Boa estrutura - Fine structure

Franjas de interferência , mostrando estrutura fina (divisão) de uma fonte de deutério resfriada , vista através de um interferômetro Fabry-Pérot .

Na física atômica , a estrutura fina descreve a divisão das linhas espectrais dos átomos devido ao spin do elétron e às correções relativísticas da equação de Schrödinger não relativística . Foi medido pela primeira vez com precisão para o átomo de hidrogênio por Albert A. Michelson e Edward W. Morley em 1887, estabelecendo a base para o tratamento teórico de Arnold Sommerfeld , introduzindo a constante de estrutura fina .

Fundo

Estrutura bruta

A estrutura bruta dos espectros lineares são os espectros lineares previstos pela mecânica quântica de elétrons não relativísticos sem spin. Para um átomo hidrogênio , os níveis de energia da estrutura bruta dependem apenas do número quântico principal n . Porém, um modelo mais preciso leva em consideração os efeitos relativísticos e de spin, que quebram a degeneração dos níveis de energia e dividem as linhas espectrais. A escala da divisão da estrutura fina em relação às energias da estrutura bruta é da ordem de ( Zα ) ² , onde Z é o número atômico e α é a constante da estrutura fina , um número adimensional igual a aproximadamente 1/137.

Correções Relativísticas

As correções de energia de estrutura fina podem ser obtidas usando a teoria de perturbação . Para realizar este cálculo, deve-se adicionar os três termos corretivos ao hamiltoniano : a correção relativística de ordem principal para a energia cinética, a correção devido ao acoplamento spin-órbita e o termo Darwin proveniente do movimento flutuante quântico ou zitterbewegung do elétron .

Essas correções também podem ser obtidas a partir do limite não relativístico da equação de Dirac , uma vez que a teoria de Dirac incorpora naturalmente a relatividade e as interações de spin .

O átomo de hidrogênio

Esta seção discute as soluções analíticas para o átomo de hidrogênio, pois o problema é analiticamente solucionável e é o modelo básico para cálculos de nível de energia em átomos mais complexos.

Correção relativística de energia cinética

A estrutura bruta assume que o termo de energia cinética do Hamiltoniano assume a mesma forma que na mecânica clássica , que para um único elétron significa

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {0} = {\ frac {p ^ {2}} {2m_ {e}}} + V}$

onde V é a energia potencial , é o momento e é a massa de repouso do elétron . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m_ {e}}$

No entanto, ao considerar uma teoria da natureza mais precisa via relatividade especial , devemos usar uma forma relativística da energia cinética,

${\ displaystyle T = {\ sqrt {p ^ {2} c ^ {2} + m_ {e} ^ {2} c ^ {4}}} - m_ {e} c ^ {2} = m_ {e} c ^ {2} \ left [{\ sqrt {1 + {\ frac {p ^ {2}} {m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}}}} - 1 \ right]}$

onde o primeiro termo é a energia relativística total, e o segundo termo é a energia de repouso do elétron ( é a velocidade da luz ). Expandindo a raiz quadrada para grandes valores de , encontramos ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle T = {\ frac {p ^ {2}} {2m_ {e}}} - {\ frac {p ^ {4}} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} + \ cdots}$

Embora haja um número infinito de termos nesta série, os últimos termos são muito menores do que os anteriores e, portanto, podemos ignorar todos, exceto os dois primeiros. Uma vez que o primeiro termo acima já faz parte do hamiltoniano clássico, a correção de primeira ordem para o hamiltoniano é

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} '= - {\ frac {p ^ {4}} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}}}$

Usando isso como uma perturbação , podemos calcular as correções de energia de primeira ordem devido aos efeitos relativísticos.

${\ displaystyle E_ {n} ^ {(1)} = \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert {\ mathcal {H}} '\ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle = - {\ frac {1} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert p ^ {4} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle = - {\ frac {1} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert p ^ {2} p ^ {2} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle}$

onde está a função de onda imperturbada. Recordando o hamiltoniano imperturbado, vemos ${\ displaystyle \ psi ^ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} {\ mathcal {H}} ^ {0} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle & = E_ {n} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \\\ left ({\ frac {p ^ {2}} {2m_ {e}}} + V \ right) \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle & = E_ {n } \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \\ p ^ {2} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle & = 2m_ {e} (E_ {n} -V) \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \ end {alinhado}}}$

Podemos usar este resultado para calcular ainda mais a correção relativística:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} E_ {n} ^ {(1)} & = - {\ frac {1} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert p ^ {2} p ^ {2} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \\ E_ {n} ^ {(1)} & = - {\ frac {1} {8m_ {e} ^ {3} c ^ {2}}} \ left \ langle \ psi ^ {0} \ right \ vert (2m_ {e}) ^ {2} (E_ {n} -V ) ^ {2} \ left \ vert \ psi ^ {0} \ right \ rangle \\ E_ {n} ^ {(1)} & = - {\ frac {1} {2m_ {e} c ^ {2} }} \ left (E_ {n} ^ {2} -2E_ {n} \ langle V \ rangle + \ left \ langle V ^ {2} \ right \ rangle \ right) \ end {alinhado}}}$

Para o átomo de hidrogênio,

${\ displaystyle V (r) = {\ frac {-e ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r}}}$ ,, e , ${\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {1} {r}} \ right \ rangle = {\ frac {1} {a_ {0} n ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ left \ langle {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ right \ rangle = {\ frac {1} {(l + 1/2) n ^ {3} a_ {0} ^ {2}}}}$

onde é a carga elementar , é a permissividade do vácuo , é o raio de Bohr , é o número quântico principal , é o número quântico azimutal e é a distância do elétron do núcleo. Portanto, a correção relativística de primeira ordem para o átomo de hidrogênio é ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} E_ {n} ^ {(1)} & = - {\ frac {1} {2m_ {e} c ^ {2}}} \ left (E_ {n} ^ {2 } + 2E_ {n} {\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {1} {a_ {0} n ^ {2}}} + {\ frac {1} {16 \ pi ^ {2} \ varepsilon _ {0} ^ {2}}} {\ frac {e ^ {4}} {(l + {\ frac {1} {2}}) n ^ { 3} a_ {0} ^ {2}}} \ direita) \\ & = - {\ frac {E_ {n} ^ {2}} {2m_ {e} c ^ {2}}} \ esquerda ({\ frac {4n} {l + {\ frac {1} {2}}}} - 3 \ direita) \ end {alinhado}}}$

onde usamos:

${\ displaystyle E_ {n} = - {\ frac {e ^ {2}} {8 \ pi \ varepsilon _ {0} a_ {0} n ^ {2}}}}$

No cálculo final, a ordem de magnitude da correção relativística para o estado fundamental é . ${\ displaystyle -9,056 \ times 10 ^ {- 4} \ {\ text {eV}}}$

Acoplamento spin-órbita

Para um átomo semelhante ao hidrogênio com prótons ( para hidrogênio), momento angular orbital e spin do elétron , o termo spin-órbita é dado por: ${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle Z = 1}$${\ displaystyle {\ vec {L}}}$${\ displaystyle {\ vec {S}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {SO}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ { 0}}} \ right) \ left ({\ frac {g_ {s}} {2m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} \ right) {\ frac {{\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}}} {r ^ {3}}}}$

onde está o fator g de spin . ${\ displaystyle g_ {s}}$

A correção de spin- órbita pode ser entendida mudando do quadro de referência padrão (onde o elétron orbita o núcleo ) para um onde o elétron é estacionário e o núcleo em vez disso o orbita. Neste caso, o núcleo orbital funciona como um loop de corrente efetivo, que por sua vez irá gerar um campo magnético. No entanto, o próprio elétron tem um momento magnético devido ao seu momento angular intrínseco . Os dois vectores magnéticos, e casal juntos para que haja um certo custo de energia em função da sua orientação relativa. Isso dá origem à correção de energia da forma ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ mu}} _ {s}}$

${\ displaystyle \ Delta E _ {\ mathrm {SO}} = \ xi (r) {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}}}$

Observe que um fator importante de 2 deve ser adicionado ao cálculo, chamado de precessão de Thomas , que vem do cálculo relativístico que muda de volta para o referencial do elétron a partir do referencial do núcleo.

Desde a

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ left \ langle {\ frac {1} {r ^ {3}}} \ right \ rangle & = {\ frac {Z ^ {3}} {n ^ {3} a_ {0} ^ {3}}} {\ frac {1} {l \ left (l + {\ frac {1} {2}} \ right) (l + 1)}} \\\ left \ langle {\ vec {L}} \ cdot {\ vec {S}} \ right \ rangle & = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2}} [j (j + 1) -l (l + 1) -s (s + 1)] \ end {alinhado}}}$

o valor esperado para o hamiltoniano é:

${\ displaystyle \ left \ langle {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {SO}} \ right \ rangle = {\ frac {E_ {n} {} ^ {2}} {m_ {e} c ^ { 2}}} ~ n ~ {\ frac {j (j + 1) -l (l + 1) - {\ frac {3} {4}}} {l \ left (l + {\ frac {1} {2 }} \ right) (l + 1)}}}$

Portanto, a ordem de magnitude do acoplamento spin-orbital é . ${\ displaystyle {\ frac {Z ^ {4}} {n ^ {3} (j + 1/2)}} 10 ^ {- 5} {\ text {eV}}}$

Quando campos magnéticos externos fracos são aplicados, o acoplamento spin-órbita contribui para o efeito Zeeman .

Termo de Darwin

Há um último termo na expansão não relativística da equação de Dirac . É conhecido como o termo Darwin, pois foi derivado pela primeira vez por Charles Galton Darwin e é dado por:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {Darwin}} & = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {8m_ {e} ^ {2} c ^ {2 }}} \, 4 \ pi \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) \ delta ^ {3} \ left ({\ vec {r }} \ right) \\\ langle {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {Darwin}} \ rangle & = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {8m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} \, 4 \ pi \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varejpsilon _ {0}}} \ right) | \ psi (0) | ^ {2} \ \\ psi (0) & = 0 {\ text {for}} l> 0 \\\ psi (0) & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \, 2 \ left ( {\ frac {Z} {na_ {0}}} \ right) ^ {\ frac {3} {2}} {\ text {for}} l = 0 \\ {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {Darwin}} & = {\ frac {2n} {m_ {e} c ^ {2}}} \, E_ {n} ^ {2} \ end {alinhado}}}$

O termo Darwin afeta apenas os orbitais s. Isso ocorre porque a função de onda de um elétron com desaparece na origem, portanto, a função delta não tem efeito. Por exemplo, ele dá ao orbital 2s a mesma energia do orbital 2p, aumentando o estado 2s em ${\ displaystyle l> 0}$ 9,057 × 10 ⁻⁵  eV .

O termo Darwin muda o potencial efetivo no núcleo. Pode ser interpretado como uma mancha da interação eletrostática entre o elétron e o núcleo devido a zitterbewegung , ou oscilações quânticas rápidas, do elétron. Isso pode ser demonstrado por um pequeno cálculo.

As flutuações quânticas permitem a criação de pares virtuais de elétron-pósitron com uma vida útil estimada pelo princípio da incerteza . A distância que as partículas podem se mover durante esse tempo é o comprimento de onda Compton . Os elétrons do átomo interagem com esses pares. Isso produz uma posição flutuante do elétron . Usando uma expansão de Taylor , o efeito sobre o potencial pode ser estimado: ${\ displaystyle \ Delta t \ approx \ hbar / \ Delta E \ approx \ hbar / mc ^ {2}}$${\ displaystyle \ xi \ approx c \ Delta t \ approx \ hbar / mc = \ lambda _ {c}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} + {\ vec {\ xi}}}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle U ({\ vec {r}} + {\ vec {\ xi}}) \ approx U ({\ vec {r}}) + \ xi \ cdot \ nabla U ({\ vec {r}} ) + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {ij} \ xi _ {i} \ xi _ {j} \ parcial _ {i} \ parcial _ {j} U ({\ vec {r} })}$

Média sobre as flutuações ${\ displaystyle {\ vec {\ xi}}}$

${\ displaystyle {\ overline {\ xi}} = 0, \ quad {\ overline {\ xi _ {i} \ xi _ {j}}} = {\ frac {1} {3}} {\ overline {{ \ vec {\ xi}} ^ {2}}} \ delta _ {ij},}$

dá o potencial médio

${\ displaystyle {\ overline {U \ left ({\ vec {r}} + {\ vec {\ xi}} \ right)}} = U \ left ({\ vec {r}} \ right) + {\ frac {1} {6}} {\ overline {{\ vec {\ xi}} ^ {2}}} \ nabla ^ {2} U \ left ({\ vec {r}} \ right).}$

Aproximando , isso produz a perturbação do potencial devido às flutuações: ${\ displaystyle {\ overline {{\ vec {\ xi}} ^ {2}}} \ approx \ lambda _ {c} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ delta U \ approx {\ frac {1} {6}} \ lambda _ {c} ^ {2} \ nabla ^ {2} U = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {6m_ { e} ^ {2} c ^ {2}}} \ nabla ^ {2} U}$

Para comparar com a expressão acima, conecte o potencial de Coulomb :

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} U = - \ nabla ^ {2} {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r}} = 4 \ pi \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) \ delta ^ {3} ({\ vec {r}}) \ quad \ Rightarrow \ quad \ delta U \ approx { \ frac {\ hbar ^ {2}} {6m_ {e} ^ {2} c ^ {2}}} 4 \ pi \ left ({\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ { 0}}} \ right) \ delta ^ {3} ({\ vec {r}})}$

Isso é apenas ligeiramente diferente.

Outro mecanismo que afeta apenas o estado s é o deslocamento de Lamb , uma correção adicional e menor que surge na eletrodinâmica quântica que não deve ser confundida com o termo de Darwin. O termo Darwin dá ao estado s e ao estado p a mesma energia, mas o deslocamento de Lamb torna o estado s mais alto em energia do que o estado p.

Efeito total

O hamiltoniano completo é dado por

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {H}} _ {\ rm {Coulomb}} + {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {cinética}} + {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {SO}} + H _ {\ mathrm {Darwin}}, \!}$

onde está o hamiltoniano da interação de Coulomb . ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ rm {Coulomb}}}$

O efeito total, obtido pela soma dos três componentes, é dado pela seguinte expressão:

${\ displaystyle \ Delta E = {\ frac {E_ {n} (Z \ alpha) ^ {2}} {n}} \ left ({\ frac {1} {j + {\ frac {1} {2}} }} - {\ frac {3} {4n}} \ right) \ ,,}$

onde é o número quântico total do momento angular ( se e de outra forma). É interessante notar que esta expressão foi obtida pela primeira vez por Sommerfeld com base na velha teoria de Bohr ; ou seja, antes que a mecânica quântica moderna fosse formulada. ${\ displaystyle j}$${\ displaystyle j = 1/2}$${\ displaystyle l = 0}$${\ displaystyle j = l \ pm 1/2}$

Diagrama de energia do átomo de hidrogênio para n = 2 corrigido pela estrutura fina e campo magnético. A primeira coluna mostra o caso não relativístico (apenas energia cinética e potencial de Coulomb), a correção relativística para a energia cinética é adicionada na segunda coluna, a terceira coluna inclui toda a estrutura fina, e a quarta adiciona o efeito Zeeman (magnético dependência de campo).

Energias relativísticas exatas

Correções relativísticas (Dirac) aos níveis de energia de um átomo de hidrogênio do modelo de Bohr. A correção da estrutura fina prevê que a linha Lyman-alfa (emitida em uma transição de n = 2 para n = 1) deve se dividir em um dupleto.

O efeito total também pode ser obtido usando a equação de Dirac. Nesse caso, o elétron é tratado como não relativístico. As energias exatas são fornecidas por

${\ displaystyle E_ {j \, n} = - m _ {\ text {e}} c ^ {2} \ left [1- \ left (1+ \ left [{\ dfrac {\ alpha} {nj - {\ frac {1} {2}} + {\ sqrt {\ left (j + {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}}} \ right] ^ { 2} \ right) ^ {- 1/2} \ right].}$

Esta expressão, que contém todos os termos de ordem superior que foram deixados de fora nos outros cálculos, se expande para a primeira ordem para fornecer as correções de energia derivadas da teoria de perturbação. No entanto, esta equação não contém as correções da estrutura hiperfina , que são devidas às interações com o spin nuclear. Outras correções da teoria quântica de campos , como o deslocamento de Lamb e o momento de dipolo magnético anômalo do elétron, não estão incluídas.

Veja também

• Acoplamento de momento angular
• Estrutura eletrônica fina

Referências

• Griffiths, David J. (2004). Introdução à Mecânica Quântica (2ª ed.) . Prentice Hall. ISBN   0-13-805326-X .
• Liboff, Richard L. (2002). Introdução à Mecânica Quântica . Addison-Wesley. ISBN   0-8053-8714-5 .

links externos

• Hiperfísica: Estrutura Fina
• Universidade do Texas: a estrutura fina do hidrogênio