Função binária - Binary function

Em matemática , uma função binária (também chamada de função bivariada ou função de duas variáveis ) é uma função que recebe duas entradas.

Exatamente declarado, uma função é binária se houver conjuntos tais que ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$

${\ displaystyle \, f \ dois pontos X \ times Y \ rightarrow Z}$

onde está o produto cartesiano de e ${\ displaystyle X \ times Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$

Definições alternativas

Set-teoricamente , uma função binária pode ser representada como um subconjunto do produto cartesiano , onde pertence ao subconjunto se e somente se . Por outro lado, um subconjunto define uma função binária se e somente se para algum e , existe um único tal que pertence . é então definido para ser isso . ${\ displaystyle X \ times Y \ times Z}$${\ displaystyle (x, y, z)}$ ${\ displaystyle f (x, y) = z}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle y \ in Y}$ ${\ displaystyle z \ in Z}$${\ displaystyle (x, y, z)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f (x, y)}$${\ displaystyle z}$

Alternativamente, uma função binária pode ser interpretada simplesmente como uma função de a . Mesmo quando pensado dessa forma, no entanto, geralmente se escreve em vez de . (Ou seja, o mesmo par de parênteses é usado para indicar a aplicação da função e a formação de um par ordenado .) ${\ displaystyle X \ times Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle f (x, y)}$${\ displaystyle f ((x, y))}$

Exemplos

A divisão de números inteiros pode ser considerada uma função. Se é o conjunto de inteiros , é o conjunto dos números naturais (exceto zero) e é o conjunto dos números racionais , então a divisão é uma função binária . ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {N} ^ {+} \ to \ mathbb {Q}}$

Outro exemplo é o de produtos internos, ou mais geralmente funções da forma , onde x , y são vetores de valor real de tamanho apropriado e M é uma matriz. Se M é uma matriz definida positiva , isso resulta em um produto interno . ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto x ^ {\ mathrm {T}} Meu}$

Funções de duas variáveis ​​reais

As funções cujo domínio é um subconjunto de são freqüentemente também chamadas de funções de duas variáveis, mesmo que seu domínio não forme um retângulo e, portanto, o produto cartesiano de dois conjuntos. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Restrições às funções comuns

Por sua vez, também se pode derivar funções ordinárias de uma variável de uma função binária. Dado qualquer elemento , existe uma função , ou , de para , dada por . Da mesma forma, dado qualquer elemento , existe uma função , ou , de para , dada por . Em ciência da computação, essa identificação entre uma função de a e uma função de a , onde está o conjunto de todas as funções de a , é chamada de currying . ${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle f ^ {x}}$${\ displaystyle f (x, \ cdot)}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle f ^ {x} (y) = f (x, y)}$${\ displaystyle y \ in Y}$${\ displaystyle f_ {y}}$${\ displaystyle f (\ cdot, y)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle f_ {y} (x) = f (x, y)}$${\ displaystyle X \ times Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Z ^ {Y}}$${\ displaystyle Z ^ {Y}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z}$

Generalizações

Os vários conceitos relacionados a funções também podem ser generalizados para funções binárias. Por exemplo, o exemplo de divisão acima é sobrejetivo (ou sobre ) porque todo número racional pode ser expresso como um quociente de um inteiro e um número natural. Este exemplo é injetivo em cada entrada separadamente, pois as funções f ^x e f _y são sempre injetivas. Porém, não é injetivo nas duas variáveis ​​simultaneamente, pois (por exemplo) f (2,4) = f (1,2).

Também podem ser consideradas funções binárias parciais , que podem ser definidas apenas para determinados valores das entradas. Por exemplo, o exemplo de divisão acima também pode ser interpretado como uma função binária parcial de Z e N a Q , onde N é o conjunto de todos os números naturais, incluindo zero. Mas esta função é indefinida quando a segunda entrada é zero.

Uma operação binária é uma função binária em que os conjuntos X , Y e Z são todos iguais; operações binárias são freqüentemente usadas para definir estruturas algébricas .

Na álgebra linear , uma transformação bilinear é uma função binária em que os conjuntos X , Y e Z são todos espaços vetoriais e as funções derivadas f ^x e f _y são todas transformações lineares . Uma transformação bilinear, como qualquer função binária, pode ser interpretada como uma função de X × Y a Z , mas essa função em geral não será linear. No entanto, a transformação bilinear também pode ser interpretado como uma única transformação linear a partir do produto do tensor para Z . ${\ displaystyle X \ otimes Y}$

Generalizações para funções ternárias e outras

O conceito de generaliza função binária para ternário (ou 3-ário ) função , quaternário (ou 4-ário ) função , ou mais geralmente a função de n-ário para qualquer número natural n . Uma função de 0-ário para Z é simplesmente dado por um elemento de Z . Também se pode definir uma função A-ária em que A é qualquer conjunto ; existe uma entrada para cada elemento de uma .

Teoria da categoria

Na teoria das categorias , as funções n -ary generalizam para morfismos n -ary em uma multicategoria . A interpretação de um morfismo n -ary como morfismos comuns cujo domínio é algum tipo de produto dos domínios do morfismo n -ary original funcionará em uma categoria monoidal . A construção dos morfismos derivados de uma variável funcionará em uma categoria monoidal fechada . A categoria dos conjuntos é monoidal fechada, mas também o é a categoria dos espaços vetoriais, dando a noção de transformação bilinear acima.

Referências