Energia potencial - Potential energy

Energia potencial
Recriação de tiro com arco medieval.jpg
No caso de um arco e flecha , quando o arqueiro trabalha no arco, puxando a corda para trás, parte da energia química do corpo do arqueiro é transformada em energia potencial elástica no membro dobrado do arco. Quando a corda é solta, a força entre a corda e a flecha atua sobre a flecha. A energia potencial nos membros do arco é transformada na energia cinética da flecha quando ela levanta vôo.
Símbolos comuns
PE , U ou V
Unidade SI joule (J)
Derivações de
outras quantidades
U = mgh ( gravitacional )

U = 12kx 2 ( elástico )
U = 12CV 2 ( elétrico )
U = - mB ( magnético )

U =

Na física, a energia potencial é a energia mantida por um objeto por causa de sua posição em relação a outros objetos, tensões dentro dele mesmo, sua carga elétrica ou outros fatores.

Tipos comuns de energia potencial incluem a energia potencial gravitacional de um objeto que depende de sua massa e sua distância do centro de massa de outro objeto, a energia potencial elástica de uma mola estendida e a energia potencial elétrica de uma carga elétrica em um campo elétrico . A unidade de energia no Sistema Internacional de Unidades (SI) é o joule , que possui o símbolo J.

O termo energia potencial foi introduzido pelo engenheiro e físico escocês do século 19, William Rankine , embora tenha ligações com o conceito de potencialidade do filósofo grego Aristóteles . A energia potencial está associada a forças que atuam sobre um corpo de tal forma que o trabalho total realizado por essas forças no corpo depende apenas das posições inicial e final do corpo no espaço. Essas forças, que são chamadas de forças conservativas , podem ser representadas em qualquer ponto do espaço por vetores expressos como gradientes de uma determinada função escalar chamada potencial .

Como o trabalho das forças potenciais atuando sobre um corpo que se move de uma posição inicial para uma posição final é determinado apenas por essas duas posições, e não depende da trajetória do corpo, existe uma função conhecida como potencial que pode ser avaliada em as duas posições para determinar este trabalho.

Visão geral

Existem vários tipos de energia potencial, cada um associado a um tipo específico de força. Por exemplo, o trabalho de uma força elástica é chamado de energia potencial elástica; o trabalho da força gravitacional é denominado energia potencial gravitacional; o trabalho da força de Coulomb é chamado de energia potencial elétrica ; o trabalho da força nuclear forte ou da força nuclear fraca agindo sobre a carga bariônica é chamado de energia potencial nuclear; o trabalho das forças intermoleculares é denominado energia potencial intermolecular. A energia potencial química, como a energia armazenada em combustíveis fósseis , é o trabalho da força de Coulomb durante o rearranjo das configurações de elétrons e núcleos em átomos e moléculas. A energia térmica geralmente tem dois componentes: a energia cinética dos movimentos aleatórios das partículas e a energia potencial de sua configuração.

As forças deriváveis ​​de um potencial também são chamadas de forças conservativas . O trabalho feito por uma força conservadora é

onde está a mudança na energia potencial associada à força. O sinal negativo fornece a convenção de que o trabalho realizado contra um campo de força aumenta a energia potencial, enquanto o trabalho realizado pelo campo de força diminui a energia potencial. Notações comuns para energia potencial são PE , U , V e E p .

Energia potencial é a energia em virtude da posição de um objeto em relação a outros objetos. A energia potencial está frequentemente associada a forças restauradoras , como uma mola ou a força da gravidade . A ação de esticar uma mola ou levantar uma massa é realizada por uma força externa que atua contra o campo de força do potencial. Este trabalho é armazenado no campo de força, que é dito ser armazenado como energia potencial. Se a força externa for removida, o campo de força atua sobre o corpo para realizar o trabalho, pois move o corpo de volta à posição inicial, reduzindo o alongamento da mola ou fazendo com que o corpo caia.

Considere uma bola cuja massa é m e cuja altura é h . A aceleração g da queda livre é aproximadamente constante, de modo que a força do peso da bola mg é constante. O produto da força e do deslocamento dá o trabalho realizado, que é igual à energia potencial gravitacional, portanto

A definição mais formal é que a energia potencial é a diferença de energia entre a energia de um objeto em uma determinada posição e sua energia em uma posição de referência.

Trabalho e energia potencial

A energia potencial está intimamente ligada às forças . Se o trabalho realizado por uma força em um corpo que se move de A para B não depende do caminho entre esses pontos (se o trabalho é feito por uma força conservadora), então o trabalho desta força medida de A atribui um valor escalar a qualquer outro ponto no espaço e define um campo potencial escalar . Nesse caso, a força pode ser definida como o negativo do gradiente vetorial do campo potencial.

Se o trabalho para uma força aplicada é independente do caminho, então o trabalho realizado pela força é avaliado no início e no final da trajetória do ponto de aplicação. Isto significa que existe uma função U ( x ), chamado de "potencial", que podem ser avaliados nos dois pontos x A e x B para obter o trabalho sobre qualquer trajetória entre esses dois pontos. É tradição definir esta função com sinal negativo para que um trabalho positivo seja uma redução do potencial, ou seja

onde C é a trajetória percorrida de A a B. Como o trabalho realizado independe do caminho percorrido, essa expressão é verdadeira para qualquer trajetória C , de A a B.

A função U ( x ) é chamada de energia potencial associada à força aplicada. Exemplos de forças com energias potenciais são a gravidade e as forças da mola.

Derivado de um potencial

Nesta seção, a relação entre trabalho e energia potencial é apresentada com mais detalhes. A integral de linha que define o trabalho ao longo da curva C assume uma forma especial se a força F está relacionada a um campo escalar Φ ( x ) de modo que

Neste caso, o trabalho ao longo da curva é dado por
que pode ser avaliado usando o teorema do
gradiente para obter
Isso mostra que quando as forças são deriváveis ​​de um campo escalar, o trabalho dessas forças ao longo de uma curva C é calculado avaliando o campo escalar no ponto inicial A e no ponto final B da curva. Isso significa que a integral de trabalho não depende do caminho entre A e B e é considerada independente do caminho.

A energia potencial U = −Φ ( x ) é tradicionalmente definida como o negativo deste campo escalar de modo que o trabalho pelo campo de força diminui a energia potencial, ou seja

Neste caso, a aplicação do operador del para a função de trabalho produz,

e a força F é considerada "derivável de um potencial". Isso também implica necessariamente que F deve ser um campo vetorial conservador . O potencial U define uma força F em cada ponto x no espaço, então o conjunto de forças é chamado de campo de força .

Energia potencial de computação

Dado um campo de força F ( x ), a avaliação da integral de trabalho usando o teorema do

gradiente pode ser usada para encontrar a função escalar associada à energia potencial. Isso é feito introduzindo uma curva parametrizada γ ( t ) = r ( t ) de γ ( a ) = A para γ ( b ) = B , e computando,

Para o campo de força F , seja v = d r / dt , então o teorema do

gradiente produz,

A potência aplicada a um corpo por um campo de força é obtida a partir do gradiente do trabalho, ou potencial, na direção da velocidade v do ponto de aplicação, ou seja,

Exemplos de trabalho que podem ser calculados a partir de funções potenciais são a gravidade e as forças da mola.

Energia potencial para perto da gravidade da Terra

Um trabuco usa a energia potencial gravitacional do contrapeso para lançar projéteis a mais de duzentos metros

Para pequenas mudanças de altura, a energia potencial gravitacional pode ser calculada usando

onde m é a massa em kg, g é o campo gravitacional local (9,8 metros por segundo ao quadrado na terra), h é a altura acima de um nível de referência em metros e U é a energia em joules.

Na física clássica, a gravidade exerce uma força descendente constante F = (0, 0, F z ) no centro de massa de um corpo em movimento próximo à superfície da Terra. O trabalho da gravidade em um corpo se movendo ao longo de uma trajetória r ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) , como a trilha de uma montanha-russa, é calculado usando sua velocidade, v = ( v x , v y , v z ) , para obter

onde a integral da componente vertical da velocidade é a distância vertical. O trabalho da gravidade depende apenas do movimento vertical da curva r ( t ) .

Energia potencial para uma mola linear

As molas são usadas para armazenar energia potencial elástica
O tiro com arco é uma das aplicações mais antigas da humanidade para a energia potencial elástica

Uma mola horizontal exerce uma força F = (- kx , 0, 0) que é proporcional à sua deformação na direção axial ou x . O trabalho desta mola em um corpo se movendo ao longo da curva do espaço s ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) , é calculado usando sua velocidade, v = ( v x , v y , v z ) , para obter

Por conveniência, considerar contacto com a mola ocorre em t = 0 , em seguida, a integral do produto da distância x e do x -velocity, xv x , é x 2 /2.

A função

é chamada de energia potencial de uma mola linear.

Energia potencial elástica é a energia potencial de um objeto elástico (por exemplo, um arco ou uma catapulta) que é deformado sob tensão ou compressão (ou estressado na terminologia formal). Surge como consequência de uma força que tenta restaurar o objeto à sua forma original, que na maioria das vezes é a força eletromagnética entre os átomos e as moléculas que constituem o objeto. Se o alongamento for liberado, a energia se transforma em energia cinética .

Energia potencial para forças gravitacionais entre dois corpos

A função potencial gravitacional, também conhecida como energia potencial gravitacional , é:

O sinal negativo segue a convenção de que o trabalho é ganho com a perda de energia potencial.

Derivação

A força gravitacional entre dois corpos de massa M e m separados por uma distância r é dada pela lei de Newton

em que é
um vector de comprimento um apontador de H a m e G é a constante gravitacional .

Deixe a massa m se mover na velocidade v, então o trabalho da gravidade sobre esta massa conforme ela se move da posição r ( t 1 ) para r ( t 2 ) é dado por

A posição e velocidade da massa m são dadas por
onde e r e e t são os vetores unitários radiais e tangenciais direcionados em relação ao vetor de M a m . Use isso para simplificar a fórmula para o trabalho da gravidade para,

Este cálculo usa o fato de que

Energia potencial para forças eletrostáticas entre dois corpos

A força eletrostática exercida por uma carga Q em outra carga q separada por uma distância r é dada pela Lei de Coulomb

onde é um vetor de comprimento 1 apontando de

Q para q e ε 0 é a permissividade do vácuo . Isso também pode ser escrito usando a constante de Coulomb k e = 1 ⁄ 4 πε 0 .

O trabalho W necessário para mover q de A para qualquer ponto B no campo de força eletrostática é dado pela função potencial

Nível de referência

A energia potencial é uma função do estado em que o sistema se encontra e é definida em relação àquele de um determinado estado. Este estado de referência nem sempre é um estado real; também pode ser um limite, como as distâncias entre todos os corpos tendendo ao infinito, desde que a energia envolvida na tendência a esse limite seja finita, como no caso das forças da lei do

inverso do quadrado . Qualquer estado de referência arbitrário pode ser usado; portanto, pode ser escolhido com base na conveniência.

Normalmente, a energia potencial de um sistema depende apenas das posições relativas de seus componentes, portanto, o estado de referência também pode ser expresso em termos de posições relativas.

Energia potencial gravitacional

A energia gravitacional é a energia potencial associada à força gravitacional , pois o trabalho é necessário para elevar objetos contra a gravidade da Terra. A energia potencial devido a posições elevadas é chamada de energia potencial gravitacional e é evidenciada pela água em um reservatório elevado ou mantida atrás de uma barragem. Se um objeto cair de um ponto a outro dentro de um campo gravitacional, a força da gravidade fará um trabalho positivo no objeto e a energia potencial gravitacional diminuirá na mesma proporção.

A força gravitacional mantém os planetas em órbita ao redor do Sol

Considere um livro colocado em cima de uma mesa. Conforme o livro é levantado do chão até a mesa, alguma força externa atua contra a força gravitacional. Se o livro cair no chão, a energia de "queda" que o livro recebe é fornecida pela força gravitacional. Assim, se o livro cair da mesa, essa energia potencial vai acelerar a massa do livro e é convertida em energia cinética . Quando o livro atinge o chão, essa energia cinética é convertida em calor, deformação e som pelo impacto.

Os fatores que afetam a energia potencial gravitacional de um objeto são sua altura em relação a algum ponto de referência, sua massa e a força do campo gravitacional em que se encontra. Assim, um livro sobre uma mesa tem menos energia potencial gravitacional do que o mesmo livro sobre topo de um armário mais alto e menos energia potencial gravitacional do que um livro mais pesado deitado na mesma mesa. Um objeto em uma certa altura acima da superfície da Lua tem menos energia potencial gravitacional do que na mesma altura acima da superfície da Terra porque a gravidade da Lua é mais fraca. "Altura" no sentido comum do termo não pode ser usada para cálculos de energia potencial gravitacional quando a gravidade não é considerada uma constante. As seções a seguir fornecem mais detalhes.

Aproximação local

A força de um campo gravitacional varia com a localização. Porém, quando a variação da distância é pequena em relação às distâncias do centro da fonte do campo gravitacional, essa variação na intensidade do campo é desprezível e podemos assumir que a força da gravidade sobre um determinado objeto é constante. Perto da superfície da Terra, por exemplo, assumimos que a aceleração da gravidade é uma constante g = 9,8 m / s 2 (" gravidade padrão "). Neste caso, uma expressão simples para energia potencial gravitacional pode ser derivada usando a equação W = Fd para trabalho , e a equação

A quantidade de energia potencial gravitacional mantida por um objeto elevado é igual ao trabalho realizado contra a gravidade para erguê-lo. O trabalho realizado é igual à força necessária para movê-lo para cima multiplicada pela distância vertical pela qual ele é movido (lembre-se de W = Fd ). A força para cima necessária enquanto se move a uma velocidade constante é igual ao peso, mg , de um objeto, de modo que o trabalho realizado para levantá-lo através de uma altura h é o produto mgh . Assim, ao contabilizar apenas a massa , gravidade e altitude , a equação é:

onde U é a energia potencial do objeto em relação a ele estar na superfície da Terra, m é a massa do objeto, g é a aceleração da gravidade e h é a altitude do objeto. Se m é expressa em quilogramas , g em m / s 2 e H em metros , em seguida, L será calculado em joules .

Portanto, a diferença de potencial é

Fórmula geral

No entanto, em grandes variações de distância, a aproximação de que g é constante não é mais válida, e temos que usar o cálculo e a definição matemática geral de trabalho para determinar a energia potencial gravitacional. Para o cálculo da energia potencial, podemos integrar a força gravitacional, cuja magnitude é dada pela lei da gravitação de Newton , em relação à distância r entre os dois corpos. Usando essa definição, a energia potencial gravitacional de um sistema de massas m 1 e M 2 a uma distância r usando a constante gravitacional G é

onde K é uma constante arbitrária dependente da escolha do dado a partir do qual o potencial é medido. Escolher a convenção de que K = 0 (isto é, em relação a um ponto no infinito) torna os cálculos mais simples, embora ao custo de tornar U negativo; para saber por que isso é fisicamente razoável, veja abaixo.

Dada esta fórmula para U , a energia potencial total de um sistema de n corpos é encontrada somando, para todos os pares de dois corpos, a energia potencial do sistema desses dois corpos.

Soma de potencial gravitacional

Considerando o sistema de corpos como o conjunto combinado de pequenas partículas em que os corpos consistem, e aplicando o anterior no nível das partículas, obtemos a energia de ligação gravitacional negativa . Esta energia potencial é mais fortemente negativa do que a energia potencial total do sistema de corpos como tal, uma vez que também inclui a energia de ligação gravitacional negativa de cada corpo. A energia potencial do sistema de corpos como tal é o negativo da energia necessária para separar os corpos uns dos outros até o infinito, enquanto a energia de ligação gravitacional é a energia necessária para separar todas as partículas umas das outras até o infinito.

portanto,

Energia gravitacional negativa

Como acontece com todas as energias potenciais, apenas as diferenças na energia potencial gravitacional importam para a maioria dos propósitos físicos, e a escolha do ponto zero é arbitrária. Dado que não existe um critério razoável para preferir um r finito particular sobre outro, parece haver apenas duas escolhas razoáveis ​​para a distância na qual U se torna zero: e . A escolha de no infinito pode parecer peculiar, e a consequência de que a energia gravitacional é sempre negativa pode parecer contra-intuitiva, mas essa escolha permite que os valores de energia potencial gravitacional sejam finitos, embora negativos.

A singularidade na fórmula para a energia potencial gravitacional significa que a única outra escolha alternativa aparentemente razoável de convenção, com para , resultaria em energia potencial sendo positiva, mas infinitamente grande para todos os valores diferentes de zero de

r , e faria cálculos envolvendo somas ou diferenças de energias potenciais além do que é possível com o sistema de números reais . Uma vez que os físicos abominam o infinito em seus cálculos e r é sempre diferente de zero na prática, a escolha de no infinito é de longe a escolha mais preferível, mesmo que a ideia de energia negativa em um poço gravitacional pareça peculiar à primeira vista.

O valor negativo para a energia gravitacional também tem implicações mais profundas que o tornam mais razoável em cálculos cosmológicos, onde a energia total do universo pode ser considerada de forma significativa; veja a teoria da inflação para mais informações.

Usos

A energia potencial gravitacional tem vários usos práticos, notadamente a geração de hidreletricidade de armazenamento bombeado . Por exemplo, em Dinorwig , País de Gales, existem dois lagos, um em uma altitude mais alta do que o outro. Às vezes, quando a eletricidade excedente não é necessária (e por isso é comparativamente barata), a água é bombeada para o lago mais alto, convertendo assim a energia elétrica (acionando a bomba) em energia potencial gravitacional. Em momentos de pico de demanda por eletricidade, a água flui de volta através das turbinas do gerador elétrico, convertendo a energia potencial em energia cinética e depois de volta em eletricidade. O processo não é totalmente eficiente e parte da energia original do excedente de eletricidade é de fato perdida por atrito.

A energia potencial gravitacional também é usada para acionar os relógios nos quais pesos em queda operam o mecanismo.

Também é usado por contrapesos para levantar um elevador , guindaste ou janela de guilhotina .

As montanhas-russas são uma forma divertida de utilizar a energia potencial - correntes são usadas para mover um carro em uma inclinação (acumulando energia potencial gravitacional), para então ter essa energia convertida em energia cinética à medida que cai.

Outro uso prático é utilizar a energia potencial gravitacional para descer (talvez na costa) ladeira abaixo em transporte, como a descida de um automóvel, caminhão, trem, bicicleta, avião ou fluido em um oleoduto. Em alguns casos, a energia cinética obtida da energia potencial de descida pode ser usada para começar a subir o próximo grau, como o que acontece quando uma estrada está ondulada e tem quedas frequentes. A comercialização de energia armazenada (na forma de vagões elevados a altitudes mais elevadas) que é então convertida em energia elétrica quando necessária por uma rede elétrica, está sendo realizada nos Estados Unidos em um sistema denominado Advanced Rail Energy Storage (ARES).

Energia potencial química

Energia potencial química é uma forma de energia potencial relacionada ao arranjo estrutural de átomos ou moléculas. Este arranjo pode ser o resultado de ligações químicas dentro de uma molécula ou de outra forma. A energia química de uma substância química pode ser transformada em outras formas de energia por uma reação química . Por exemplo, quando um combustível é queimado, a energia química é convertida em calor, o mesmo ocorre com a digestão de alimentos metabolizados em um organismo biológico. As plantas verdes transformam a energia solar em energia química por meio do processo conhecido como fotossíntese , e a energia elétrica pode ser convertida em energia química por meio de reações eletroquímicas .

O termo potencial químico semelhante é usado para indicar o potencial de uma substância para sofrer uma mudança de configuração, seja na forma de uma reação química, transporte espacial, troca de partículas com um reservatório, etc.

Energia potencial elétrica

Um objeto pode ter energia potencial em virtude de sua carga elétrica e várias forças relacionadas à sua presença. Existem dois tipos principais desse tipo de energia potencial: energia potencial eletrostática, energia potencial eletrodinâmica (também chamada às vezes de energia potencial magnética).

Plasma formado dentro de uma esfera cheia de gás

Energia potencial eletrostática

A energia potencial eletrostática entre dois corpos no espaço é obtida a partir da força exercida por uma carga Q em outra carga q que é dada por

onde é um vetor de comprimento 1 apontando de
Q para q e ε 0 é a permissividade do vácuo . Isso também pode ser escrito usando a constante de Coulomb k e = 1 ⁄ 4 πε 0 .

Se a carga elétrica de um objeto pode ser assumida como em repouso, então ele tem energia potencial devido à sua posição em relação a outros objetos carregados. A energia potencial eletrostática é a energia de uma partícula carregada eletricamente (em repouso) em um campo elétrico. É definido como o trabalho que deve ser feito para movê-lo de uma distância infinita até sua localização atual, ajustada para forças não elétricas sobre o objeto. Essa energia geralmente será diferente de zero se houver outro objeto eletricamente carregado nas proximidades.

O trabalho W necessário para mover q de A para qualquer ponto B no campo de força eletrostática é dado por

normalmente dado em J para Joules. Uma quantidade relacionada chamada potencial elétrico (comumente denotada com um V para tensão) é igual à energia potencial elétrica por unidade de carga.

Energia potencial magnética

A energia de um momento magnético em um

campo B magnético produzido externamente tem energia potencial

A magnetização M em um campo é

onde a integral pode estar sobre todo o espaço ou, equivalentemente, onde M é diferente de zero. A energia potencial magnética é a forma de energia relacionada não apenas à distância entre os materiais magnéticos, mas também à orientação, ou alinhamento, desses materiais dentro do campo. Por exemplo, a agulha de uma bússola tem a energia potencial magnética mais baixa quando está alinhada com os pólos norte e sul do campo magnético da Terra. Se a agulha é movida por uma força externa, o torque é exercido no dipolo magnético da agulha pelo campo magnético da Terra, fazendo com que ela volte ao alinhamento. A energia potencial magnética da agulha é maior quando seu campo está na mesma direção do campo magnético da Terra. Dois ímãs terão energia potencial em relação um ao outro e à distância entre eles, mas isso também depende de sua orientação. Se os pólos opostos forem mantidos separados, a energia potencial será tanto maior quanto mais distantes eles estiverem e menor quanto mais próximos estiverem. Por outro lado, os pólos semelhantes terão a energia potencial mais alta quando forçados juntos, e o mais baixo quando se separarem.

Energia potencial nuclear

A energia potencial nuclear é a energia potencial das partículas dentro de um núcleo atômico . As partículas nucleares são unidas pela força nuclear forte . As forças nucleares fracas fornecem a energia potencial para certos tipos de decaimento radioativo, como o decaimento beta .

Partículas nucleares como prótons e nêutrons não são destruídas nos processos de fissão e fusão, mas as coleções delas podem ter menos massa do que se fossem individualmente livres, caso em que essa diferença de massa pode ser liberada como calor e radiação em reações nucleares (o calor e radiação tem a massa que falta, mas muitas vezes escapa do sistema, onde não é medida). A energia do Sol é um exemplo dessa forma de conversão de energia. No Sol, o processo de fusão do hidrogênio converte cerca de 4 milhões de toneladas de matéria solar por segundo em energia eletromagnética , que é irradiada para o espaço.

Forças e energia potencial

A energia potencial está intimamente ligada às forças . Se o trabalho realizado por uma força em um corpo que se move de A para B não depende do caminho entre esses pontos, então o trabalho desta força medida de A atribui um valor escalar a todos os outros pontos no espaço e define um potencial escalar campo. Nesse caso, a força pode ser definida como o negativo do gradiente vetorial do campo potencial.

Por exemplo, a gravidade é uma força conservadora . O potencial associado é o potencial gravitacional , freqüentemente denotado por ou , correspondendo à energia por unidade de massa em função da posição. A energia potencial gravitacional de duas partículas de massa

M e m separadas por uma distância r é
O potencial gravitacional ( energia específica ) dos dois corpos é
onde está a
massa reduzida .

O trabalho realizado contra a gravidade movendo uma massa infinitesimal do ponto A com para o ponto B com is e o trabalho realizado voltando no sentido contrário é de modo que o trabalho total realizado no movimento de A para B e retornando para A é

Se o potencial é redefinido em A para ser e o potencial em B para ser , onde é uma constante (ou seja, pode ser qualquer número, positivo ou negativo, mas deve ser o mesmo em A como em B), então o trabalho realizado ir de A para B é
como antes.

Em termos práticos, isso significa que se pode definir o zero de e qualquer lugar que desejar. Pode-se defini-lo como zero na superfície da

Terra , ou pode ser mais conveniente definir zero no infinito (como nas expressões fornecidas anteriormente nesta seção).

Uma força conservadora pode ser expressa na linguagem da geometria diferencial como uma forma fechada . Como o espaço euclidiano é contraível , sua cohomologia de de Rham desaparece, então toda forma fechada é também uma forma exata e pode ser expressa como o gradiente de um campo escalar. Isso dá uma justificativa matemática para o fato de que todas as forças conservativas são gradientes de um campo potencial.

Notas

Referências

  • Serway, Raymond A .; Jewett, John W. (2010). Physics for Scientists and Engineers (8ª ed.). Brooks / Cole cengage. ISBN 978-1-4390-4844-3.
  • Tipler, Paul (2004). Física para Cientistas e Engenheiros: Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica (5ª ed.). WH Freeman. ISBN 0-7167-0809-4.

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