Teoria da ordem - Order theory

Para obter um guia sobre esse assunto, consulte a teoria do esboço da ordem .

A teoria da ordem é um ramo da matemática que investiga a noção intuitiva de ordem usando relações binárias . Ele fornece uma estrutura formal para descrever declarações como "isso é menor que aquilo" ou "isso precede aquilo". Este artigo apresenta o campo e fornece definições básicas. Uma lista de termos da teoria da ordem pode ser encontrada no glossário da teoria da ordem .

Antecedentes e motivação

Os pedidos estão em toda parte na matemática e campos relacionados, como a ciência da computação . A primeira ordem frequentemente discutida na escola primária é a ordem padrão dos números naturais, por exemplo, "2 é menor que 3", "10 é maior que 5" ou "Tom tem menos biscoitos do que Sally?". Esse conceito intuitivo pode ser estendido a pedidos em outros conjuntos de números , como inteiros e reais . A ideia de ser maior ou menor que outro número é uma das intuições básicas dos sistemas numéricos (compare com os sistemas numéricos ) em geral (embora geralmente também se esteja interessado na diferença real de dois números, que não é dada pela ordem ) Outros exemplos familiares de ordenações são a ordem alfabética das palavras em um dicionário e a propriedade genealógica da descendência linear dentro de um grupo de pessoas.

A noção de ordem é muito geral, estendendo-se além de contextos que têm uma sensação imediata e intuitiva de sequência ou quantidade relativa. Em outros contextos, os pedidos podem capturar noções de contenção ou especialização. Abstratamente, esse tipo de pedido equivale à relação de subconjunto , por exemplo, " Pediatras são médicos " e " Círculos são apenas elipses de casos especiais ".

Algumas ordens, como "menor que" nos números naturais e ordem alfabética nas palavras, têm uma propriedade especial: cada elemento pode ser comparado a qualquer outro elemento, ou seja, é menor (anterior) do que, maior (posterior) ou idêntico a. No entanto, muitos outros pedidos não. Considere, por exemplo, a ordem do subconjunto em uma coleção de conjuntos : embora o conjunto de pássaros e o conjunto de cães sejam ambos subconjuntos do conjunto de animais, nem os pássaros nem os cães constituem um subconjunto do outro. Essas ordens como a relação "subconjunto de" para as quais existem elementos incomparáveis são chamadas de ordens parciais ; pedidos para os quais cada par de elementos é comparável são pedidos totais .

A teoria da ordem captura a intuição das ordens que surge de tais exemplos em um cenário geral. Isso é obtido especificando propriedades que uma relação ≤ deve ter para ser uma ordem matemática. Essa abordagem mais abstrata faz muito sentido, porque pode-se derivar vários teoremas no cenário geral, sem enfocar nos detalhes de qualquer ordem particular. Essas percepções podem então ser prontamente transferidas para muitos aplicativos menos abstratos.

Impulsionados pelo amplo uso prático de ordens, vários tipos especiais de conjuntos ordenados foram definidos, alguns dos quais cresceram em campos matemáticos próprios. Além disso, a teoria da ordem não se restringe às várias classes de relações de ordenação, mas também considera funções apropriadas entre elas. Um exemplo simples de uma propriedade teórica de ordem para funções vem de análises onde funções monótonas são freqüentemente encontradas.

Definições básicas

Esta seção apresenta conjuntos ordenados com base nos conceitos de teoria dos conjuntos , aritmética e relações binárias .

Conjuntos parcialmente ordenados

Os pedidos são relações binárias especiais. Suponha que P seja um conjunto e que ≤ seja uma relação em P ('relação em um conjunto' significa 'relação entre seus habitantes'). Então ≤ é uma ordem parcial se é reflexiva , anti-simétrico , e transitória , isto é, se por todo um , b e c em P , temos que:

a ≤ a (reflexividade)
se a ≤ b e b ≤ a, então a = b (antissimetria)
se um ≤ b e b ≤ c , em seguida, uma ≤ c (transitivity).

Um conjunto com uma ordem parcial é chamado de conjunto parcialmente ordenado , poset ou apenas conjunto ordenado se o significado pretendido for claro. Ao verificar essas propriedades, vê-se imediatamente que as ordens bem conhecidas dos números naturais , inteiros , números racionais e reais são todas ordens no sentido acima. No entanto, estes exemplos têm a propriedade adicional de quaisquer dois elementos são comparáveis, ou seja, para todos um e b em P , temos que:

a ≤ b ou b ≤ a .

Um pedido parcial com essa propriedade é chamado de pedido total . Essas ordens também podem ser chamadas de ordens lineares ou cadeias . Embora muitas ordens familiares sejam lineares, a ordem do subconjunto nos conjuntos fornece um exemplo em que este não é o caso. Outro exemplo é dado pela relação de divisibilidade (ou "é-um- fator-de ") |. Para dois números naturais n e m , escrevemos n | m se n divide m sem resto. Pode-se ver facilmente que isso resulta em uma ordem parcial. A relação de identidade = em qualquer conjunto também é uma ordem parcial em que cada dois elementos distintos são incomparáveis. É também a única relação que é ao mesmo tempo uma relação de ordem parcial e uma relação de equivalência . Muitas propriedades avançadas de posets são interessantes principalmente para ordens não lineares.

Visualizando um poset

Diagrama de Hasse do conjunto de todos os divisores de 60, parcialmente ordenado por divisibilidade

Os diagramas de Hasse podem representar visualmente os elementos e relações de uma ordenação parcial. Estes são desenhos gráficos onde os vértices são os elementos do poset e a relação de ordenação é indicada pelas arestas e pelo posicionamento relativo dos vértices. As ordens são traçadas de baixo para cima: se um elemento x é menor que (precede) y, então existe um caminho de x para y que é direcionado para cima. Freqüentemente, é necessário que as arestas que conectam os elementos se cruzem, mas os elementos nunca devem estar localizados dentro de uma aresta. Um exercício instrutivo é desenhar o diagrama de Hasse para o conjunto de números naturais menores ou iguais a 13, ordenados por | (a relação divide ).

Mesmo alguns conjuntos infinitos podem ser diagramados sobrepondo reticências (...) em uma sub-ordem finita. Isso funciona bem para os números naturais, mas falha para os reais, onde não há sucessor imediato acima de 0; entretanto, muitas vezes pode-se obter uma intuição relacionada a diagramas de tipo semelhante.

Elementos especiais em um pedido

Em um conjunto parcialmente ordenado, pode haver alguns elementos que desempenham um papel especial. O exemplo mais básico é dado pelo menor elemento de um poset . Por exemplo, 1 é o menor elemento dos inteiros positivos e o conjunto vazio é o menor conjunto na ordem do subconjunto. Formalmente, um elemento m é um elemento mínimo se:

m ≤ a , para todos os elementos a da ordem.

A notação 0 é freqüentemente encontrada para o menor elemento, mesmo quando nenhum número está envolvido. No entanto, em pedidos em conjuntos de números, essa notação pode ser inadequada ou ambígua, uma vez que o número 0 nem sempre é o menor. Um exemplo é dado pela ordem de divisibilidade | acima, onde 1 é o menor elemento, pois divide todos os outros números. Em contraste, 0 é o número dividido por todos os outros números. Portanto, é o maior elemento da ordem. Outros termos frequentes para os menores e maiores elementos são inferior e superior ou zero e unidade .

Os menores e maiores elementos podem deixar de existir, como mostra o exemplo dos números reais. Mas se eles existem, eles são sempre únicos. Em contraste, considere a relação de divisibilidade | no set {2,3,4,5,6}. Embora este conjunto não tenha parte superior nem inferior, os elementos 2, 3 e 5 não possuem elementos abaixo deles, enquanto 4, 5 e 6 não possuem nenhum acima. Esses elementos são chamados de mínimo e máximo , respectivamente. Formalmente, um elemento m é mínimo se:

a ≤ m implica a = m , para todos os elementos a da ordem.

Trocando ≤ por ≥ produz a definição de maximalidade . Como mostra o exemplo, pode haver muitos elementos máximos e alguns elementos podem ser máximos e mínimos (por exemplo, 5 acima). No entanto, se houver um elemento mínimo, será o único elemento mínimo do pedido. Novamente, em posets infinitos, elementos máximos nem sempre existem - o conjunto de todos os subconjuntos finitos de um determinado conjunto infinito, ordenado por inclusão de subconjunto, fornece um de muitos contra-exemplos. Uma ferramenta importante para garantir a existência de elementos máximos sob certas condições é o Lema de Zorn .

Os subconjuntos de conjuntos parcialmente ordenados herdam a ordem. Já aplicamos isso considerando o subconjunto {2,3,4,5,6} dos números naturais com a ordem de divisibilidade induzida. Agora, também existem elementos de um poset que são especiais em relação a algum subconjunto do pedido. Isso leva à definição de limites superiores . Dado um subconjunto S de alguns poset P , um limite superior de S é um elemento b de P que está acima de todos os elementos de S . Formalmente, isso significa que

s ≤ b , para todas as s em S .

Os limites inferiores são definidos pela inversão da ordem. Por exemplo, -5 é um limite inferior dos números naturais como um subconjunto dos inteiros. Dado um conjunto de conjuntos, um limite superior para esses conjuntos sob a ordem do subconjunto é fornecido por sua união . Na verdade, esse limite superior é muito especial: é o menor conjunto que contém todos os conjuntos. Conseqüentemente, encontramos o menor limite superior de um conjunto de conjuntos. Este conceito também é chamado supremo ou junção , e para um conjunto S escreve-se sup ( S ) ou para seu limite superior mínimo. Por outro lado, o maior limite inferior é conhecido como ínfimo ou encontro e denotado inf ( S ) ou . Esses conceitos desempenham um papel importante em muitas aplicações da teoria da ordem. Para dois elementos de x e y , também escreve um e para sup ({ x , y }) e inf ({ x , y }), respectivamente.

Por exemplo, 1 é o mínimo dos inteiros positivos como um subconjunto de inteiros.

Para outro exemplo, considere novamente a relação | em números naturais. O menor limite superior de dois números é o menor número dividido por ambos, ou seja, o menor múltiplo comum dos números. Os maiores limites inferiores, por sua vez, são dados pelo maior divisor comum .

Dualidade

Nas definições anteriores, frequentemente observamos que um conceito pode ser definido apenas invertendo a ordem em uma definição anterior. Esse é o caso de "menor" e "maior", de "mínimo" e "máximo", de "limite superior" e "limite inferior" e assim por diante. Esta é uma situação geral na teoria da ordem: uma determinada ordem pode ser invertida apenas trocando sua direção, invertendo pictoricamente o diagrama de Hasse de cima para baixo. Isso resulta na chamada ordem dual , inversa ou oposta .

Toda definição teórica de ordem tem seu dual: é a noção que se obtém aplicando a definição à ordem inversa. Como todos os conceitos são simétricos, esta operação preserva os teoremas de ordens parciais. Para um dado resultado matemático, pode-se simplesmente inverter a ordem e substituir todas as definições por seus duais e obter outro teorema válido. Isso é importante e útil, uma vez que se obtém dois teoremas pelo preço de um. Mais alguns detalhes e exemplos podem ser encontrados no artigo sobre a teoria da dualidade na ordem .

Construindo novos pedidos

Existem muitas maneiras de construir ordens a partir de ordens dadas. A ordem dupla é um exemplo. Outra construção importante é o produto cartesiano de dois conjuntos parcialmente ordenados, tomados em conjunto com a ordem do produto em pares de elementos. A ordenação é definida por ( a , x ) ≤ ( b , y ) se (e somente se) uma ≤ b e x ≤ y . (Observe cuidadosamente que há três significados distintos para o símbolo de relação ≤ nesta definição.) A união disjunta de dois posets é outro exemplo típico de construção de ordem, onde a ordem é apenas a união (disjunta) das ordens originais.

Cada ordem parcial ≤ dá origem a uma chamada ordem estrita <, definindo a < b se a ≤ b e não b ≤ a . Esta transformação pode ser invertida definindo a ≤ b se a < b ou a = b . Os dois conceitos são equivalentes, embora em algumas circunstâncias um possa ser mais conveniente do que trabalhar com o outro.

Funções entre pedidos

É razoável considerar funções entre conjuntos parcialmente ordenados com certas propriedades adicionais que estão relacionadas às relações de ordenação dos dois conjuntos. A condição mais fundamental que ocorre neste contexto é a monotonicidade . Uma função f de um poset P para um poset Q é monótona , ou preservadora de ordem , se a ≤ b em P implica f ( a ) ≤ f ( b ) em Q (observando que, estritamente, as duas relações aqui são diferentes, uma vez que eles se aplicam a conjuntos diferentes.). O inverso dessa implicação leva a funções que refletem a ordem , isto é, funções f como acima para as quais f ( a ) ≤ f ( b ) implica a ≤ b . Por outro lado, uma função também pode ser inversora de ordem ou antítono , se a ≤ b implica f ( a ) ≥ f ( b ).

Uma incorporação de ordem é uma função f entre ordens que preserva e reflete a ordem. Exemplos dessas definições são encontrados facilmente. Por exemplo, a função que mapeia um número natural para seu sucessor é claramente monótona em relação à ordem natural. Qualquer função de uma ordem discreta, ou seja, de um conjunto ordenado pela ordem de identidade "=", também é monótona. O mapeamento de cada número natural para o número real correspondente dá um exemplo para uma incorporação de pedido. O complemento do conjunto em um conjunto de potência é um exemplo de função antítono.

Uma questão importante é quando duas ordens são "essencialmente iguais", ou seja, quando são iguais até a renomeação de elementos. Isomorfismos de ordem são funções que definem tal renomeação. Um isomorfismo de ordem é uma função bijetiva monótona que tem um inverso monótono. Isso equivale a ser uma incorporação de ordem sobrejetiva . Portanto, a imagem f ( P ) de uma incorporação de ordem é sempre isomórfica a P , o que justifica o termo "incorporação".

Um tipo mais elaborado de funções é fornecido pelas chamadas conexões de Galois . As conexões monótonas de Galois podem ser vistas como uma generalização dos isomorfismos de ordem, uma vez que constituem um par de duas funções em direções opostas, que "não são exatamente" inversas entre si, mas que ainda mantêm relações íntimas.

Outro tipo especial de auto-mapas em um poset são os operadores de fechamento , que não são apenas monotônicos, mas também idempotentes , ou seja, f ( x ) = f ( f ( x )) e extenso (ou inflacionário ), ou seja, x ≤ f ( x ). Eles têm muitas aplicações em todos os tipos de "fechamentos" que aparecem na matemática.

Além de serem compatíveis com as meras relações de ordem, as funções entre posets também podem se comportar bem com respeito a elementos e construções especiais. Por exemplo, ao falar sobre posets com menos elemento, pode parecer razoável considerar apenas funções monotônicas que preservam esse elemento, ou seja, que mapeiam menos elementos para menos elementos. Se infima binário ∧ existir, então uma propriedade razoável pode ser exigir que f ( x ∧ y ) = f ( x ) ∧ f ( y ), para todos os x e y . Todas essas propriedades, e na verdade muitas mais, podem ser compiladas sob o rótulo de funções de preservação de limite .

Finalmente, pode-se inverter a visão, mudando de funções de ordens para ordens de funções . Na verdade, as funções entre dois posets P e Q podem ser ordenadas por meio da ordem pontual . Para duas funções f e g , que têm f ≤ g , se f ( x ) ≤ g ( x ) para todos os elementos de x de P . Isso ocorre, por exemplo, na teoria de domínio , onde os espaços de função desempenham um papel importante.

Tipos especiais de pedidos

Muitas das estruturas que são estudadas na teoria da ordem empregam relações de ordem com outras propriedades. Na verdade, mesmo algumas relações que não são ordens parciais são de especial interesse. Principalmente o conceito de pedido antecipado deve ser mencionado. Uma pré-encomenda é uma relação reflexiva e transitiva, mas não necessariamente antissimétrica. Cada pré-encomenda induz uma relação de equivalência entre os elementos, onde a é equivalente ab , se a ≤ b e b ≤ a . As encomendas podem ser transformadas em encomendas, identificando todos os elementos que são equivalentes com relação a essa relação.

Vários tipos de pedidos podem ser definidos a partir de dados numéricos sobre os itens do pedido: um pedido total resulta da anexação de números reais distintos a cada item e do uso de comparações numéricas para ordenar os itens; em vez disso, se itens distintos puderem ter pontuações numéricas iguais, obtém-se uma ordenação estritamente fraca . Exigir que duas pontuações sejam separadas por um limite fixo antes que possam ser comparadas leva ao conceito de uma semi - ordem , enquanto permitir que o limite varie por item produz uma ordem de intervalo .

Uma propriedade adicional simples, mas útil, leva à chamada bem fundamentada , para a qual todos os subconjuntos não vazios têm um elemento mínimo. Generalizando as ordens de poço de linear para ordens parciais, um conjunto está bem parcialmente ordenado se todos os seus subconjuntos não vazios tiverem um número finito de elementos mínimos.

Muitos outros tipos de ordens surgem quando a existência de infima e suprema de certos conjuntos é garantida. Focando neste aspecto, geralmente referido como completude dos pedidos, obtém-se:

No entanto, pode-se ir ainda mais longe: se todos os infima finitos não vazios existem, então ∧ pode ser visto como uma operação binária total no sentido da álgebra universal . Assim, em uma rede, duas operações ∧ e ∨ estão disponíveis, e pode-se definir novas propriedades, dando identidades, como

x  ∧ ( y  ∨  z ) = ( x  ∧  y ) ∨ ( x  ∧  z ), para todos os x , y e z .

Essa condição é chamada de distributividade e dá origem a redes distributivas . Existem algumas outras leis de distributividade importantes que são discutidas no artigo sobre a teoria da distributividade da ordem . Algumas estruturas de pedido adicionais que muitas vezes são especificadas por meio de operações algébricas e identidades de definição são

que ambos introduzem uma nova operação chamada negação . Ambas as estruturas desempenham um papel na lógica matemática e, especialmente, as álgebras booleanas têm aplicações importantes na ciência da computação . Finalmente, várias estruturas em matemática combinam ordens com operações ainda mais algébricas, como no caso dos quantais , que permitem a definição de uma operação de adição.

Existem muitas outras propriedades importantes de posets. Por exemplo, um poset é localmente finito se cada intervalo fechado [ a , b ] nele for finito . Posets localmente finitos dão origem a álgebras de incidência que, por sua vez, podem ser usadas para definir a característica de Euler de posets limitados.

Subconjuntos de conjuntos ordenados

Em um conjunto ordenado, pode-se definir muitos tipos de subconjuntos especiais com base em um determinado pedido. Um exemplo simples são os conjuntos superiores ; ou seja, conjuntos que contêm todos os elementos que estão acima deles no pedido. Formalmente, o fechamento superior de um conjunto S em um poset P é dado pelo conjunto { x em P | existe algum y em S com y ≤ x }. Um conjunto que é igual ao seu fechamento superior é chamado de conjunto superior. Conjuntos inferiores são definidos duplamente.

Subconjuntos inferiores mais complicados são ideais , que têm a propriedade adicional de que cada dois de seus elementos têm um limite superior dentro do ideal. Seus duais são dados por filtros . Um conceito relacionado é o de um subconjunto direcionado , que, como um ideal, contém limites superiores de subconjuntos finitos, mas não precisa ser um conjunto inferior. Além disso, muitas vezes é generalizado para conjuntos pré-encomendados.

Um subconjunto que é - como um subposet - ordenado linearmente é chamado de cadeia . A noção oposta, o antichain , é um subconjunto que não contém dois elementos comparáveis; ou seja, essa é uma ordem discreta.

Áreas matemáticas relacionadas

Embora a maioria das áreas matemáticas use ordens de uma ou outra maneira, também existem algumas teorias que têm relações que vão muito além da mera aplicação. Junto com seus principais pontos de contato com a teoria da ordem, alguns deles serão apresentados a seguir.

Álgebra universal

Como já mencionado, os métodos e formalismos da álgebra universal são uma ferramenta importante para muitas considerações teóricas de ordem. Além de formalizar ordens em termos de estruturas algébricas que satisfaçam certas identidades, também se podem estabelecer outras conexões com a álgebra. Um exemplo é dado pela correspondência entre álgebras booleanas e anéis booleanos . Outras questões dizem respeito à existência de construções livres , como redes livres baseadas em um determinado conjunto de geradores. Além disso, os operadores de fechamento são importantes no estudo da álgebra universal.

Topologia

Na topologia , os pedidos desempenham um papel muito importante. Na verdade, a coleção de conjuntos abertos fornece um exemplo clássico de uma rede completa, mais precisamente uma álgebra de Heyting completa (ou " quadro " ou " localidade "). Filtros e redes são noções intimamente relacionadas à teoria da ordem e o operador de fechamento de conjuntos pode ser usado para definir uma topologia. Além dessas relações, a topologia pode ser vista apenas em termos de redes de conjuntos abertos, o que leva ao estudo da topologia sem sentido . Além disso, uma pré-ordem natural de elementos do conjunto subjacente de uma topologia é dada pela chamada ordem de especialização , que é na verdade uma ordem parcial se a topologia for T 0 .

Por outro lado, na teoria da ordem, muitas vezes se faz uso de resultados topológicos. Existem várias maneiras de definir subconjuntos de uma ordem que podem ser considerados como conjuntos abertos de uma topologia. Considerando topologias em um poset ( X , ≤) que, por sua vez, induzem ≤ como sua ordem de especialização, a melhor topologia é a topologia de Alexandrov , dada por considerar todos os conjuntos superiores como abertos. Por outro lado, a topologia mais grosseira que induz a ordem de especialização é a topologia superior , tendo os complementos dos principais ideais (isto é, conjuntos da forma { y em X | y ≤ x } para algum x ) como uma subbase . Além disso, uma topologia com ordem de especialização ≤ pode ser consistente com a ordem , o que significa que seus conjuntos abertos são "inacessíveis por suprema direcionado" (com relação a ≤). A topologia consistente de melhor ordem é a topologia Scott , que é mais grosseira do que a topologia Alexandrov. Uma terceira topologia importante neste espírito é a topologia de Lawson . Existem conexões estreitas entre essas topologias e os conceitos da teoria da ordem. Por exemplo, uma função preserva a suprema direcionada se e somente se ela for contínua em relação à topologia de Scott (por esta razão, essa propriedade teórica de ordem também é chamada de continuidade de Scott ).

Teoria da categoria

A visualização de pedidos com diagramas de Hasse tem uma generalização direta: em vez de exibir elementos menores abaixo dos maiores, a direção do pedido também pode ser representada dando direções para as arestas de um gráfico. Dessa forma, cada ordem é vista como equivalente a um grafo acíclico direcionado , onde os nós são os elementos do poset e há um caminho direcionado de a para b se e somente se a ≤ b . Deixando de lado a exigência de ser acíclico, também é possível obter todas as encomendas.

Quando equipados com todas as arestas transitivas, esses gráficos, por sua vez, são apenas categorias especiais , onde os elementos são objetos e cada conjunto de morfismos entre dois elementos é, no máximo, um único. Funções entre ordens tornam-se functores entre categorias. Muitas idéias da teoria da ordem são apenas conceitos da teoria das categorias em pequena escala. Por exemplo, um mínimo é apenas um produto categórico . De maneira mais geral, pode-se capturar infima e suprema sob a noção abstrata de um limite categórico (ou colimit , respectivamente). Outro lugar onde ocorrem ideias categóricas é o conceito de uma conexão de Galois (monótona) , que é exatamente o mesmo que um par de functores adjuntos .

Mas a teoria das categorias também tem seu impacto na teoria da ordem em uma escala maior. Classes de posets com funções apropriadas, conforme discutido acima, formam categorias interessantes. Freqüentemente, também se pode definir construções de pedidos, como o pedido do produto , em termos de categorias. Outras percepções resultam quando categorias de ordens são encontradas categoricamente equivalentes a outras categorias, por exemplo, de espaços topológicos. Essa linha de pesquisa leva a vários teoremas de representação , geralmente coletados sob o rótulo de dualidade de Stone .

História

Como explicado antes, as ordens são onipresentes na matemática. No entanto, as primeiras menções explícitas de ordens parciais provavelmente não foram encontradas antes do século XIX. Nesse contexto, as obras de George Boole são de grande importância. Além disso, os trabalhos de Charles Sanders Peirce , Richard Dedekind e Ernst Schröder também consideram os conceitos da teoria da ordem.

Contribuintes para geometria ordenada foram listados em um livro de 1961 :

Foi Pasch, em 1882, quem primeiro apontou que uma geometria de ordem poderia ser desenvolvida sem referência à medição. Seu sistema de axiomas foi gradualmente aprimorado por Peano (1889), Hilbert (1899) e Veblen (1904).

-  HSM Coxeter , Introdução à Geometria

Em 1901, Bertrand Russell escreveu "Sobre a noção de ordem" explorando os fundamentos da ideia por meio da geração de séries . Ele voltou ao tópico na parte IV de The Principles of Mathematics (1903). Russell observou que relação binária aRb tem um processo de sentido a partir de um de b , com a relação inverso tendo um sentido oposto, e sentido "é a fonte de ordem e série". (p 95) Ele reconhece que Immanuel Kant estava "ciente da diferença entre a oposição lógica e a oposição do positivo e do negativo". Ele escreveu que Kant merece crédito, pois "primeiro chamou a atenção para a importância lógica das relações assimétricas".

O termo poset como uma abreviatura para conjunto parcialmente ordenado foi cunhado por Garrett Birkhoff na segunda edição de seu influente livro Lattice Theory .

Veja também

Notas

Referências

links externos