Teoria dos conjuntos ingênua (livro) - Naive Set Theory (book)

Veja também Teoria dos conjuntos ingênuos para o tópico matemático.

Primeira edição

Teoria dos conjuntos ingênua é umlivro de matemática de Paul Halmos que fornece uma introdução de graduação à teoria dos conjuntos . Originalmente publicado por Van Nostrand em 1960, foi reimpresso na série Springer-Verlag Undergraduate Texts in Mathematics em 1974.

Embora o título afirme que é ingênuo, o que geralmente significa sem axiomas , o livro apresenta todos os axiomas da teoria dos conjuntos de ZFC (exceto o Axioma da Fundação ) e fornece definições corretas e rigorosas para objetos básicos. Onde ele difere de um "verdadeiro" livro de teoria dos conjuntos axiomáticos é seu caráter: não há discussões de minúcias axiomáticas, e não há quase nada sobre tópicos avançados como grandes cardeais . Em vez disso, tenta ser inteligível para alguém que nunca pensou sobre a teoria dos conjuntos antes.

Halmos mais tarde afirmou que foi o livro mais rápido que escreveu, levando cerca de seis meses, e que o livro "escreveu a si mesmo".

Ausência do Axioma da Fundação

Como observado acima, o livro omite o Axioma da Fundação . Halmos dança repetidamente em torno da questão de saber se um conjunto pode ou não conter a si mesmo.

• p. 1: "um conjunto também pode ser um elemento de algum outro conjunto" (ênfase adicionada)
• p. 3: " ∈ é sempre verdade? Certamente não é verdade para qualquer conjunto razoável que alguém já viu."${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$
• p. 6: " ∈ ... improvável, mas não obviamente impossível"${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$

Mas Halmos nos permite provar que existem certos conjuntos que não podem se conter.

• p. 44: Halmos nos permite provar isso ∉ . Pois se ∈ , então - { } ainda seria um conjunto sucessor, porque ≠ ∅ e não é o sucessor de nenhum número natural. Mas não é um subconjunto de - { }, contradizendo a definição de como um subconjunto de cada conjunto sucessor.${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$
• p. 47: Halmos prova o lema de que "nenhum número natural é um subconjunto de qualquer um de seus elementos." Isso nos permite provar que nenhum número natural pode se conter. Pois se ∈ , onde é um número natural, então ⊂ ∈ , o que contradiz o lema.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$
• p. 75: "Um número ordinal é definido como um conjunto bem ordenado de forma que para todos em ; aqui está, como antes, o segmento inicial ∈ < }." A ordenação do poço é definida como segue: se e são elementos de um número ordinal , então < significa ∈ (pp. 75-76). Por sua escolha do símbolo <em vez de ≤, Halmos implica que a boa ordenação <é estrita (pp. 55-56). Esta definição de <torna impossível ter ∈ , onde é um elemento de um número ordinal. Isso porque ∈ significa < , o que implica ≠ (porque <é estrito), o que é impossível.${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle s (\ xi) = \ xi}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle s (\ xi)}$${\ displaystyle \ {\ eta}$${\ displaystyle \ alpha:}$ ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ xi}$
• p. 75: a definição acima de um número ordinal também torna impossível ter ∈ , onde é um número ordinal. Isso porque ∈ implica = s ( ). Isso nos dá ∈ = s ( ) = ∈ < }, o que implica < , o que implica ≠ (porque <é estrito), o que é impossível.${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ {\ eta}$${\ displaystyle \ alpha:}$ ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$

Errata

• p. 4, linha 18: “Caim e Abel” deveria ser “Sete, Caim e Abel”.
• p. 30, linha 10: "x em y" deve ser "x em y".
• p. 73, linha 19: "para cada z em X" deve ser "para cada a em X".
• p. 75, linha 3: "se e somente se x ∈ F (n)" deveria ser "se e somente se x = {b: S (n, b)}".

Veja também

• Lista de publicações em matemática

Bibliografia

• Halmos, Paul , Teoria Ingênua dos Conjuntos . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpresso por Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (edição Springer-Verlag). Reimpresso por Martino Fine Books, 2011. ISBN  978-1-61427-131-4 (edição em brochura).

Referências

links externos

• Uma lista de livros sobre teoria dos conjuntos compilada pelos participantes da troca de pilha de matemática
• Resenhas: Teoria de conjuntos ingênua de Goodreads .