschild , um tipo de gráfico de coordenadas esféricas polares em um espaço-tempo estático e esférico simétrico , que é adaptado a essas esferas redondas aninhadas. A característica definidora do gráfico de Schwarzschild é que a coordenada radial possui uma interpretação geométrica natural em termos da área da superfície e da curvatura gaussiana de cada esfera. No entanto, distâncias radiais e ângulos não são representados com precisão.

Esses gráficos têm muitas aplicações em teorias métricas da gravitação , como a relatividade geral . Eles são mais frequentemente usados ​​em espaços-tempos esfericamente simétricos estáticos . No caso da relatividade geral , o teorema de Birkhoff afirma que todo vácuo esfericamente simétrico isolado ou solução de eletrovácuo da equação de campo de Einstein é estático, mas isso certamente não é verdade para fluidos perfeitos . A extensão da região externa da solução de vácuo de Schwarzschild dentro do horizonte de eventos de um buraco negro esfericamente simétrico não é estática dentro do horizonte, e a família de esferas aninhadas (semelhantes ao espaço) não pode ser estendida dentro do horizonte, então o gráfico de Schwarzschild para isso solução necessariamente se desfaz no horizonte.

Definição

Especificar um tensor métrico faz parte da definição de qualquer variedade Lorentziana . A maneira mais simples de definir este tensor é defini-lo em gráficos de coordenadas locais compatíveis e verificar se o mesmo tensor está definido nas sobreposições dos domínios dos gráficos. Neste artigo, tentaremos apenas definir o tensor métrico no domínio de um único gráfico. ${\ displaystyle g}$

Em um gráfico de Schwarzschild (em um espaço-tempo esfericamente simétrico estático), o elemento de linha assume a forma

${\ displaystyle g = -a (r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (r) ^ {2} \, dr ^ {2} + r ^ {2} \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \ right) = - a (r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (r) ^ {2} \, dr ^ {2} + r ^ {2} g _ {\ Omega}}$

${\ displaystyle - \ infty <t <\ infty, \, r_ {0} <r <r_ {1}, \, 0 <\ theta <\ pi, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Onde é a coordenada esférica padrão e é a métrica padrão na unidade 2-esfera. Consulte Derivando a solução Schwarzschild para uma derivação mais detalhada desta expressão. ${\ displaystyle \ Omega = (\ theta, \ phi)}$${\ displaystyle g _ {\ Omega}}$

Dependendo do contexto, pode ser conveniente considerar um e b como funções indeterminados da coordenada radial (por exemplo, para derivar uma solução exacta estática esfericamente simétrica da equação de campo de Einstein ). Alternativamente, podemos inserir funções específicas (possivelmente dependendo de alguns parâmetros) para obter um gráfico de coordenadas de Schwarzschild em um espaço-tempo Lorentziano específico.

Se isso admitir um tensor tensão-energia de modo que o modelo resultante satisfaça a equação do campo de Einstein (digamos, para um fluido perfeito esfericamente simétrico estático obedecendo a condições de energia adequadas e outras propriedades esperadas de um fluido perfeito razoável), então, com tensor apropriado campos que representam quantidades físicas, como densidades de matéria e momento, temos um pedaço de um espaço-tempo possivelmente maior; uma peça que pode ser considerada uma solução local da equação de campo de Einstein.

Matando campos vetoriais

Com relação ao gráfico de Schwarzschild, a álgebra de Lie dos campos vetoriais Killing é gerada pelo campo vetorial Killing irrotacional semelhante ao tempo

${\ displaystyle \ partial _ {t}}$

e três campos vetoriais de Killing semelhantes

${\ displaystyle \ partial _ {\ phi}}$

${\ displaystyle \ sin \ phi \, \ partial _ {\ theta} + \ cot \ theta \, \ cos \ phi \, \ partial _ {\ phi}}$

${\ displaystyle \ cos \ phi \, \ partial _ {\ theta} - \ cot \ theta \, \ sin \ phi \, \ partial _ {\ phi}}$

Aqui, dizer que é irrotacional significa que o tensor de vorticidade da congruência semelhante ao tempo correspondente desaparece; portanto, este campo vetorial Killing é ortogonal de hipersuperfície . O fato de nosso espaço-tempo admitir um campo vetorial irrotacional, semelhante ao Killing, é de fato a característica definidora de um espaço-tempo estático . Uma consequência imediata é que as superfícies de coordenadas de tempo constantes formam uma família de hiperslices espaciais (isométricas) . (Isso não é verdade, por exemplo, no gráfico de Boyer-Lindquist para a região externa do vácuo de Kerr , onde o vetor de coordenada semelhante ao tempo não é ortogonal de hipersuperfície). ${\ displaystyle {\ vec {X}} = \ parcial _ {t}}$ ${\ displaystyle t = t_ {0}}$

Observe que os dois últimos campos são rotações um do outro, sob a transformação de coordenadas . O artigo sobre Killing vector fields fornece uma derivação detalhada e discussão dos três campos semelhantes a espaços. ${\ displaystyle \ phi \ mapsto \ phi + \ pi / 2}$

Uma família de esferas aninhadas estáticas

No gráfico de Schwarzschild, as superfícies aparecem como esferas redondas (quando plotamos os loci em forma esférica polar), e de sua forma, vemos que a métrica de Schwarzschild restrita a qualquer uma dessas superfícies é definida positivamente e dada por ${\ displaystyle t = t_ {0}, \, r = r_ {0}}$

${\ displaystyle g | _ {t = t_ {0}, r = r_ {0}} = r_ {0} ^ {2} g _ {\ Omega} = r_ {0} ^ {2} \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \ right), \; 0 <\ theta <\ pi, \; - \ pi <\ phi <\ pi}$

Onde está a métrica Riemanniana padrão na unidade de raio 2-esfera. Ou seja, essas esferas de coordenadas aninhadas de fato representam esferas geométricas com ${\ displaystyle g _ {\ Omega}}$

1. área de superfície ${\ displaystyle A = 4 \ pi r_ {0} ^ {2}}$
2. Curvatura gaussiana ${\ displaystyle K = 1 / r_ {0} ^ {2}}$

Em particular, são esferas circulares geométricas . Além disso, as coordenadas angulares são exatamente as coordenadas angulares esféricas polares usuais: às vezes é chamada de colatitude e geralmente é chamada de longitude . Esta é essencialmente a característica geométrica definidora do gráfico de Schwarzschild. ${\ displaystyle \ Omega = (\ theta, \ phi)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$

Pode ajudar adicionar que os quatro campos Killing dados acima, considerados como campos vetoriais abstratos em nossa variedade Lorentziana, fornecem a expressão mais verdadeira de ambas as simetrias de um espaço-tempo esfericamente simétrico estático, enquanto a forma trigonométrica particular que eles assumem em nosso gráfico é a expressão mais verdadeira do significado do termo gráfico de Schwarzschild . Em particular, os três campos de vetores de Killing espaciais têm exatamente a mesma forma que os três campos de vetores de Killing não translacionais em um gráfico esfericamente simétrico em E ³ ; isto é, eles exibem a noção de rotação euclidiana arbitrária em torno da origem ou simetria esférica.

No entanto, observe bem: em geral, a coordenada radial de Schwarzschild não representa com precisão as distâncias radiais , isto é, distâncias tomadas ao longo da congruência geodésica semelhante ao espaço que surge como as curvas integrais de . Em vez disso, para encontrar uma noção adequada de ' distância espacial ' entre duas de nossas esferas aninhadas, devemos integrar ao longo de algum raio coordenado a partir da origem: ${\ displaystyle \ partial _ {r}}$ ${\ displaystyle b (r) dr}$

${\ displaystyle \ Delta \ rho = \ int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} b (r) dr}$

Da mesma forma, podemos considerar cada esfera como o local de uma nuvem esférica de observadores idealizados, que devem (em geral) usar motores de foguete para acelerar radialmente para fora a fim de manter sua posição. Esses são observadores estáticos e têm linhas de forma de mundo , que, é claro, têm a forma de linhas de coordenadas verticais no gráfico de Schwarzschild. ${\ displaystyle r = r_ {0}, \ theta = \ theta _ {0}, \ phi = \ phi _ {0}}$

Para calcular o intervalo de tempo adequado entre dois eventos na linha do mundo de um desses observadores, devemos integrar ao longo da linha de coordenadas apropriada: ${\ displaystyle a (r) dt}$

${\ displaystyle \ Delta \ tau = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} a (r) dt}$

Singularidades coordenadas

Olhando para trás nos intervalos de coordenadas acima, observe que a singularidade da coordenada em marca a localização do pólo norte de uma de nossas esferas aninhadas estáticas, enquanto marca a localização do pólo sul . Assim como para um mapa esférico polar comum em E ³ , por razões topológicas não podemos obter coordenadas contínuas em toda a esfera; devemos escolher alguma longitude (um grande círculo) para atuar como o meridiano principal e retirá-lo do mapa. O resultado é que recortamos um meio plano fechado de cada hiperslice espacial, incluindo o eixo e meio plano que se estende a partir desse eixo. ${\ displaystyle t = t_ {0}, \, r = r_ {0}, \, \ theta = 0}$${\ displaystyle t = t_ {0}, \, r = r_ {0}, \, \ theta = \ pi}$ ${\ displaystyle \ phi = 0}$${\ displaystyle t = t_ {0}}$${\ displaystyle r = 0}$

Quando dissemos acima que é um campo vetorial Killing, omitimos o qualificador pedante, mas importante, que estamos pensando como uma coordenada cíclica e, de fato, pensando em nossos três vetores Killing espaciais como agindo em esferas redondas. ${\ displaystyle \ partial _ {\ phi}}$${\ displaystyle \ phi}$

Possivelmente, é claro, ou , nesse caso, devemos também extirpar a região fora de alguma bola, ou dentro de alguma bola, do domínio de nosso gráfico. Isso acontece sempre que f ou g explodem em algum valor da coordenada radial r de Schwarzschild. ${\ displaystyle r_ {1}> 0}$${\ displaystyle r_ {2} <\ infty}$

Visualizando os hiperslices estáticos

Para entender melhor o significado da coordenada radial de Schwarzschild, pode ser útil incorporar um dos hiperslícios espaciais (eles são, é claro, todos isométricos entre si) em um espaço euclidiano plano. As pessoas que acham difícil visualizar o espaço euclidiano quadridimensional ficarão felizes em observar que podemos aproveitar a simetria esférica para suprimir uma coordenada . Isso pode ser convenientemente alcançado por configuração . Agora temos uma variedade Riemanniana bidimensional com um gráfico de coordenadas radiais locais, ${\ displaystyle t = t_ {0}}$${\ displaystyle t = 0, \ theta = \ pi / 2}$

${\ displaystyle g | _ {t = 0, \ theta = \ pi / 2} = b (r) ^ {2} dr ^ {2} + r ^ {2} d \ phi ^ {2}, \; \ ; r_ {1} <r <r_ {2}, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Para embutir esta superfície (ou em um anel anular ) em E ³ , adotamos um campo de quadro em E ³ que

1. é definido em uma superfície parametrizada, que herdará a métrica desejada do espaço de incorporação,
2. está adaptado ao nosso gráfico radial,
3. apresenta uma função indeterminada .${\ displaystyle f (r)}$

A saber, considere a superfície parametrizada

${\ displaystyle (z, r, \ phi) \ rightarrow (f (r), \, r \ cos \ phi, \, r \ sin \ phi)}$

Os campos de vetor de coordenadas nesta superfície são

${\ displaystyle \ partial _ {r} = (f ^ {\ prime} (r), \, \ cos \ phi, \, \ sin \ phi), \; \; \ partial _ {\ phi} = (0 , -r \ sin \ phi, r \ cos \ phi)}$

A métrica induzida herdada quando restringimos a métrica Euclidiana em E ³ para nossa superfície parametrizada é

${\ displaystyle d \ rho ^ {2} = \ left (1 + f ^ {\ prime} (r) ^ {2} \ right) \, dr ^ {2} + r ^ {2} \, d \ phi ^ {2}, \; r_ {1} <r <r_ {2}, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Para identificar isso com a métrica do nosso hiperslice, devemos, evidentemente, escolher tal que ${\ displaystyle f (r)}$

${\ displaystyle f ^ {\ prime} (r) = {\ sqrt {1-b (r) ^ {2}}}}$

Para dar um exemplo um tanto bobo, talvez tenhamos . ${\ displaystyle b (r) = f (r) = \ sin (r)}$

Isso funciona para superfícies nas quais as distâncias reais entre dois pontos separados radialmente são maiores do que a diferença entre suas coordenadas radiais. Se as distâncias verdadeiras forem menores , devemos incorporar nossa variedade Riemanniana como uma superfície semelhante a um espaço em E ^1,2 . Por exemplo, podemos ter . Às vezes, podemos precisar de dois ou mais encaixes locais de anéis anulares (para regiões de curvatura gaussiana positiva ou negativa). Em geral, não devemos esperar obter um embedding global em qualquer espaço plano (com o desaparecimento do tensor de Riemann). ${\ displaystyle b (r) = f (r) = \ sinh (r)}$

A questão é que a característica definidora de um gráfico de Schwarzschild em termos da interpretação geométrica da coordenada radial é exatamente o que precisamos para realizar (em princípio) esse tipo de incorporação esfericamente simétrica dos hiperslices espaciais.

Um Ansatz métrico

O elemento de linha dado acima, com f , g considerado como funções indeterminadas da coordenada radial de Schwarzschild r , é freqüentemente usado como um ansatz métrico na derivação de soluções esfericamente simétricas estáticas na relatividade geral (ou outras teorias métricas da gravitação ).

Como ilustração, indicaremos como calcular a conexão e a curvatura usando o método de cálculo exterior de Cartan . Primeiro, lemos no elemento de linha um campo coframe ,

${\ displaystyle \ sigma ^ {0} = - a (r) \, dt}$

${\ displaystyle \ sigma ^ {1} = b (r) \, dr}$

${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = rd \ theta \,}$

${\ displaystyle \ sigma ^ {3} = r \ sin \ theta \, d \ phi}$

onde consideramos funções suaves ainda indeterminadas de . (O fato de nosso espaço-tempo admitir um quadro com essa forma trigonométrica particular é outra expressão equivalente da noção de um gráfico de Schwarzschild em uma variedade Lorentziana estática e esfericamente simétrica). ${\ displaystyle a \, b}$${\ displaystyle r}$

Em segundo lugar, calculamos os derivados externos dessas formas únicas de cobase:

${\ displaystyle d \ sigma ^ {0} = - a '(r) \, dr \ wedge dt = {\ frac {a' (r)} {b (r)}} \, dt \ wedge \ sigma ^ { 1}}$

${\ displaystyle d \ sigma ^ {1} = 0 \,}$

${\ displaystyle d \ sigma ^ {2} = dr \ wedge d \ theta}$

${\ displaystyle d \ sigma ^ {3} = \ sin \ theta \, dr \ wedge d \ phi + r \, \ cos \ theta \, d \ theta \ wedge d \ phi = - \ left ({\ frac { \ sin \ theta \, d \ phi} {b (r)}} \ wedge \ sigma ^ {1} + \ cos \ theta \, d \ phi \ wedge \ sigma ^ {2} \ right)}$

Comparando com a primeira equação estrutural de Cartan (ou melhor, sua condição de integrabilidade),

${\ displaystyle d \ sigma ^ {\ hat {m}} = - {\ omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {n}} \, \ wedge \ sigma ^ {\ hat {n}} }$

nós adivinhamos expressões para as formas de conexão . (Os chapéus são apenas um dispositivo de notação para nos lembrar que os índices se referem às nossas formas únicas de cobase, não às formas únicas coordenadas .) ${\ displaystyle dt, \, dr, \, d \ theta, d \ phi}$

Se nos lembrarmos de quais pares de índices são simétricos (espaço-tempo) e quais são antisimétricos (espaço-espaço) , podemos confirmar que as seis formas de conexão são ${\ displaystyle {\ omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {n}}}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {1} = {\ frac {a '} {b}} (r) \, dt}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {2} = 0}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {3} = 0}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {1}} _ {2} = - {\ frac {d \ theta} {b (r)}}}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {1}} _ {3} = - {\ frac {\ sin \ theta \, d \ phi} {b (r)}}}$

${\ displaystyle {\ omega ^ {2}} _ {3} = - \ cos \ theta \, d \ phi}$

(Neste exemplo, apenas quatro das seis não estão desaparecendo.) Podemos coletar essas formas únicas em uma matriz de formas únicas, ou melhor ainda, em uma forma única com valor de SO (1,3). Observe que a matriz resultante de formas únicas não será tão anti-simétrica quanto para uma forma única avaliada por SO (4); precisamos usar, em vez disso, uma noção de transposição que surge do adjunto Lorentziano .

Terceiro, calculamos as derivadas externas das formas de conexão e usamos a segunda equação estrutural de Cartan

${\ displaystyle {\ Omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {n}} = d {\ omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {n}} - {\ omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {\ ell}} \ wedge {\ omega ^ {\ hat {\ ell}}} _ {\ hat {n}}}$

para calcular a curvatura de duas formas. Quarto, usando a fórmula

${\ displaystyle {\ Omega ^ {\ hat {m}}} _ {\ hat {n}} = {R ^ {\ hat {m}}} _ {{\ hat {n}} | {\ hat {\ imath}} {\ hat {\ jmath}} |} \, \ sigma ^ {\ hat {\ imath}} \ wedge \ sigma ^ {\ hat {\ jmath}}}$

onde as barras de Bach indicam que devemos somar apenas sobre os seis pares crescentes de índices ( i , j ), podemos ler as componentes linearmente independentes do tensor de Riemann com relação ao nosso coframe e seu campo de quadro duplo . Nós obtemos:

${\ displaystyle {R ^ {0}} _ {101} = {\ frac {-a '' \, b + a '\, b'} {a \, b ^ {3}}} (r)}$

${\ displaystyle {R ^ {0}} _ {202} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {-a '} {a \, b ^ {2}}} (r) = {R ^ {0}} _ {303}}$

${\ displaystyle {R ^ {1}} _ {212} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {b '} {b ^ {3}}} (r) = {R ^ {1} } _ {313}}$

${\ displaystyle {R ^ {2}} _ {323} = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {b ^ {2} -1} {b ^ {2}}} ( r)}$

Quinto, podemos reduzir os índices e organizar os componentes em uma matriz ${\ displaystyle R _ {{\ hat {m}} {\ hat {n}} {\ hat {i}} {\ hat {j}}}}$

${\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} R_ {0101} & R_ {0102} & R_ {0103} & R_ {0123} & R_ {0131} & R_ {0112} \\ R_ {0201} & R_ {0202} & R_ {0203} & R_ {0223} & R_ {0231} & R_ {0212} \\ R_ {0301} & R_ {0302} & R_ {0303} & R_ {0323} & R_ {0331} & R_ {0312} \\ R_ {2301} & R_ {2302} & R_ { 2303} & R_ {2323} & R_ {2331} & R_ {2312} \\ R_ {3101} & R_ {3102} & R_ {3103} & R_ {3123} & R_ {3131} & R_ {3112} \\ R_ {1201} & R_ {1202} & R_ {1203} & R_ {1223} & R_ {1231} & R_ {1212} \ end {matriz}} \ right] = \ left [{\ begin {matrix} E&B \\ B ^ {T} & L \ end {matrix}} \direito]}$

onde E, L são simétricos (seis componentes linearmente independentes, em geral) e B é sem rastros (oito componentes linearmente independentes, em geral), o que pensamos como representando um operador linear no espaço vetorial de seis dimensões de duas formas (em cada evento). A partir disso, podemos ler a decomposição de Bel em relação ao campo vetorial unitário semelhante ao tempo . O tensor eletrogravítico é ${\ displaystyle {\ vec {X}} = {\ vec {e}} _ {0} = {\ frac {1} {a (r)}} \, \ partial _ {t}}$

${\ displaystyle E [{\ vec {X}}] _ {11} = {\ frac {a '' \, b-a '\, b'} {a \, b ^ {3}}} (r) , \; E [{\ vec {X}}] _ {22} = E [{\ vec {X}}] _ {33} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {a '} {a \, b ^ {2}}} (r)}$

O tensor magnetogravítico desaparece de forma idêntica, e o tensor topogravítico , a partir do qual (usando o fato de que é irrotacional) podemos determinar o tensor de Riemann tridimensional dos hiperslícios espaciais, é ${\ displaystyle {\ vec {X}}}$

${\ displaystyle L [{\ vec {X}}] _ {11} = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {1-b ^ {2}} {b ^ {2} }} (r), \; L [{\ vec {X}}] _ {22} = L [{\ vec {X}}] _ {33} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {-b '} {b ^ {3}}} (r)}$

Isso tudo é válido para qualquer variedade Lorentziana, mas notamos que na relatividade geral, o tensor eletrogravítico controla tensões de maré em objetos pequenos, conforme medido pelos observadores correspondentes ao nosso referencial, e o tensor magnetogravítico controla quaisquer forças spin-spin em objetos giratórios , conforme medido pelos observadores correspondentes ao nosso referencial.

O campo de quadro duplo do nosso campo de coframe é

${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {0} = {\ frac {1} {a (r)}} \, \ partial _ {t}}$

${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {1} = {\ frac {1} {b (r)}} \, \ partial _ {r}}$

${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {2} = {\ frac {1} {r}} \, \ partial _ {\ theta}}$

${\ displaystyle {\ vec {e}} _ {3} = {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \, \ partial _ {\ phi}}$

O fato de que o fator apenas multiplica o primeiro dos três campos vetoriais semelhantes a espaços ortonormais aqui significa que os gráficos de Schwarzschild não são espacialmente isotrópicos (exceto no caso trivial de um espaço-tempo localmente plano); em vez disso, os cones de luz aparecem (achatados radialmente) ou (alongados radialmente). É claro que isso é apenas outra maneira de dizer que os gráficos de Schwarzschild representam corretamente as distâncias dentro de cada esfera redonda aninhada, mas a coordenada radial não representa fielmente a distância radial adequada. ${\ displaystyle {\ frac {1} {b (r)}}}$

Algumas soluções exatas admitindo gráficos de Schwarzschild

Alguns exemplos de soluções exatas que podem ser obtidas desta forma incluem:

• a região externa do vácuo Schwarzschild ,
• idem, para o eletrovácuo Reissner – Nordström , que inclui o exemplo anterior como um caso especial,
• idem, para o eletrolambdavacuum Reissner – Nordström – de Sitter , que inclui o exemplo anterior como um caso especial,
• a solução Janis-Newman-Winacour (que modela o exterior de um objeto esfericamente simétrico estático dotado de um campo escalar minimamente acoplado sem massa),
• modelos estelares obtidos combinando uma região interna que é uma solução de fluido perfeito esférico simétrico estático através de um locus esférico de pressão de desaparecimento para uma região externa, que é localmente isométrica para parte da região de vácuo de Schwarzschild.

Generalizações

É natural considerar espaços-tempos não estáticos, mas esfericamente simétricos, com um gráfico de Schwarzschild generalizado no qual a métrica assume a forma

${\ displaystyle g = -a (t, r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (t, r) ^ {2} \, dr ^ {2} + r ^ {2} \ left ( d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \ right),}$

${\ displaystyle - \ infty <t <\ infty, \, r_ {0} <r <r_ {1}, \, 0 <\ theta <\ pi, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Generalizando em outra direção, podemos usar outros sistemas de coordenadas em nossas duas esferas redondas, para obter, por exemplo, um gráfico de Schwarzschild estereográfico que às vezes é útil:

${\ displaystyle g = -a (r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (r) ^ {2} \, dr ^ {2} + {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {(1 + x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}}, \; - \ infty <t, x, y <\ infty, r_ {1} <r <r_ {2}}$

Veja também

• espaço-tempo estático ,
• espaço-tempo esfericamente simétrico ,
• fluidos perfeitos esfericamente simétricos estáticos ,
• coordenadas isotrópicas , outro gráfico popular para espaços-tempos esfericamente simétricos estáticos,
• Coordenadas polares gaussianas , um gráfico alternativo menos comum para espaços-tempos esfericamente simétricos estáticos,
• Coordenadas de Gullstrand – Painlevé , um gráfico simples que é válido dentro do horizonte de eventos de um buraco negro estático.
• campos de quadro na relatividade geral , para mais informações sobre campos de quadro e campos de coframe,
• Decomposição de Bel do tensor de Riemann,
• congruência (relatividade geral) , para mais informações sobre congruências, como acima,${\ displaystyle {\ vec {X}}}$
• As coordenadas de Kruskal-Szekeres , um gráfico que cobre toda a variedade do espaço-tempo da solução de Schwarzschild estendida ao máximo e são bem comportadas em todos os lugares fora da singularidade física,
• Coordenadas de Eddington-Finkelstein , um gráfico alternativo para espaços-tempos esfericamente simétricos estáticos,

Notas