Processo Wiener - Wiener process

Em matemática , o processo de Wiener é um processo estocástico de tempo contínuo com valor real , nomeado em homenagem ao matemático americano Norbert Wiener por suas investigações sobre as propriedades matemáticas do movimento browniano unidimensional. Muitas vezes também é chamado de movimento browniano devido à sua conexão histórica com o processo físico de mesmo nome originalmente observado pelo botânico escocês Robert Brown . É um dos processos de Lévy mais conhecidos ( càdlàg processos estocásticos com incrementos estacionários independentes ) e ocorre com frequência em matemática pura e aplicada , economia , finanças quantitativas , biologia evolutiva e física .

O processo Wiener desempenha um papel importante tanto na matemática pura quanto na aplicada. Na matemática pura, o processo de Wiener deu origem ao estudo dos martingales de tempo contínuo . É um processo chave em termos do qual processos estocásticos mais complicados podem ser descritos. Como tal, desempenha um papel vital no cálculo estocástico , processos de difusão e até mesmo na teoria do potencial . É o processo de condução da evolução da Schramm – Loewner . Em matemática aplicada , o processo de Wiener é usado para representar a integral de um processo gaussiano de ruído branco e, portanto, é útil como um modelo de ruído em engenharia eletrônica (ver ruído browniano ), erros de instrumento na teoria de filtragem e distúrbios na teoria de controle .

O processo Wiener tem aplicações em todas as ciências matemáticas. Na física, é usado para estudar o movimento browniano , a difusão de partículas diminutas suspensas em um fluido e outros tipos de difusão por meio das equações de Fokker-Planck e Langevin . Ele também forma a base para a formulação integral do caminho rigoroso da mecânica quântica (pela fórmula de Feynman-Kac , uma solução para a equação de Schrödinger pode ser representada em termos do processo de Wiener) e o estudo da inflação eterna na cosmologia física . Também é proeminente na teoria matemática das finanças , em particular no modelo de precificação de opções Black-Scholes .

Características do processo Wiener

O processo Wiener é caracterizado pelas seguintes propriedades: ${\ displaystyle W_ {t}}$

1. ${\ displaystyle W_ {0} = 0}$
2. ${\ displaystyle W}$tem incrementos independentes : para cada incremento futuro são independentes dos valores anteriores ,${\ displaystyle t> 0,}$${\ displaystyle W_ {t + u} -W_ {t},}$ ${\ displaystyle u \ geq 0,}$${\ displaystyle W_ {s}}$${\ displaystyle s \ leq t.}$
3. ${\ displaystyle W}$tem incrementos gaussianos: é normalmente distribuído com média e variância ,${\ displaystyle W_ {t + u} -W_ {t}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle W_ {t + u} -W_ {t} \ sim {\ mathcal {N}} (0, u).}$
4. ${\ displaystyle W}$tem caminhos contínuos: é contínuo em .${\ displaystyle W_ {t}}$${\ displaystyle t}$

Que o processo tem incrementos independentes significa que se 0 ≤ s ₁ < t ₁ ≤ s ₂ < t ₂ então W _{t 1}  -  W _{s 1} e W _{t 2}  -  W _{s 2} são variáveis ​​aleatórias independentes, e a condição semelhante vale para n incrementos.

Uma caracterização alternativa do processo de Wiener é a chamada caracterização de Lévy, que diz que o processo de Wiener é quase certamente um martingale contínuo com W ₀ = 0 e variação quadrática [ W _t , W _t ] = t (o que significa que W _t ²  -  t também é um martingale).

Uma terceira caracterização é que o processo de Wiener tem uma representação espectral como uma série de seno cujos coeficientes são N (0, 1) variáveis ​​aleatórias independentes. Esta representação pode ser obtida usando o teorema de Karhunen-Loève .

Outra caracterização de um processo de Wiener é a integral definida (do tempo zero ao tempo t ) de um processo gaussiano de média zero, variância unitária, delta correlacionado ("branco") .

O processo de Wiener pode ser construído como o limite de escala de um passeio aleatório ou outros processos estocásticos de tempo discreto com incrementos independentes estacionários. Isso é conhecido como teorema de Donsker . Como o passeio aleatório, o processo de Wiener é recorrente em uma ou duas dimensões (o que significa que retorna quase com certeza a qualquer vizinhança fixa da origem com frequência infinita), ao passo que não é recorrente nas dimensões três e superiores. Ao contrário do passeio aleatório, é invariante de escala , o que significa que

${\ displaystyle \ alpha ^ {- 1} W _ {\ alpha ^ {2} t}}$

é um processo de Wiener para qualquer constante diferente de zero α. A medida de Wiener é a lei de probabilidade no espaço de funções contínuas g , com g (0) = 0, induzida pelo processo de Wiener. Uma integral baseada na medida de Wiener pode ser chamada de integral de Wiener .

Processo de Wiener como limite de passeio aleatório

Let ser iid variáveis aleatórias com média e variância 0 1. Para cada n , definir um processo estocástico tempo contínuo ${\ displaystyle \ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ ldots}$

${\ displaystyle W_ {n} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {n}}} \ sum \ limits _ {1 \ leq k \ leq \ lfloor nt \ rfloor} \ xi _ {k}, \ qquad t \ in [0,1].}$

Esta é uma função de etapa aleatória. Os incrementos de são independentes porque são independentes. Para n grande , está próximo do teorema do limite central. O teorema de Donsker afirma que , à medida que se aproxima de um processo de Wiener, o que explica a onipresença do movimento browniano. ${\ displaystyle W_ {n}}$${\ displaystyle \ xi _ {k}}$${\ displaystyle W_ {n} (t) -W_ {n} (s)}$${\ displaystyle N (0, ts)}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$${\ displaystyle W_ {n}}$

Propriedades de um processo Wiener unidimensional

Propriedades básicas

A função de densidade de probabilidade incondicional , que segue a distribuição normal com média = 0 e variância = t , em um tempo fixo t :

${\ displaystyle f_ {W_ {t}} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi t}}} e ^ {- x ^ {2} / (2t)}.}$

A expectativa é zero:

${\ displaystyle E [W_ {t}] = 0.}$

A variância , usando a fórmula computacional, é t :

${\ displaystyle \ operatorname {Var} (W_ {t}) = t.}$

Esses resultados decorrem imediatamente da definição de que os incrementos têm uma distribuição normal , centrada em zero. Assim

${\ displaystyle W_ {t} = W_ {t} -W_ {0} \ sim N (0, t).}$

Covariância e correlação

A covariância e correlação (onde ): ${\ displaystyle s \ leq t}$

${\ displaystyle \ operatorname {cov} (W_ {s}, W_ {t}) = s,}$

${\ displaystyle \ operatorname {corr} (W_ {s}, W_ {t}) = {\ frac {\ operatorname {cov} (W_ {s}, W_ {t})} {\ sigma _ {W_ {s} } \ sigma _ {W_ {t}}}} = {\ frac {s} {\ sqrt {st}}} = {\ sqrt {\ frac {s} {t}}}.}$

Esses resultados seguem da definição de que os incrementos não sobrepostos são independentes, dos quais apenas a propriedade de que eles não estão correlacionados é usada. Suponha que sim . ${\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2}}$

${\ displaystyle \ operatorname {cov} (W_ {t_ {1}}, W_ {t_ {2}}) = \ operatorname {E} \ left [(W_ {t_ {1}} - \ operatorname {E} [W_ {t_ {1}}]) \ cdot (W_ {t_ {2}} - \ operatorname {E} [W_ {t_ {2}}]) \ right] = \ operatorname {E} \ left [W_ {t_ { 1}} \ cdot W_ {t_ {2}} \ right].}$

Substituindo

${\ displaystyle W_ {t_ {2}} = (W_ {t_ {2}} - W_ {t_ {1}}) + W_ {t_ {1}}}$

chegamos em:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {E} [W_ {t_ {1}} \ cdot W_ {t_ {2}}] & = \ operatorname {E} \ left [W_ {t_ {1}} \ cdot ((W_ {t_ {2}} - W_ {t_ {1}}) + W_ {t_ {1}}) \ right] \\ & = \ operatorname {E} \ left [W_ {t_ {1}} \ cdot (W_ {t_ {2}} - W_ {t_ {1}}) \ right] + \ operatorname {E} \ left [W_ {t_ {1}} ^ {2} \ right]. \ end {alinhado }}}$

Uma vez que e são independentes, ${\ displaystyle W_ {t_ {1}} = W_ {t_ {1}} - W_ {t_ {0}}}$${\ displaystyle W_ {t_ {2}} - W_ {t_ {1}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [W_ {t_ {1}} \ cdot (W_ {t_ {2}} - W_ {t_ {1}}) \ right] = \ operatorname {E} [W_ {t_ {1}}] \ cdot \ operatorname {E} [W_ {t_ {2}} - W_ {t_ {1}}] = 0.}$

Assim

${\ displaystyle \ operatorname {cov} (W_ {t_ {1}}, W_ {t_ {2}}) = \ operatorname {E} \ left [W_ {t_ {1}} ^ {2} \ right] = t_ {1}.}$

Um corolário útil para simulação é que podemos escrever, para t ₁ < t ₂ :

${\ displaystyle W_ {t_ {2}} = W_ {t_ {1}} + {\ sqrt {t_ {2} -t_ {1}}} \ cdot Z}$

onde Z é uma variável normal padrão independente.

Representação Wiener

Wiener (1923) também deu uma representação de um caminho browniano em termos de uma série aleatória de Fourier . Se forem variáveis ​​gaussianas independentes com média zero e variância um, então ${\ displaystyle \ xi _ {n}}$

${\ displaystyle W_ {t} = \ xi _ {0} t + {\ sqrt {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ xi _ {n} {\ frac {\ sin \ pi nt }{\alfinete}}}$

e

${\ displaystyle W_ {t} = {\ sqrt {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ xi _ {n} {\ frac {\ sin \ left (\ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right) \ pi t \ right)} {\ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right) \ pi}}}$

representam um movimento browniano diante . O processo em escala ${\ displaystyle [0,1]}$

${\ displaystyle {\ sqrt {c}} \, W \ left ({\ frac {t} {c}} \ right)}$

é um movimento browniano sobre (cf. teorema de Karhunen-Loève ). ${\ displaystyle [0, c]}$

Máximo de execução

A distribuição conjunta do máximo em execução

${\ displaystyle M_ {t} = \ max _ {0 \ leq s \ leq t} W_ {s}}$

e W _t é

${\ displaystyle f_ {M_ {t}, W_ {t}} (m, w) = {\ frac {2 (2m-w)} {t {\ sqrt {2 \ pi t}}}} e ^ {- {\ frac {(2m-w) ^ {2}} {2t}}}, \ qquad m \ geq 0, w \ leq m.}$

Para obter a distribuição incondicional de , integre sobre −∞ < w ≤ m  : ${\ displaystyle f_ {M_ {t}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} f_ {M_ {t}} (m) & = \ int _ {- \ infty} ^ {m} f_ {M_ {t}, W_ {t}} (m, w) \, dw = \ int _ {- \ infty} ^ {m} {\ frac {2 (2m-w)} {t {\ sqrt {2 \ pi t}}}} e ^ {- {\ frac {( 2m-w) ^ {2}} {2t}}} \, dw \\ [5pt] & = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi t}}} e ^ {- {\ frac {m ^ {2}} {2t}}}, \ qquad m \ geq 0, \ end {alinhado}}}$

a função de densidade de probabilidade de uma distribuição semi-normal . A expectativa é

${\ displaystyle \ operatorname {E} [M_ {t}] = \ int _ {0} ^ {\ infty} mf_ {M_ {t}} (m) \, dm = \ int _ {0} ^ {\ infty } m {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi t}}} e ^ {- {\ frac {m ^ {2}} {2t}}} \, dm = {\ sqrt {\ frac {2t} {\ pi}}}}$

Se no momento o processo de Wiener tem um valor conhecido , é possível calcular a distribuição de probabilidade condicional do máximo no intervalo (cf. Distribuição de probabilidade de pontos extremos de um processo estocástico de Wiener ). A função de distribuição de probabilidade cumulativa do valor máximo, condicionada pelo valor conhecido , é: ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle W_ {t}}$${\ displaystyle [0, t]}$${\ displaystyle W_ {t}}$

${\ displaystyle \, F_ {M_ {W_ {t}}} (m) = \ Pr \ left (M_ {W_ {t}} = \ max _ {0 \ leq s \ leq t} W (s) \ leq m \ mid W (t) = W_ {t} \ right) = \ 1- \ e ^ {- 2 {\ frac {m (m-W_ {t})} {t}}} \ \ ,, \, \ \ m> \ max (0, W_ {t})}$

Auto-similaridade

Escala browniana

Para cada c > 0, o processo é outro processo de Wiener. ${\ displaystyle V_ {t} = (1 / {\ sqrt {c}}) W_ {ct}}$

Inversão de tempo

O processo para 0 ≤ t ≤ 1 é distribuído como W _t para 0 ≤ t ≤ 1. ${\ displaystyle V_ {t} = W_ {1} -W_ {1-t}}$

Inversão de tempo

O processo é outro processo Wiener. ${\ displaystyle V_ {t} = tW_ {1 / t}}$

Uma classe de martingales brownianos

Se um polinômio p ( x , t ) satisfaz o PDE

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}} } \ right) p (x, t) = 0}$

então o processo estocástico

${\ displaystyle M_ {t} = p (W_ {t}, t)}$

é um martingale .

Exemplo: é um martingale, que mostra que a variação quadrática de W em [0, t ] é igual a t . Conclui-se que o tempo esperado de primeira saída de W de (- c , c ) é igual a c ² . ${\ displaystyle W_ {t} ^ {2} -t}$

Mais geralmente, para cada polinômio p ( x , t ), o seguinte processo estocástico é um martingale:

${\ displaystyle M_ {t} = p (W_ {t}, t) - \ int _ {0} ^ {t} a (W_ {s}, s) \, \ mathrm {d} s,}$

onde a é o polinômio

${\ displaystyle a (x, t) = \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ parcial x ^ {2}}} \ direita) p (x, t).}$

Exemplo: o processo ${\ displaystyle p (x, t) = (x ^ {2} -t) ^ {2},}$ ${\ displaystyle a (x, t) = 4x ^ {2};}$

${\ displaystyle (W_ {t} ^ {2} -t) ^ {2} -4 \ int _ {0} ^ {t} W_ {s} ^ {2} \, \ mathrm {d} s}$

é um martingale, o que mostra que a variação quadrática do martingale em [0, t ] é igual a ${\ displaystyle W_ {t} ^ {2} -t}$

${\ displaystyle 4 \ int _ {0} ^ {t} W_ {s} ^ {2} \, \ mathrm {d} s.}$

Sobre funções p ( xa , t ) mais gerais do que polinômios, consulte martingales locais .

Algumas propriedades de caminhos de amostra

O conjunto de todas as funções w com essas propriedades é de plena medida Wiener. Ou seja, um caminho (função de amostra) do processo Wiener tem quase todas essas propriedades.

Propriedades qualitativas

• Para cada ε> 0, a função w assume valores (estritamente) positivos e (estritamente) negativos em (0, ε).
• A função w é contínua em todos os lugares, mas diferenciável em nenhum lugar (como a função de Weierstrass ).
• Os pontos de máximo local da função w são um conjunto contável denso; os valores máximos são diferentes entre pares; cada máximo local é agudo no seguinte sentido: se w tem um máximo local em t, então

${\ displaystyle \ lim _ {s \ to t} {\ frac {| w (s) -w (t) |} {| st |}} \ to \ infty.}$

O mesmo se aplica aos mínimos locais.

• A função w não possui pontos de aumento local, ou seja, nenhum t > 0 satisfaz o seguinte para algum ε em (0, t ): primeiro, w ( s ) ≤ w ( t ) para todo s em ( t - ε, t ), e em segundo lugar, w ( s ) ≥ w ( t ) para todo s em ( t , t + ε). (O aumento local é uma condição mais fraca do que w está aumentando em ( t - ε, t + ε).) O mesmo vale para a diminuição local.
• A função w é de variação ilimitada em cada intervalo.
• A variação quadrática de w em [0, t] é t.
• Zeros da função w são um conjunto perfeito e denso em lugar nenhum da medida de Lebesgue 0 e dimensão de Hausdorff 1/2 (portanto, incontável).

Propriedades quantitativas

Lei do logaritmo iterado

${\ displaystyle \ limsup _ {t \ to + \ infty} {\ frac {| w (t) |} {\ sqrt {2t \ log \ log t}}} = 1, \ quad {\ text {quase certo} }.}$

Módulo de continuidade

Módulo de continuidade local:

${\ displaystyle \ limsup _ {\ varepsilon \ to 0 +} {\ frac {| w (\ varepsilon) |} {\ sqrt {2 \ varepsilon \ log \ log (1 / \ varepsilon)}}} = 1, \ qquad {\ text {quase com certeza}}.}$

Módulo de continuidade global (Lévy):

${\ displaystyle \ limsup _ {\ varepsilon \ to 0 +} \ sup _ {0 \ leq s <t \ leq 1, ts \ leq \ varepsilon} {\ frac {| w (s) -w (t) |} {\ sqrt {2 \ varepsilon \ log (1 / \ varepsilon)}}} = 1, \ qquad {\ text {quase com certeza}}.}$

Horário local

A imagem da medida de Lebesgue em [0, t ] sob o mapa w (a medida pushforward ) tem uma densidade L _t (·). Assim,

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} f (w (s)) \, \ mathrm {d} s = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) L_ {t } (x) \, \ mathrm {d} x}$

para uma ampla classe de funções f (a saber: todas as funções contínuas; todas as funções integráveis ​​localmente; todas as funções mensuráveis ​​não negativas). A densidade L _t é (mais exatamente, pode e será escolhida para ser) contínua. O número L _t ( x ) é chamado de hora local em x de w em [0, t ]. É estritamente positivo para todos os x do intervalo ( a , b ), onde um e b são o mínimo e o maior valor de w no [0, T ], respectivamente. (Para x fora desse intervalo, a hora local evidentemente desaparece.) Tratada como uma função de duas variáveis x e t , a hora local ainda é contínua. Tratada como uma função de t (enquanto x é fixo), a hora local é uma função singular correspondente a uma medida não atômica no conjunto de zeros de w .

Essas propriedades de continuidade são bastante não triviais. Considere que a hora local também pode ser definida (como a densidade da medida pushforward) para uma função suave. Então, entretanto, a densidade é descontínua, a menos que a função dada seja monótona. Em outras palavras, existe um conflito entre o bom comportamento de uma função e o bom comportamento de sua hora local. Nesse sentido, a continuidade do tempo local do processo Wiener é outra manifestação da não suavidade da trajetória.

Taxa de informação

A taxa de informação do processo de Wiener em relação ao quadrado da distância de erro, ou seja, sua função de distorção de taxa quadrática , é dada por

${\ displaystyle R (D) = {\ frac {2} {\ pi ^ {2} \ ln 2D}} \ aproximadamente 0,29D ^ {- 1}.}$

Portanto, é impossível codificar usando um código binário menor que bits e recuperá-lo com erro quadrático médio esperado menor que . Por outro lado, para qualquer um , existe um código binário grande o suficiente e não mais do que elementos distintos, de modo que o erro quadrático médio esperado na recuperação desse código seja no máximo . ${\ displaystyle \ {w_ {t} \} _ {t \ in [0, T]}}$${\ displaystyle TR (D)}$ ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle 2 ^ {TR (D)}}$${\ displaystyle \ {w_ {t} \} _ {t \ in [0, T]}}$${\ displaystyle D- \ varepsilon}$

Em muitos casos, é impossível codificar o processo Wiener sem amostrá- lo primeiro. Quando o processo Wiener é amostrado em intervalos antes de aplicar um código binário para representar essas amostras, a compensação ideal entre a taxa de código e o erro quadrático médio esperado (na estimativa do processo Wiener de tempo contínuo) segue a representação paramétrica ${\ displaystyle T_ {s}}$ ${\ displaystyle R (T_ {s}, D)}$ ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle R (T_ {s}, D _ {\ theta}) = {\ frac {T_ {s}} {2}} \ int _ {0} ^ {1} \ log _ {2} ^ {+} \ left [{\ frac {S (\ varphi) - {\ frac {1} {6}}} {\ theta}} \ right] d \ varphi,}$

${\ displaystyle D _ {\ theta} = {\ frac {T_ {s}} {6}} + T_ {s} \ int _ {0} ^ {1} \ min \ {S (\ varphi) - {\ frac {1} {6}}, \ theta \} d \ varphi,}$

onde e . Em particular, é o erro quadrático médio associado apenas à operação de amostragem (sem codificação). ${\ displaystyle S (\ varphi) = (2 \ sin (\ pi \ varphi / 2)) ^ {- 2}}$${\ displaystyle \ log ^ {+} [x] = \ max \ {0, \ log (x) \}}$${\ displaystyle T_ {s} / 6}$

Processos relacionados

O processo estocástico definido por

${\ displaystyle X_ {t} = \ mu t + \ sigma W_ {t}}$

é chamado de processo de Wiener com deriva μ e variância infinitesimal σ ² . Esses processos esgotam os processos contínuos de Lévy .

Dois processos aleatórios no intervalo de tempo [0, 1] aparecem, grosso modo, ao condicionar o processo de Wiener a desaparecer em ambas as extremidades de [0,1]. Sem nenhum condicionamento adicional, o processo assume valores positivos e negativos em [0, 1] e é chamado de ponte browniana . Condicionado também para permanecer positivo em (0, 1), o processo é denominado excursão browniana . Em ambos os casos, um tratamento rigoroso envolve um procedimento limitante, uma vez que a fórmula P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) / P ( B ) não se aplica quando P ( B ) = 0.

Um movimento browniano geométrico pode ser escrito

${\ displaystyle e ^ {\ mu t - {\ frac {\ sigma ^ {2} t} {2}} + \ sigma W_ {t}}.}$

É um processo estocástico que serve para modelar processos que nunca podem assumir valores negativos, como o valor dos estoques.

O processo estocástico

${\ displaystyle X_ {t} = e ^ {- t} W_ {e ^ {2t}}}$

é distribuído como o processo de Ornstein-Uhlenbeck com parâmetros , , e . ${\ displaystyle \ theta = 1}$${\ displaystyle \ mu = 0}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = 2}$

O tempo de atingir um único ponto x > 0 pelo processo de Wiener é uma variável aleatória com a distribuição de Lévy . A família dessas variáveis ​​aleatórias (indexadas por todos os números positivos x ) é uma modificação contínua à esquerda de um processo de Lévy . A modificação contínua à direita desse processo é dada pelos tempos da primeira saída dos intervalos fechados [0, x ].

O tempo local L = ( L ^x _t ) _{x ∈ R , t ≥ 0} de um movimento browniano descreve o tempo que o processo passa no ponto x . Formalmente

${\ displaystyle L ^ {x} (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ delta (x-B_ {t}) \, ds}$

onde δ é a função delta de Dirac . O comportamento da hora local é caracterizado pelos teoremas de Ray-Knight .

Martingales brownianos

Seja A um evento relacionado ao processo de Wiener (mais formalmente: um conjunto, mensurável em relação à medida de Wiener, no espaço de funções), e X _t a probabilidade condicional de A dado o processo de Wiener no intervalo de tempo [0 , t ] (mais formalmente: a medida de Wiener do conjunto de trajetórias cuja concatenação com a trajetória parcial dada em [0, t ] pertence a A ). Então, o processo X _t é um martingale contínuo. Sua propriedade martingale segue imediatamente a partir das definições, mas sua continuidade é um fato muito especial - um caso especial de um teorema geral afirmando que todos os martingales brownianos são contínuos. Um martingale browniano é, por definição, um martingale adaptado à filtração browniana; e a filtragem browniana é, por definição, a filtragem gerada pelo processo de Wiener.

Movimento browniano integrado

A integral do tempo do processo Wiener

${\ displaystyle W ^ {(- 1)} (t): = \ int _ {0} ^ {t} W (s) \, ds}$

é chamado de movimento browniano integrado ou processo Wiener integrado . Origina-se em muitas aplicações e pode ser demonstrado que têm a distribuição N (0, t ³ /3), calculada utilizando o facto da covariância do processo de Wiener é . ${\ displaystyle t \ wedge s = \ min (t, s)}$

Para o caso geral do processo definido por

${\ displaystyle V_ {f} (t) = \ int _ {0} ^ {t} f '(s) W (s) \, ds = \ int _ {0} ^ {t} (f (t) - f (s)) \, dW_ {s}}$

Então, para , ${\ displaystyle a> 0}$

${\ displaystyle \ operatorname {Var} (V_ {f} (t)) = \ int _ {0} ^ {t} (f (t) -f (s)) ^ {2} \, ds}$

${\ displaystyle \ operatorname {cov} (V_ {f} (t + a), V_ {f} (t)) = \ int _ {0} ^ {t} (f (t + a) -f (s) ) (f (t) -f (s)) \, ds}$

Na verdade, é sempre uma variável aleatória normal de média zero. Isto permite a simulação de dada pela tomada ${\ displaystyle V_ {f} (t)}$${\ displaystyle V_ {f} (t + a)}$${\ displaystyle V_ {f} (t)}$

${\ displaystyle V_ {f} (t + a) = A \ cdot V_ {f} (t) + B \ cdot Z}$

onde Z é uma variável normal padrão e

${\ displaystyle A = {\ frac {\ operatorname {cov} (V_ {f} (t + a), V_ {f} (t))} {\ operatorname {Var} (V_ {f} (t))} }}$

${\ displaystyle B ^ {2} = \ operatorname {Var} (V_ {f} (t + a)) - A ^ {2} \ operatorname {Var} (V_ {f} (t))}$

O caso de corresponde a . Todos esses resultados podem ser vistos como consequências diretas da isometria Itô . O processo de Wiener integrado n -vezes é uma variável normal de média zero com variância . Isso é dado pela fórmula de Cauchy para integração repetida . ${\ displaystyle V_ {f} (t) = W ^ {(- 1)} (t)}$${\ displaystyle f (t) = t}$${\ displaystyle {\ frac {t} {2n + 1}} \ left ({\ frac {t ^ {n}} {n!}} \ right) ^ {2}}$

Mudança de horário

Todo martingale contínuo (começando na origem) é um processo de Wiener alterado no tempo.

Exemplo: 2 W _t = V (4 t ) onde V é outro processo de Wiener (diferente de W, mas distribuído como W ).

Exemplo. onde e V é outro processo de Wiener. ${\ displaystyle W_ {t} ^ {2} -t = V_ {A (t)}}$${\ displaystyle A (t) = 4 \ int _ {0} ^ {t} W_ {s} ^ {2} \, \ mathrm {d} s}$

Em geral, se M é um martingale contínuo, então onde A ( t ) é a variação quadrática de M em [0, t ], e V é um processo de Wiener. ${\ displaystyle M_ {t} -M_ {0} = V_ {A (t)}}$

Corolário. (Veja também os teoremas de convergência do martingale de Doob ) Seja M _t um martingale contínuo, e

${\ displaystyle M _ {\ infty} ^ {-} = \ liminf _ {t \ to \ infty} M_ {t},}$

${\ displaystyle M _ {\ infty} ^ {+} = \ limsup _ {t \ to \ infty} M_ {t}.}$

Então, apenas os dois casos a seguir são possíveis:

${\ displaystyle - \ infty <M _ {\ infty} ^ {-} = M _ {\ infty} ^ {+} <+ \ infty,}$

${\ displaystyle - \ infty = M _ {\ infty} ^ {-} <M _ {\ infty} ^ {+} = + \ infty;}$

outros casos (como etc.) são de probabilidade 0. ${\ displaystyle M _ {\ infty} ^ {-} = M _ {\ infty} ^ {+} = + \ infty,}$   ${\ displaystyle M _ {\ infty} ^ {-} <M _ {\ infty} ^ {+} <+ \ infty}$

Especialmente, um martingale contínuo não negativo tem um limite finito (como t → ∞) quase que certamente.

Tudo o que foi declarado (nesta subseção) para martingales também se aplica a martingales locais .

Mudança de medida

Uma ampla classe de semimartingales contínuos (especialmente, de processos de difusão ) está relacionada ao processo de Wiener por meio de uma combinação de mudança de tempo e mudança de medida .

Usando esse fato, as propriedades qualitativas declaradas acima para o processo de Wiener podem ser generalizadas para uma ampla classe de semimartingales contínuos.

Processo Wiener de valor complexo

O processo de Wiener de valor complexo pode ser definido como um processo aleatório de valor complexo da forma em que e são processos de Wiener independentes (de valor real). ${\ displaystyle Z_ {t} = X_ {t} + iY_ {t}}$${\ displaystyle X_ {t}}$${\ displaystyle Y_ {t}}$

Auto-similaridade

Escala browniana, inversão de tempo, inversão de tempo: o mesmo que no caso de valor real.

Invariância de rotação: para cada número complexo de forma que o processo seja outro processo de Wiener de valor complexo. ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle | c | = 1}$${\ displaystyle c \ cdot Z_ {t}}$

Mudança de horário

Se for uma função inteira, então o processo é um processo Wiener de valor complexo alterado pelo tempo. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (Z_ {t}) - f (0)}$

Exemplo: onde ${\ displaystyle Z_ {t} ^ {2} = (X_ {t} ^ {2} -Y_ {t} ^ {2}) + 2X_ {t} Y_ {t} i = U_ {A (t)}}$

${\ displaystyle A (t) = 4 \ int _ {0} ^ {t} | Z_ {s} | ^ {2} \, \ mathrm {d} s}$

e é outro processo Wiener de valor complexo. ${\ displaystyle U}$

Em contraste com o caso de valor real, um martingale de valor complexo geralmente não é um processo de Wiener de valor complexo alterado pelo tempo. Por exemplo, o martingale não é (aqui e são processos Wiener independentes, como antes). ${\ displaystyle 2X_ {t} + iY_ {t}}$${\ displaystyle X_ {t}}$${\ displaystyle Y_ {t}}$

Veja também

Notas

Referências

• Kleinert, Hagen (2004). Integrais de Caminho em Mecânica Quântica, Estatística, Física de Polímeros e Mercados Financeiros (4ª ed.). Singapura: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.(também disponível online: arquivos PDF )
• Stark, Henry; Woods, John (2002). Probabilidade e processos aleatórios com aplicações para processamento de sinais (3ª ed.). Nova Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-020071-9.
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1994). Martingales contínuos e movimento browniano (segunda edição). Springer-Verlag.

links externos

• Artigo para criança em idade escolar
• Movimento browniano, "Diverse and Undulating"
• Discute a história, botânica e física das observações originais de Brown, com vídeos
• "A previsão de Einstein finalmente testemunhada um século depois"  : um teste para observar a velocidade do movimento browniano
• "Aplicação Web Interativa: Processos Estocásticos usados ​​em Finanças Quantitativas" .