coordena Isotrópica - Isotropic coordinates

Na teoria de colectores lorentzianas , espaço-tempo esfericamente simétrico admitir uma família de esferas redondas aninhados . Existem vários tipos diferentes de coordenar gráfico que está adaptado a esta família de esferas aninhados; O mais conhecido é o gráfico de Schwarzschild , mas o gráfico isotrópico também é frequentemente útil. A característica definidora de um gráfico isotrópica é que a sua coordenada radial (que é diferente a partir da coordenada radial de um gráfico de Schwarzschild) é definida de modo que os cones de luz aparecem rodada . Isto significa que (excepto no caso trivial de um colector localmente plana), as coordenadas angulares isotrópicas não fielmente representar as distâncias dentro das esferas aninhadas, nem a coordenada radial fielmente representar as distâncias radiais. Por outro lado, os ângulos nas hyperslices de tempo constantes são representados sem distorção, e daí o nome do gráfico.

Gráficos isotrópicos são mais frequentemente aplicada a estáticos espaço-tempo esfericamente simétrico em teorias métricas da gravitação , como a relatividade geral , mas eles também podem ser usados na modelagem, por exemplo, uma bola de fluido esfericamente pulsante. Para soluções esfericamente simétricas isoladas da equação de campo de Einstein , em grandes distâncias, o isotrópico e gráficos Schwarzschild tornar-se cada vez mais semelhante ao gráfico esférica polar habitual em Minkowski espaço-tempo .

Definição

Em um gráfico isotrópica (em espaço-tempo uma simetria esférica estática), o elemento de linha toma a forma

${\ Ds DisplayStyle ^ {2} = - f (r) ^ {2} \, dt ^ {2} + g (r) ^ {2} \, \ esquerda (dr ^ {2} + r ^ {2} \, \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin (\ theta) ^ {2} \, d \ phi ^ {2} \ right) \ right),}$

${\ Displaystyle - \ infty <t <\ infty, \, r_ {0} <r <r_ {1}, \, 0 <\ theta <\ pi \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Dependendo do contexto, pode ser conveniente considerar f, g, tal como funções indeterminados da coordenada radial (por exemplo, para derivar uma solução simetria esférica exacta estática da equação de campo de Einstein ). Alternativamente, pode-se ligar em funções específicas (possivelmente dependendo de alguns parâmetros) para obter uma isotrópica coordenar gráfico em espaço-tempo uma Lorentziana específico.

Matando campos vetoriais

A álgebra de Lie de Killing campos vectoriais de um espaço-tempo estático simetria esférica tem a mesma forma no gráfico isotrópica como no gráfico de Schwarzschild. Nomeadamente, esta álgebra é gerado pelo tipo tempo irrotacional campo vectorial Killing

${\ Displaystyle \ partial _ {t}}$

e três campos de vectores do tipo espacial Killing

${\ Displaystyle \ partial _ {\ phi}}$

${\ Displaystyle \ sin (\ phi) \, \ parcial _ {\ teta} + \ berço (\ teta) \, \ cos (\ phi) \ _ parcial {\ phi}}$

${\ Displaystyle \ cos (\ Phi) \, \ partial _ {\ theta} - \ berço (\ theta) \, \ sin (\ phi) \ partial _ {\ phi}}$

Aqui, dizendo que é irrotacional significa que o tensor da vorticidade do correspondente congruência timelike desaparece; assim, este campo vectorial Matar é hipersuperfıcie ortogonal . O facto de que o espaço-tempo admite um tipo tempo irrotacional Killing campo vector é, de facto, a característica definidora de um espaço-tempo estático . Uma consequência imediata é que a constante de tempo de coordenadas superfícies formam uma família de (isométrica) hyperslices espaciais (tipo espaço hipersuperfıcies). ${\ Displaystyle {\ vec {X}} = \ parcial _ {t}}$ ${\ Displaystyle t = t_ {0}}$

Ao contrário do gráfico de Schwarzschild, o gráfico isotrópico não é bem adequado para a construção de diagramas de incorporação destes hyperslices.

Uma família de esferas aninhadas estáticas

As superfícies aparecem como esferas redondas (quando plotamos loci de forma esférica polar), e a partir da forma do elemento de linha, vemos que a métrica restringida a qualquer uma destas superfícies é ${\ Displaystyle t = t_ {0}, \, r = r_ {0}}$

${\ Displaystyle d \ sigma ^ {2} = g (r_ {0}) ^ {2} \, r_ {0} ^ {2} \, \ esquerda (d \ teta ^ {2} + \ sin (\ teta ) ^ {2} \, d \ phi ^ {2} \ right), \; 0 <\ theta <\ pi, - \ pi <\ phi <\ pi}$

Ou seja, estas coordenam esferas aninhadas que na verdade representam esferas geométricas, mas o aparecimento de mais do que mostra que a coordenada radial não corresponde à área da mesma forma que para esferas em comum espaço euclidiano . Comparar coordenadas de Schwarzschild, onde a coordenada radial tem a sua interpretação natural em termos das esferas aninhadas. ${\ Displaystyle g (r_ {0}) \, r}$${\ Displaystyle r}$

coordenar singularidades

Os loci marcar os limites do gráfico isotrópico, e assim como no gráfico Schwarzschild, que tacitamente supor que estes dois loci são identificados, de modo que nossas esferas redondas putativos são realmente esferas topológicos. ${\ Displaystyle \ phi = - \ pi, \, \ pi}$

Assim como para o gráfico de Schwarzschild, a gama da coordenada radial pode ser limitado se a métrica ou o seu inverso explode por algum valor (es) de esta coordenada.

A Ansatz métrica

O elemento de linha dada acima, com f, g, considerado como funções indeterminados da isotrópica coordenar R, é frequentemente utilizado como uma métrica Ansatz na derivação soluções esfericamente simétricas estáticos em relatividade geral (ou outras teorias métricas de gravitação ).

Como ilustração, vamos esboçar como calcular a conexão e curvatura usando o método de cálculo exterior de Cartan. Primeiro, lemos fora do elemento de linha de um campo coframe ,

${\ Displaystyle \ sigma ^ {0} = - f (r) \, dt}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {1} = g (r) \, dr}$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {2} = g (r) \, R \, d \} teta$

${\ Displaystyle \ sigma ^ {3} = g (r) \, R \, \ sin (\ teta) \, d \ phi}$

onde nós consideramos f, g, tal como funções suaves indeterminadas de r. (O facto do nosso espaço-tempo admite uma armação que tem esta forma trigonométrica em particular é ainda uma outra expressão equivalente da noção de um gráfico isotrópico em um colector Lorentziana estática, esfericamente simétrica). Tomando os derivados exteriores e usando a primeira equação estrutural Cartan, encontramos a não nulos ligação um-formas

${\ Displaystyle {\ omega ^ {0}} _ {1} = {\ frac {f '\, dt} {g}}}$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {1}} _ {2} = - \ esquerda (1 + {\ frac {r \, g '} {g}} \ direita) \, d \} teta$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {1}} _ {3} = - \ esquerda (1 + {\ frac {r \, g '} {g}} \ direita) \, \ sin (\ teta) \, d \ phi}$

${\ Displaystyle {\ omega ^ {2}} _ {3} = - \ cos (\ teta) \, d \ phi}$

Tomando novamente derivados exteriores e de ligar na segunda equação estrutural Cartan, encontramos a curvatura e duas formas .

Veja também

• espaço-tempo estático ,
• esfericamente espaço-tempo simétrica ,
• fluido perfeito esfericamente simétricas estáticos ,
• Coordena Schwarzschild , outro gráfico popular para espaço-tempo esfericamente simétrico estáticos,
• Campos de moldura em relatividade geral , para mais sobre os campos de quadro e campos coframe.

Referências

• Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitação . WH Freeman and Company. ISBN  0-7167-0344-0 .CS1 maint: nomes múltiplos: lista de autores ( ligação )