Aleatório conjunto compacto - Random compact set

Em matemática , um conjunto compacto aleatório é, essencialmente, um conjunto compacto -valued variável aleatória . Conjuntos compactos aleatórias são úteis no estudo de atratores para sistemas dinâmicos aleatórios .

Definição

Vamos ser um completo separável espaço métrico . Vamos denotar o conjunto de todos os subconjuntos compactos de . A métrica de Hausdorff on é definida por ${\ Displaystyle (H, d)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle {\ mathcal {K}}}$

${\ Displaystyle h (K_ {1}, K_ {2}): = \ max \ esquerda \ {\ sup _ {{1}} \ inf _ {b \ em K_ {2}} d a \ em K_ (um , b), \ _ sup {b \ em K_ {2}} \ _ {inf um \ em K_ {1}} d (a, b) \ direita \}.}$

${\ Displaystyle ({\ mathcal {K}}, h)}$é também de Ð completar espaço métrico separável. Os correspondentes subconjuntos abertos gerar um σ-álgebra sobre , o Borel sigma álgebra de . ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {K}})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {K}}}$

Um conjunto compacto aleatório é а função mensurável de а espaço de probabilidade em . ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$${\ Displaystyle ({\ mathcal {K}}, {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {K}}))}$

Dito de outra forma, um conjunto compacto aleatória é uma função mensurável tal que é quase certamente compacto e ${\ Displaystyle K \ cólon \ Omega \ a 2 ^ {H}}$${\ Displaystyle K (\ omega)}$

${\ Displaystyle \ omega \ mapsto \ inf _ {b \ em K (\ omega)} d (x, b)}$

é uma função mensurável para cada . ${\ Displaystyle x \ em H}$

Discussão

Conjuntos compactos aleatórios neste sentido, também são conjuntos fechados aleatórios como em Matheron (1975). Por conseguinte, sob o pressuposto de que o espaço adicional transportador é localmente compacto, a sua distribuição é dada pelas probabilidades

${\ Displaystyle \ mathbb {P} (X \ tampão K = \ emptyset)}$ para ${\ Displaystyle K \ in {\ mathcal {K}}.}$

(A distribuição aleatória de а conjunto convexo compacto também é dada pelo sistema de todas as probabilidades de inclusão ) ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (X \ subconjunto K).}$

Por , a probabilidade é obtido, o qual satisfaz ${\ Displaystyle K = \ {x \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} (x \ em X)}$

${\ Displaystyle \ mathbb {P} (x \ em X) = 1- \ mathbb {P} (x \ \ não em X).}$

Assim, a função de cobrir é dada pela ${\ Displaystyle p_ {X}}$

${\ Displaystyle P_ {X} (x) = \ mathbb {P} (x \ em X)}$ para ${\ Displaystyle x \} em M.$

É claro, também pode ser interpretado como a média da função de indicador : ${\ Displaystyle p_ {X}}$${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {X}}$

${\ Displaystyle P_ {X} (x) = \ mathbb {E} \ mathbf {1} _ {X} (x)}.$

A função de cobertura toma valores entre e . O conjunto de tudo com é chamado de suporte de . O conjunto , de tudo com é chamado de semente , o conjunto de pontos fixos ou mínimos essencial . Se , é seqüência а de IID conjuntos compactos aleatórios, então quase certamente ${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle b_ {X}}$${\ Displaystyle x \ em H}$${\ P_ displaystyle {X} (x)> 0}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle k_ {X}}$${\ Displaystyle x \ em H}$${\ Displaystyle P_ {X} (x) = 1}$ ${\ Displaystyle E (x)}$${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ ldots}$

${\ Displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} X_ {i} = E (x)}$

e converge quase certamente para${\ Displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} X_ {i}}$${\ Displaystyle e (X).}$

Referências

• Matheron, G. (1975) conjuntos aleatórios e Geometria Integral . J. Wiley & Sons, Nova Iorque.
• Molchanov, I. (2005) a teoria dos conjuntos aleatórios . Springer, New York.
• Stoyan D., e H.Stoyan (1994) Fractals, aleatórios Formas e Ponto de campos . John Wiley & Sons, Chichester, New York.