Elemento aleatório - Random element

Na teoria da probabilidade , elemento aleatório é uma generalização do conceito de variável aleatória para espaços mais complicados do que a linha real simples. O conceito foi introduzido por Maurice Fréchet  ( 1948 ) que comentou que o “desenvolvimento da teoria da probabilidade e a expansão da área de suas aplicações levaram à necessidade de passar de esquemas onde resultados (aleatórios) de experimentos podem ser descritos por número ou um conjunto finito de números, para esquemas onde os resultados dos experimentos representam, por exemplo, vetores , funções , processos, campos , séries , transformações e também conjuntos ou coleções de conjuntos. ”

O uso moderno de “elemento aleatório” freqüentemente assume que o espaço de valores é um espaço vetorial topológico , freqüentemente um espaço de Banach ou Hilbert com uma álgebra sigma natural especificada de subconjuntos.

Definição

Deixe ser um espaço de probabilidade e um espaço mensurável . Um elemento aleatório com valores em E é uma função X : Ω → E que é - mensurável . Ou seja, uma função X tal que para qualquer um , a pré - imagem de B reside . ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$${\ displaystyle ({\ mathcal {F}}, {\ mathcal {E}})}$${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Às vezes, elementos aleatórios com valores em são chamados de variáveis ​​aleatórias avaliadas. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$

Observe se , onde estão os números reais, e é sua σ-álgebra de Borel , então a definição de elemento aleatório é a definição clássica de variável aleatória . ${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}}) = (\ mathbb {R}, {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}))}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$

A definição de um elemento aleatório com valores em um espaço de Banach é normalmente entendida para utilizar a menor -álgebra em B para a qual cada funcional linear limitado é mensurável. Uma definição equivalente, neste caso, à anterior, é que um mapa , de um espaço de probabilidade, é um elemento aleatório se for uma variável aleatória para cada funcional linear limitado f , ou, equivalentemente, que seja fracamente mensurável . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle X: \ Omega \ rightarrow B}$${\ displaystyle f \ circ X}$${\ displaystyle X}$

Exemplos de elementos aleatórios

Variável aleatória

Uma variável aleatória é o tipo mais simples de elemento aleatório. É um mapa é uma função mensurável do conjunto de resultados possíveis para . ${\ displaystyle X \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Como uma função de valor real, geralmente descreve alguma quantidade numérica de um determinado evento. Por exemplo, o número de caras após um certo número de lançamentos de moeda; as alturas de pessoas diferentes. ${\ displaystyle X}$

Quando a imagem (ou intervalo) de é finita ou contávelmente infinita , a variável aleatória é chamada de variável aleatória discreta e sua distribuição pode ser descrita por uma função de massa de probabilidade que atribui uma probabilidade a cada valor na imagem de . Se a imagem é incontavelmente infinita, então é chamada de variável aleatória contínua. No caso especial de ser absolutamente contínuo , sua distribuição pode ser descrita por uma função de densidade de probabilidade , que atribui probabilidades a intervalos; em particular, cada ponto individual deve necessariamente ter probabilidade zero para uma variável aleatória absolutamente contínua. Nem todas as variáveis ​​aleatórias contínuas são absolutamente contínuas, por exemplo, uma distribuição de mistura . Essas variáveis ​​aleatórias não podem ser descritas por uma densidade de probabilidade ou uma função de massa de probabilidade. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Vetor aleatório

Um vetor aleatório é um vetor coluna (ou sua transposta , que é um vetor linha ) cujos componentes são variáveis ​​aleatórias de valor escalar no mesmo espaço de probabilidade , onde é o espaço de amostra , é a sigma-álgebra (a coleção de todos os eventos) , e é a medida de probabilidade (uma função que retorna a probabilidade de cada evento ). ${\ displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, ..., X_ {n}) ^ {T}}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle P}$

Os vectores aleatórios são frequentemente utilizados como a aplicação subjacente de vários tipos de agregados variáveis aleatórias , por exemplo, uma matriz aleatória , árvore aleatória , sequência aleatória , processo aleatório , etc.

Matriz aleatória

Uma matriz aleatória é um elemento aleatório avaliado em matriz . Muitas propriedades importantes de sistemas físicos podem ser representadas matematicamente como problemas de matriz. Por exemplo, a condutividade térmica de uma rede pode ser calculada a partir da matriz dinâmica das interações partícula-partícula dentro da rede.

Função aleatória

Uma função aleatória é um tipo de elemento aleatório no qual um único resultado é selecionado de alguma família de funções, onde a família consiste em alguma classe de todos os mapas do domínio ao codomínio . Por exemplo, a classe pode ser restrita a todas as funções contínuas ou a todas as funções de etapas . Os valores determinados por uma função aleatória avaliada em diferentes pontos da mesma realização geralmente não seriam estatisticamente independentes , mas, dependendo do modelo, os valores determinados nos mesmos pontos ou em diferentes pontos de diferentes realizações podem muito bem ser tratados como independentes.

Processo aleatório

Um processo aleatório é uma coleção de variáveis ​​aleatórias , representando a evolução de algum sistema de valores aleatórios ao longo do tempo. Esta é a contrapartida probabilística de um processo determinístico (ou sistema determinístico ). Em vez de descrever um processo que só pode evoluir de uma maneira (como no caso, por exemplo, de soluções de uma equação diferencial ordinária ), em um processo estocástico ou aleatório há alguma indeterminação: mesmo que a condição inicial (ou ponto de partida ) é conhecido, há várias (muitas vezes infinitamente muitas) direções nas quais o processo pode evoluir.

No caso simples de tempo discreto , em oposição ao tempo contínuo , um processo estocástico envolve uma sequência de variáveis ​​aleatórias e as séries temporais associadas a essas variáveis ​​aleatórias (por exemplo, consulte a cadeia de Markov , também conhecida como cadeia de Markov de tempo discreto).

Campo aleatório

Dado um espaço de probabilidade e um espaço mensurável X, um X -valued campo aleatório é uma coleção de X -valued variáveis aleatórias indexados por elementos em um espaço topológico T . Ou seja, um campo aleatório F é uma coleção ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$

${\ displaystyle \ {F_ {t}: t \ in T \}}$

onde cada um é uma variável aleatória avaliada em X.${\ displaystyle F_ {t}}$

Existem vários tipos de campos aleatórios, entre eles o campo aleatório de Markov (MRF), o campo aleatório de Gibbs (GRF), o campo aleatório condicional (CRF) e o campo aleatório Gaussiano . Um MRF exibe a propriedade Markoviana

${\ displaystyle P (X_ {i} = x_ {i} | X_ {j} = x_ {j}, i \ neq j) = P (X_ {i} = x_ {i} | \ parcial _ {i}) , \,}$

onde é um conjunto de vizinhos da variável aleatória X _i . Em outras palavras, a probabilidade de uma variável aleatória assumir um valor depende das outras variáveis ​​aleatórias apenas por meio daquelas que são suas vizinhas imediatas. A probabilidade de uma variável aleatória em um MRF é dada por ${\ displaystyle \ partial _ {i}}$

${\ displaystyle P (X_ {i} = x_ {i} | \ parcial _ {i}) = {\ frac {P (\ omega)} {\ sum _ {\ omega '} P (\ omega')}} ,}$

onde Ω 'é a mesma realização de Ω, exceto para a variável aleatória X _i . É difícil calcular com esta equação, sem recorrer à relação entre MRFs e GRFs proposta por Julian Besag em 1974.

Medida aleatória

Uma medida aleatória é um elemento aleatório avaliado por medida . Seja X um espaço métrico separável completo e a σ-álgebra de seus conjuntos de Borel. Uma medida de Borel μ em X é limitada se μ (A) <∞ para cada conjunto limitado de Borel A. Seja o espaço de todas as medidas limitadas finitas em . Seja (Ω, ℱ, P ) um espaço de probabilidade , então uma medida aleatória mapeia deste espaço de probabilidade para o espaço mensurável ( ,  ) . Uma medida geralmente pode ser decomposta como: ${\ displaystyle {\ mathfrak {B}} (X)}$${\ displaystyle M_ {X}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {B}} (X)}$ ${\ displaystyle M_ {X}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {B}} (M_ {X})}$

${\ displaystyle \ mu = \ mu _ {d} + \ mu _ {a} = \ mu _ {d} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ kappa _ {n} \ delta _ {X_ {n}},}$

Aqui está uma medida difusa sem átomos, enquanto é uma medida puramente atômica. ${\ displaystyle \ mu _ {d}}$${\ displaystyle \ mu _ {a}}$

Conjunto aleatório

Um conjunto aleatório é um elemento aleatório com valor definido.

Um exemplo específico é um conjunto compacto aleatório . Let Ser um espaço métrico separável completo . Deixe denotar o conjunto de todos os subconjuntos compactos de . A métrica de Hausdorff on é definida por ${\ displaystyle (M, d)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$

${\ displaystyle h (K_ {1}, K_ {2}): = \ max \ left \ {\ sup _ {a \ in K_ {1}} \ inf _ {b \ in K_ {2}} d (a , b), \ sup _ {b \ in K_ {2}} \ inf _ {a \ in K_ {1}} d (a, b) \ right \}.}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {K}}, h)}$ também é um espaço métrico separável completo. Os subconjuntos abertos correspondentes geram uma σ-álgebra em , a álgebra de Borel sigma de . ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {K}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$

Um conjunto compacto aleatório é uma função mensurável de um espaço de probabilidade para . ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle ({\ mathcal {K}}, {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {K}}))}$

Dito de outra forma, um conjunto compacto aleatório é uma função mensurável que é quase certamente compacta e ${\ displaystyle K \ colon \ Omega \ to 2 ^ {M}}$${\ displaystyle K (\ omega)}$

${\ displaystyle \ omega \ mapsto \ inf _ {b \ in K (\ omega)} d (x, b)}$

é uma função mensurável para todos . ${\ displaystyle x \ in M}$

Objetos geométricos aleatórios

Isso inclui pontos aleatórios, figuras aleatórias e formas aleatórias.

Referências

Literatura

links externos

• Artigo na Springer Encyclopedia of Mathematics