Equalizador (matemática) - Equaliser (mathematics)

Em matemática , um equalizador é um conjunto de argumentos em que duas ou mais funções têm valores iguais . Um equalizador é o conjunto de solução de uma equação . Em certos contextos, um kernel de diferença é o equalizador de exatamente duas funções.

Definições

Deixe que X e Y ser conjuntos . Vamos f e g seja funções , tanto a partir de X para Y . Em seguida, o equalizador de f e g é o conjunto de elementos x de X , tal que f ( x ) é igual a g ( x ) em Y . Simbolicamente:

${\ displaystyle \ operatorname {Eq} (f, g): = \ {x \ in X \ mid f (x) = g (x) \}.}$

O equalizador pode ser denotado como Eq ( f , g ) ou uma variação desse tema (como com letras minúsculas "eq"). Em contextos informais, a notação { f = g } é comum.

A definição acima mencionados duas funções f e g , mas não há necessidade de restringir a apenas duas funções, ou mesmo para apenas um número finito muitas funções. Em geral, se M é um conjunto de funções de X para Y , em seguida, o equalizador dos membros de F é o conjunto de elementos x de X de tal forma que, dadas quaisquer dois membros da f e g de F , f ( x ) é igual a g ( x ) em Y . Simbolicamente:

${\ displaystyle \ operatorname {Eq} ({\ mathcal {F}}): = \ {x \ in X \ mid \ forall f, g \ in {\ mathcal {F}}, \; f (x) = g (x) \}.}$

Este equalizador pode ser escrito como Eq ( f , g , h , ...) se for o conjunto { f , g , h , ...}. No último caso, também se pode encontrar { f = g = h = ···} em contextos informais. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Como um caso degenerado da definição geral, seja F um singleton { f }. Desde f ( x ) é sempre igual a si mesmo, o empate deve ser todo o domínio X . Em um caso ainda mais degenerado, seja F o conjunto vazio . Então o equalizador é novamente todo o domínio X , uma vez que a quantificação universal na definição é vacuamente verdadeira .

Diferença de kernels

Um equalizador binário (ou seja, um equalizador de apenas duas funções) também é chamado de kernel de diferença . Isso também pode ser denotado como DiffKer ( f , g ), Ker ( f , g ) ou Ker ( f - g ). Os últimos shows notação onde esta terminologia vem, e por isso é mais comum no contexto de álgebra abstrata : O kernel diferença de f e g é simplesmente o núcleo da diferença f - g . Além disso, o kernel de uma única função f pode ser reconstruído como a diferença kernel Eq ( f , 0), onde 0 é a função constante com valor zero .

Claro, tudo isso presume um contexto algébrico onde o núcleo de uma função é a pré - imagem de zero sob aquela função; isso não é verdade em todas as situações. No entanto, a terminologia "kernel de diferença" não tem outro significado.

Na teoria da categoria

Os equalizadores podem ser definidos por uma propriedade universal , o que permite que a noção seja generalizada da categoria de conjuntos para categorias arbitrárias .

No contexto geral, X e Y são objectos, enquanto que f e g são morphisms de X para Y . Esses objetos e morfismos formam um diagrama na categoria em questão, e o equalizador é simplesmente o limite desse diagrama.

Em termos mais explícitos, o equalizador consiste em um objeto E e um morfismo eq  : E → X satisfatório , e tal que, dado qualquer objeto O e morfismo m  : O → X , se , então, existe um morfismo único u  : O → E tal isso . ${\ displaystyle f \ circ eq = g \ circ eq}$${\ displaystyle f \ circ m = g \ circ m}$${\ displaystyle eq \ circ u = m}$

Diz- se que um morfismo equaliza e se . ${\ displaystyle m: O \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f \ circ m = g \ circ m}$

Em qualquer categoria algébrica universal , incluindo as categorias onde os núcleos de diferença são usados, bem como a categoria dos próprios conjuntos, o objeto E pode sempre ser considerado a noção comum de equalizador, e o morfismo eq pode, nesse caso, ser considerado ser a função de inclusão de E como um subconjunto de X .

A generalização disso para mais de dois morfismos é direta; simplesmente use um diagrama maior com mais morfismos nele. O caso degenerado de apenas um morfismo também é direto; em seguida eq pode ser qualquer isomorfismo de um objecto E para X .

O diagrama correto para o caso degenerado sem morfismos é ligeiramente sutil: pode-se inicialmente desenhar o diagrama como consistindo nos objetos X e Y e sem morfismos. Isso é incorreto, entretanto, uma vez que o limite de tal diagrama é o produto de X e Y , ao invés do equalizador. (E, de fato, produtos e equalizadores são conceitos diferentes: a definição teórica de conjunto de produto não concorda com a definição teórica de conjunto do equalizador mencionada acima, portanto, eles são realmente diferentes.) Em vez disso, o insight apropriado é que cada diagrama de equalizador está fundamentalmente preocupado com X , incluindo Y apenas porque Y é o codomínio dos morfismos que aparecem no diagrama. Com essa visão, vemos que, se não houver morfismos envolvidos, Y não aparecerá e o diagrama do equalizador consistirá apenas em X. O limite deste diagrama é então qualquer isomorfismo entre E e X .

Pode-se provar que qualquer equalizador em qualquer categoria é um monomorfismo . Se o inverso se aplica a uma determinada categoria, então essa categoria é considerada regular (no sentido de monomorfismos). Mais geralmente, um monomorfismo regular em qualquer categoria é qualquer morfismo m que seja um equalizador de algum conjunto de morfismos. Alguns autores exigem mais estritamente que m seja um equalizador binário , ou seja, um equalizador de exatamente dois morfismos. No entanto, se a categoria em questão estiver completa , então ambas as definições concordam.

A noção de núcleo da diferença também faz sentido em um contexto da teoria das categorias. A terminologia "núcleo de diferença" é comum em toda a teoria das categorias para qualquer equalizador binário. No caso de uma categoria pré - aditiva (uma categoria enriquecida com a categoria de grupos Abelianos ), o termo "núcleo de diferença" pode ser interpretado literalmente, uma vez que a subtração de morfismos faz sentido. Ou seja, Eq ( f , g ) = Ker ( f - g ), onde Ker denota o kernel da teoria da categoria .

Qualquer categoria com produtos de fibra (pullbacks) e produtos tem equalizadores.

Veja também

• Coequalizador , a noção dual , obtida invertendo as setas na definição do equalizador.
• Teoria da coincidência , uma abordagem topológica para conjuntos de equalizadores em espaços topológicos .
• Retração , um limite especial que pode ser construído a partir de equalizadores e produtos.

Notas

Referências

• Equalizador em nLab

links externos

• Página da Web interativa que gera exemplos de equalizadores na categoria de conjuntos finitos. Escrito por Jocelyn Paine .