Vetores de linha e coluna - Row and column vectors
Na álgebra linear , um vetor coluna é uma coluna de entradas, por exemplo,
Da mesma forma, um vetor linha é uma linha de entradas
Em todo o texto, negrito é usado para vetores de linha e coluna. A transposta (indicada por T) de um vetor linha é o vetor coluna
e a transposição de um vetor coluna é o vetor linha
O conjunto de todos os vetores linha com n entradas forma um espaço vetorial n- dimensional ; da mesma forma, o conjunto de todos os vetores de coluna com m entradas forma um espaço vetorial m- dimensional.
O espaço de vetores de linha com n entradas pode ser considerado como o espaço dual do espaço de vetores de coluna com n entradas, uma vez que qualquer funcional linear no espaço de vetores de coluna pode ser representado como a multiplicação à esquerda de um único vetor de linha.
Notação
Para simplificar a escrita de vetores de coluna em linha com outro texto, às vezes eles são escritos como vetores de linha com a operação de transposição aplicada a eles.
ou
Alguns autores também usam a convenção de escrever vetores de coluna e vetores de linha como linhas, mas separando os elementos do vetor de linha com vírgulas e os elementos do vetor de coluna com ponto e vírgula (consulte a notação alternativa 2 na tabela abaixo).
Vetor linha | Vetor coluna | |
---|---|---|
Notação de matriz padrão (espaços de matriz, sem vírgulas, sinais de transposição) |
||
Notação alternativa 1 (vírgulas, sinais de transposição) |
||
Notação alternativa 2 (vírgulas e ponto e vírgula, sem sinais de transposição) |
Operações
A multiplicação de matrizes envolve a ação de multiplicar cada vetor linha de uma matriz por cada vetor coluna de outra matriz.
O produto escalar de dois vetores de coluna a e b é equivalente ao produto da matriz da transposta de a com b ,
Pela simetria do produto escalar, o produto escalar de dois vetores de coluna a e b também é equivalente ao produto da matriz da transposta de b com a ,
O produto de matriz de uma coluna e um vector da linha dá ao produto externo dos dois vectores de uma e b , um exemplo do mais geral do produto tensor . O produto da matriz da representação do vetor coluna de a e a representação do vetor linha de b fornecem os componentes de seu produto diádico,
que é a transposta do produto da matriz da representação do vetor coluna de b e a representação do vetor linha de a ,
Transformações de matriz
Um n × n matriz M pode representar um mapa linear e agir sobre os vectores de linha e coluna como do mapa linear matriz de transformação . Para um vetor linha v , o produto vM é outro vetor linha p :
Outra n × n matriz Q pode agir em p ,
Então, pode-se escrever t = p Q = v MQ , de modo que a transformação do produto da matriz MQ mapeia v diretamente para t . Continuando com os vetores de linha, as transformações de matriz que reconfiguram ainda mais o espaço n podem ser aplicadas à direita das saídas anteriores.
Quando um vector de coluna é transformado em outro vector de coluna sob uma N × n acção da matriz, a operação ocorre à esquerda,
- ,
levando à expressão algébrica QM v T para a saída composta da entrada v T. As transformações de matriz são montadas à esquerda neste uso de um vetor de coluna para entrada para transformação de matriz.
Veja também
- Covariância e contravariância de vetores
- Notação de índice
- Vetor de uns
- Vetor de entrada única
- Vetor de unidade padrão
- Vetor unitário
Notas
Referências
- Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
- Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Linear Algebra and Its Applications (3ª ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
- Meyer, Carl D. (15 de fevereiro de 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra , Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8 , arquivado do original em 1º de março de 2001
- Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2ª ed.), Brooks / Cole, ISBN 0-534-99845-3
- Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9ª ed.), Wiley International
- Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7ª ed.), Pearson Prentice Hall