De onde vem a matemática -Where Mathematics Comes From

De onde vem a matemática
De onde vem a matemática.jpg
Autor George Lakoff
Rafael E. Núñez
Sujeito Cognição numérica
Publicados 2000
Páginas 492
ISBN 978-0-465-03771-1
OCLC 44045671

De onde vem a matemática: como a mente encarnada traz a matemática (doravante WMCF ) é um livro de George Lakoff , um linguista cognitivo , e Rafael E. Núñez , um psicólogo . Publicado em 2000, o WMCF busca fundar uma ciência cognitiva da matemática , uma teoria damatemática incorporada com base na metáfora conceitual .

Definição de matemática do WMCF

A matemática constitui aquela parte do sistema conceitual humano que é especial da seguinte maneira:

"É preciso, consistente, estável ao longo do tempo e das comunidades humanas, simbolizável, calculável, generalizável, universalmente disponível, consistente em cada um de seus assuntos e eficaz como uma ferramenta geral para descrição, explicação e previsão em um vasto número de diários atividades, [variando de] esportes, a construção, negócios, tecnologia e ciência. " ( WMCF , pp. 50, 377)

Nikolay Lobachevsky disse: "Não existe nenhum ramo da matemática, por mais abstrato que seja, que um dia não possa ser aplicado aos fenômenos do mundo real." Um tipo comum de processo de combinação conceitual parece se aplicar a toda a procissão matemática.

Cognição humana e matemática

O plano complexo: uma metáfora visual da ideia abstrata de um número complexo , que permite que operações em números complexos sejam visualizadas como movimentos simples através do espaço comum

O propósito declarado de Lakoff e Núñez é começar a lançar as bases para uma compreensão verdadeiramente científica da matemática, baseada em processos comuns a toda cognição humana. Eles descobriram que quatro processos distintos, mas relacionados, estruturam metaforicamente a aritmética básica: coleção de objetos, construção de objetos, usando uma régua de medição e movendo-se ao longo de um caminho.

WMCF se baseia em livros anteriores de Lakoff (1987) e Lakoff e Johnson (1980, 1999), que analisam tais conceitos de metáfora e esquemas de imagem da ciência cognitiva de segunda geração . Alguns dos conceitos desses livros anteriores, como as idéias técnicas interessantes de Lakoff (1987), estão ausentes do WMCF .

Lakoff e Núñez sustentam que a matemática resulta do aparelho cognitivo humano e, portanto, deve ser entendida em termos cognitivos. O WMCF defende (e inclui alguns exemplos de) uma análise de ideias cognitivas da matemática que analisa as ideias matemáticas em termos de experiências humanas, metáforas, generalizações e outros mecanismos cognitivos que as originam. Uma educação matemática padrão não desenvolve tais técnicas de análise de ideias porque não leva em consideração A) quais estruturas da mente permitem que ela faça matemática ou B) a filosofia da matemática .

Lakoff e Núñez começam revisando a literatura psicológica, concluindo que os seres humanos parecem ter uma capacidade inata, chamada de subitizing , de contar, adicionar e subtrair até cerca de 4 ou 5. Eles documentam essa conclusão revisando a literatura publicada recentemente. décadas, descrevendo experiências com assuntos infantis. Por exemplo, bebês ficam rapidamente excitados ou curiosos quando são apresentados a situações "impossíveis", como ter três brinquedos aparecendo quando apenas dois estavam inicialmente presentes.

Os autores argumentam que a matemática vai muito além desse nível elementar devido a um grande número de construções metafóricas . Por exemplo, a posição pitagórica de que tudo é número, e a crise de confiança associada que surgiu com a descoberta da irracionalidade da raiz quadrada de dois , surge unicamente de uma relação metafórica entre o comprimento da diagonal de um quadrado, e o número possível de objetos.

Muito do WMCF lida com os conceitos importantes de infinito e de processos limite, procurando explicar como humanos finitos que vivem em um mundo finito podem conceber o infinito real . Portanto, muito do WMCF é, na verdade, um estudo dos fundamentos epistemológicos do cálculo . Lakoff e Núñez concluem que, embora o infinito potencial não seja metafórico, o infinito real o é. Além disso, eles consideram todas as manifestações do infinito real como instâncias do que eles chamam de "Metáfora Básica do Infinito", representada pela sequência sempre crescente 1, 2, 3, ...

WMCF rejeita enfaticamente a filosofia platônica da matemática . Eles enfatizam que tudo o que sabemos e podemos saber é a matemática humana , a matemática que surge do intelecto humano. A questão de saber se existe uma matemática "transcendente" independente do pensamento humano é uma questão sem sentido, como perguntar se as cores são transcendentes ao pensamento humano - as cores são apenas comprimentos de onda de luz variáveis, é nossa interpretação dos estímulos físicos que as tornam cores.

WMCF (p. 81) também critica a ênfase que os matemáticos colocam no conceito de fechamento . Lakoff e Núñez argumentam que a expectativa de fechamento é um artefato da capacidade da mente humana de relacionar conceitos fundamentalmente diferentes por meio de metáforas.

O WMCF se preocupa principalmente em propor e estabelecer uma visão alternativa da matemática, fundamentando o campo nas realidades da biologia e da experiência humanas. Não é um trabalho de matemática técnica ou filosofia. Lakoff e Núñez não são os primeiros a argumentar que as abordagens convencionais da filosofia da matemática são falhas. Por exemplo, eles não parecem tão familiarizados com o conteúdo de Davis e Hersh (1981), embora o livro reconheça calorosamente o apoio de Hersh.

Lakoff e Núñez citam Saunders Mac Lane (o inventor, com Samuel Eilenberg , da teoria das categorias ) para apoiar sua posição. Mathematics, Form and Function (1986), uma visão geral da matemática destinada aos filósofos, propõe que os conceitos matemáticos são, em última análise, fundamentados nas atividades humanas comuns, principalmente nas interações com o mundo físico.

Os educadores se interessaram pelo que o WMCF sugere sobre como a matemática é aprendida e por que os alunos acham alguns conceitos elementares mais difíceis do que outros.

No entanto, mesmo de uma perspectiva educacional, o WMCF ainda é problemático. Do ponto de vista da teoria da metáfora conceitual, as metáforas residem em um domínio diferente, o abstrato, daquele do "mundo real", o concreto. Em outras palavras, apesar de sua afirmação de que a matemática é humana, o conhecimento matemático estabelecido - que é o que aprendemos na escola - é considerado e tratado como abstrato, completamente separado de sua origem física. Não pode explicar a maneira como os alunos podem acessar esse conhecimento.

WMCF também é criticado por sua abordagem monista. Em primeiro lugar, ele ignora o fato de que a experiência sensório-motora sobre a qual nossa estrutura linguística - portanto, a matemática - é assumida como baseada pode variar entre culturas e situações. Em segundo lugar, a matemática com a qual o WMCF se preocupa é "quase inteiramente ... enunciados padrão em livros e currículos", que é o corpo de conhecimento mais bem estabelecido. É negligente com a natureza dinâmica e diversa da história da matemática.

A abordagem centrada no logotipo do WMCF é outro alvo para os críticos. Embora esteja predominantemente interessado na associação entre linguagem e matemática, não leva em conta como os fatores não linguísticos contribuem para o surgimento de ideias matemáticas (por exemplo, Ver Radford, 2009; Rotman, 2008).

Exemplos de metáforas matemáticas

Metáforas conceituais descritas no WMCF , além da Metáfora Básica do Infinito, incluem:

O raciocínio matemático requer variáveis ​​que abrangem algum universo de discurso , de modo que podemos raciocinar sobre generalidades em vez de apenas sobre particulares. WMCF argumenta que o raciocínio com tais variáveis ​​depende implicitamente do que chama de Metonímia Fundamental da Álgebra.

Exemplo de ambigüidade metafórica

WMCF (p. 151) inclui o seguinte exemplo do que os autores chamam de "ambigüidade metafórica". Pegue o conjunto Em seguida, recorde dois bits da terminologia padrão da teoria dos conjuntos elementares :

  1. A construção recursiva dos números naturais ordinais , em que 0 é , e é
  2. O par ordenado ( a, b ), definido como

Por (1), A é o conjunto {1,2}. Mas (1) e (2) juntos dizem que A também é o par ordenado (0,1). Ambas as afirmações não podem ser corretas; o par ordenado (0,1) e o par não ordenado {1,2} são conceitos totalmente distintos. Lakoff e Johnson (1999) chamam essa situação de "metaforicamente ambígua". Este exemplo simples questiona quaisquer fundamentos platônicos para a matemática.

Embora (1) e (2) acima sejam reconhecidamente canônicos, especialmente dentro da teoria dos conjuntos de consenso conhecida como axiomatização de Zermelo-Fraenkel , o WMCF não deixa transparecer que são apenas uma das várias definições que foram propostas desde o início da teoria dos conjuntos . Por exemplo, Frege , Principia Mathematica e New Foundations (um corpo de teoria de conjuntos axiomática iniciado por Quine em 1937) definem cardinais e ordinais como classes de equivalência sob as relações de equinumerosidade e similaridade , de modo que esse enigma não surge. Na teoria dos conjuntos de Quinian, A é simplesmente uma instância do número 2. Por razões técnicas, definir o par ordenado como em (2) acima é complicado na teoria dos conjuntos de Quinian. Duas soluções foram propostas:

  • Uma definição teórica do conjunto variante do par ordenado mais complicada do que a usual;
  • Tomando pares ordenados como primitivos.

O Romance da Matemática

O "Romance de Matemática" é WMCF ' termo light-hearted s para um ponto de vista filosófico perene sobre a matemática que os autores descrevem e, em seguida, descartar como um mito intelectual:

  • A matemática é transcendente, ou seja, ela existe independentemente dos seres humanos e estrutura nosso universo físico real e qualquer universo possível. A matemática é a linguagem da natureza e é a estrutura conceitual primária que teríamos em comum com os alienígenas extraterrestres, se é que existem.
  • A prova matemática é a porta de entrada para um reino de verdade transcendente.
  • O raciocínio é lógico e a lógica é essencialmente matemática. Conseqüentemente, a matemática estrutura todos os raciocínios possíveis.
  • Como a matemática existe independentemente dos seres humanos e o raciocínio é essencialmente matemático, a própria razão está desencarnada. Portanto, a inteligência artificial é possível, pelo menos em princípio.

É uma questão em aberto se o WMCF acabará por provar ser o início de uma nova escola na filosofia da matemática . Portanto, o valor principal do WMCF até agora pode ser crítico: sua crítica do platonismo e do romantismo na matemática.

resposta crítica

Muitos matemáticos atuantes resistem à abordagem e às conclusões de Lakoff e Núñez. Resenhas de matemáticos do WMCF em periódicos profissionais, embora muitas vezes respeitem seu foco em estratégias conceituais e metáforas como caminhos para a compreensão da matemática, fizeram exceção a alguns dos argumentos filosóficos do WMCF , alegando que as declarações matemáticas têm significados "objetivos" duradouros . Por exemplo, o Último Teorema de Fermat significa exatamente o que significava quando Fermat o propôs inicialmente em 1664. Outros revisores apontaram que várias estratégias conceituais podem ser empregadas em conexão com o mesmo termo matematicamente definido, muitas vezes pela mesma pessoa (um ponto que é compatível com a visão de que rotineiramente entendemos o 'mesmo' conceito com diferentes metáforas). A metáfora e a estratégia conceitual não são iguais à definição formal que os matemáticos empregam. No entanto, WMCF aponta que as definições formais são construídas usando palavras e símbolos que têm significado apenas em termos da experiência humana.

As críticas ao WMCF incluem o humorístico:

"É difícil para mim conceber uma metáfora para um número real elevado a uma potência complexa, mas se houver uma, com certeza gostaria de vê-la." - Joseph Auslander

e os fisicamente informados:

"Mas a análise deles deixa pelo menos algumas perguntas insuficientemente respondidas. Por um lado, os autores ignoram o fato de que os cérebros não apenas observam a natureza, mas também fazem parte da natureza. Talvez a matemática que os cérebros inventam tome a forma que tem porque a matemática ajudou na formação dos cérebros em primeiro lugar (por meio da operação de leis naturais que restringem a evolução da vida). Além disso, uma coisa é ajustar equações a aspectos da realidade que já são conhecidos. É outra coisa para essa matemática falam de fenômenos nunca antes suspeitados. Quando as equações de Paul Dirac que descrevem os elétrons produziram mais de uma solução, ele presumiu que a natureza deve possuir outras partículas, agora conhecidas como antimatéria. Mas os cientistas só descobriram essas partículas depois que a matemática de Dirac disse que elas deveriam existir. Se a matemática é uma invenção humana, a natureza parece saber o que seria inventado. "

Lakoff construiu sua reputação ligando a linguística às ciências cognitivas e à análise de metáforas . Núñez, educado na Suíça , é um produto da escola de psicologia cognitiva de Jean Piaget como base para a lógica e a matemática. Núñez pensou muito sobre os fundamentos da análise real , os números reais e complexos e a metáfora básica do infinito. Esses tópicos, entretanto, por mais valiosos que sejam, fazem parte da superestrutura da matemática. As ciências cognitivas deveriam se interessar mais pelos fundamentos da matemática . E, de fato, os autores prestam bastante atenção desde o início à lógica , à álgebra booleana e aos axiomas de Zermelo-Fraenkel , até mesmo se demorando um pouco na teoria dos grupos . Mas nenhum dos autores é bem treinado em lógica , filosofia da teoria dos conjuntos, método axiomático , metamatemática e teoria do modelo . Nem o WMCF diz o suficiente sobre a derivação de sistemas numéricos (os axiomas de Peano não são mencionados), álgebra abstrata , equivalência e relações de ordem , mereologia , topologia e geometria .

Lakoff e Núñez tendem a rejeitar as opiniões negativas que os matemáticos expressaram sobre o WMCF , porque seus críticos não apreciam os insights da ciência cognitiva. Lakoff e Núñez afirmam que seu argumento só pode ser entendido usando as descobertas das últimas décadas sobre a maneira como o cérebro humano processa a linguagem e o significado. Eles argumentam que quaisquer argumentos ou críticas que não estejam fundamentados neste entendimento não podem abordar o conteúdo do livro.

Foi apontado que não está claro que o WMCF estabeleça que a alegação de que "vida alienígena inteligente teria habilidade matemática" é um mito. Para fazer isso, seria necessário mostrar que inteligência e habilidade matemática são separáveis, e isso não foi feito. Na Terra, inteligência e habilidade matemática parecem andar de mãos dadas em todas as formas de vida, como apontado por Keith Devlin entre outros. Os autores do WMCF não explicaram como essa situação seria (ou poderia ser) diferente em qualquer outro lugar.

Lakoff e Núñez também parecem não apreciar até que ponto os intuicionistas e construtivistas anteciparam seu ataque ao Romance da Matemática (Platônica). Brouwer , o fundador do ponto de vista intuicionista / construtivista , em sua dissertação On the Foundation of Mathematics , argumentou que a matemática era uma construção mental, uma criação livre da mente e totalmente independente da lógica e da linguagem. Ele continua a repreender os formalistas por construir estruturas verbais que são estudadas sem interpretação intuitiva. A linguagem simbólica não deve ser confundida com a matemática; reflete, mas não contém, a realidade matemática.

Resumindo

WMCF (pp. 378-79) conclui com alguns pontos-chave, alguns dos quais seguem. A matemática surge de nossos corpos e cérebros, de nossas experiências cotidianas e das preocupações das sociedades e culturas humanas. Isto é:

  • O resultado das capacidades cognitivas normais do adulto, em particular a capacidade de metáfora conceitual, e como tal é um universal humano. A capacidade de construir metáforas conceituais tem base neurológica e permite aos humanos raciocinar sobre um domínio usando a linguagem e os conceitos de outro domínio. A metáfora conceitual é o que possibilitou que a matemática surgisse das atividades cotidianas e o que permite que a matemática cresça por um processo contínuo de analogia e abstração;
  • Simbólico , facilitando enormemente o cálculo preciso;
  • Não transcendente, mas fruto da evolução e cultura humanas , às quais deve sua eficácia. Durante a experiência do mundo, uma conexão com as idéias matemáticas ocorre dentro da mente humana;
  • Um sistema de conceitos humanos fazendo uso extraordinário das ferramentas comuns da cognição humana;
  • Uma criação ilimitada de seres humanos, que permanecem responsáveis ​​por mantê-la e estendê-la;
  • Um dos maiores produtos da imaginação humana coletiva e um magnífico exemplo da beleza, riqueza, complexidade, diversidade e importância das idéias humanas.

A abordagem cognitiva dos sistemas formais , conforme descrito e implementado no WMCF , não precisa ser confinada à matemática, mas também deve ser frutífera quando aplicada à lógica formal e à filosofia formal, como a teoria de objetos abstratos de Edward Zalta . Lakoff e Johnson (1999) empregam proveitosamente a abordagem cognitiva para repensar uma boa parte da filosofia da mente , epistemologia , metafísica e história das idéias .

Veja também

Notas de rodapé

Referências

  • Davis, Philip J. e Reuben Hersh , 1999 (1981). A experiência matemática . Mariner Books. Publicado pela primeira vez por Houghton Mifflin.
  • George Lakoff , 1987. Women, Fire and Dangerous Things . Univ. da Chicago Press.
  • ------ e Mark Johnson , 1999. Philosophy in the Flesh . Livros básicos.
  • ------ e Rafael Núñez , 2000, Where Mathematics Comes From . Livros básicos. ISBN  0-465-03770-4
  • John Randolph Lucas , 2000. The Conceptual Roots of Mathematics . Routledge.
  • Saunders Mac Lane , 1986. Matemática: Forma e Função . Springer Verlag.

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