Relação inversa - Converse relation

Em matemática , a relação inversa , ou transposta , de uma relação binária é a relação que ocorre quando a ordem dos elementos é trocada na relação. Por exemplo, o inverso da relação 'filho de' é a relação 'pai de'. Em termos formais, se e são conjuntos e é uma relação de a, então a relação é definida de modo que se e somente se Na notação do construtor de conjuntos , ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle L \ subseteq X \ times Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y,}$ ${\ displaystyle L ^ {\ operatorname {T}}}$ ${\ displaystyle yL ^ {\ operatorname {T}} x}$ ${\ displaystyle xLy.}$

{\ displaystyle L ^ {\ operatorname {T}} = \ {(y, z) \ in Y \ vezes X: (x, y) \ in L \}.}

A notação é análoga àquela de uma função inversa . Embora muitas funções não tenham um inverso, cada relação tem um inverso único. A operação unária que mapeia uma relação para a relação inversa é uma involução , então ela induz a estrutura de um semigrupo com involução nas relações binárias em um conjunto, ou, mais geralmente, induz uma categoria adaga na categoria de relações conforme detalhado abaixo . Como uma operação unária , tomando o inverso (às vezes chamado de conversão ou transposição ) comuta com as operações relacionadas à ordem do cálculo de relações, isto é, comuta com união, interseção e complemento.

A relação inversa também é chamada de relação transposta - esta última em razão de sua semelhança com a transposta de uma matriz. Também foi chamado de oposto ou dual da relação original, ou o inverso da relação original, ou o recíproco da relação ${\ displaystyle L ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle L.}$

Outras notações para a relação inversa incluem ou ${\ displaystyle L ^ {\ operatorname {C}}, L ^ {- 1}, {\ breve {L}}, L ^ {\ circ},}$ ${\ displaystyle L ^ {\ vee}.}$

Exemplos

Para as relações de ordem usuais (talvez estritas ou parciais) , o inverso é a ordem "oposta" ingenuamente esperada, por exemplo, ${\ displaystyle {\ leq ^ {\ operatorname {T}}} = {\ geq}, \ quad {<^ {\ operatorname {T}}} = {>}.}$

Uma relação pode ser representada por uma matriz lógica , como

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}

Então, a relação inversa é representada por sua matriz transposta :

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}

O inverso das relações de parentesco é denominado: " é filho de " tem converso " é pai de ". " é sobrinho ou sobrinha de " conversou " é tio ou tia de ". A relação " é irmão de é seu próprio inverso, pois é uma relação simétrica. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

Na teoria dos conjuntos, presume-se um universo de discurso e uma relação fundamental de pertencimento ao conjunto quando é um subconjunto de O conjunto de poder de todos os subconjuntos de é o domínio do inverso ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle x \ in A}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle U.}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle {\ ni} = {\ in ^ {\ operatorname {T}}}.}$

Propriedades

No monóide de binários endorelations sobre um conjunto (com a operação binária sobre as relações sendo a composição das relações ), a relação inversa não satisfaz a definição de um inverso de teoria de grupos, isto é, se é uma relação arbitrário em seguida, se não igual à relação de identidade on em geral. A relação inversa satisfaz os axiomas (mais fracos) de um semigrupo com involução : e ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle L \ circ L ^ {\ operatorname {T}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ left (L ^ {\ operatorname {T}} \ right) ^ {\ operatorname {T}} = L}$ ${\ displaystyle (L \ circ R) ^ {\ operatorname {T}} = R ^ {\ operatorname {T}} \ circ L ^ {\ operatorname {T}}.}$

Uma vez que geralmente se pode considerar relações entre conjuntos diferentes (que formam uma categoria ao invés de um monóide, ou seja, a categoria de relações Rel ), neste contexto a relação inversa está de acordo com os axiomas de uma categoria adaga (também conhecida como categoria com involução). Uma relação igual ao seu inverso é uma relação simétrica ; na linguagem das categorias de punhal, é auto-adjunta .

Além disso, o semigrupo de endorelações em um conjunto também é uma estrutura parcialmente ordenada (com inclusão de relações como conjuntos) e, na verdade, um quantal involutivo . Da mesma forma, a categoria de relações heterogêneas , Rel , também é uma categoria ordenada.

No cálculo de relações , a conversão (a operação unária de tomar a relação inversa) comuta com outras operações binárias de união e interseção. A conversão também comuta com a operação unária de complementação , bem como com a obtenção de suprema e infima. A conversão também é compatível com a ordenação das relações por inclusão.

Se uma relação é reflexiva , irreflexiva , simétrica , antissimétrica , assimétrica , transitiva , conectada , tricotômica , uma ordem parcial , ordem total , ordem fraca estrita , pré- ordem total (ordem fraca) ou uma relação de equivalência , seu inverso também é.

Inversos

Se representa a relação de identidade, então uma relação pode ter um inverso da seguinte forma: ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle R}$

Uma relação é chamada de invertível à direita se existe uma relação com e invertível à esquerda se existe a com Then e são chamados de inverso à direita e à esquerda, respectivamente. As relações invertíveis à direita e à esquerda são chamadas de invertíveis . Para relações homogêneas invertíveis, todos os inversos à direita e à esquerda coincidem; a noção inversa é usada. Então segura.

{\ displaystyle R}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle R \ circ X = I,}

{\ displaystyle Y}

{\ displaystyle Y \ circ R = I.}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle Y}

{\ displaystyle R,}

{\ displaystyle R ^ {- 1}}

{\ displaystyle R ^ {- 1} = R ^ {\ operatorname {T}}}

Relação inversa de uma função

Uma função é invertível se e somente se sua relação inversa for uma função, caso em que a relação inversa é a função inversa.

A relação inversa de uma função é a relação definida pelo ${\ displaystyle f: X \ a Y}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ subseteq Y \ times X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {gráfico} \, f ^ {- 1} = \ {(y, x) \ em Y \ vezes X: y = f (x) \}.}$

Isso não é necessariamente uma função: uma condição necessária é ser injetiva , uma vez que o outro é multivalorado . Esta condição é suficiente para ser uma função parcial , e é claro que então é uma função (total) se e somente se é sobrejetiva . Nesse caso, o que significa se é bijetivo , pode ser chamada de função inversa de ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle f.}$

Por exemplo, a função tem a função inversa ${\ displaystyle f (x) = 2x + 2}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (x) = {\ frac {x} {2}} - 1.}$

Porém, a função tem a relação inversa que não é uma função, sendo multivalorada. ${\ displaystyle g (x) = x ^ {2}}$ ${\ displaystyle g ^ {- 1} (x) = \ pm {\ sqrt {x}},}$