Equação de Schrödinger não linear - Nonlinear Schrödinger equation

Valor absoluto do envelope complexo de soluções analíticas respiratórias exatas da equação de Schrödinger não linear (NLS) na forma não dimensional . (A) O respirador Akhmediev; (B) o respirador Peregrino ; (C) o respirador Kuznetsov-Ma.

Na física teórica , a equação de Schrödinger ( unidimensional) não linear ( NLSE ) é uma variação não linear da equação de Schrödinger . É uma equação de campo clássica cujas principais aplicações são para a propagação da luz em fibras ópticas não lineares e guias de ondas planas e para condensados ​​de Bose-Einstein confinados a armadilhas em forma de charuto altamente anisotrópicas, no regime de campo médio. Além disso, a equação aparece nos estudos de ondas de gravidade de pequena amplitude na superfície de água profunda e invíscida (viscosidade zero); as ondas de Langmuir em plasmas quentes; a propagação de feixes de ondas difratadas no plano nas regiões de foco da ionosfera; a propagação dos solitons da hélice alfa de Davydov , que são responsáveis ​​pelo transporte de energia ao longo das cadeias moleculares; e muitos outros. De forma mais geral, o NLSE aparece como uma das equações universais que descrevem a evolução de pacotes de variação lenta de ondas quase monocromáticas em meios não lineares fracamente que têm dispersão . Ao contrário da equação linear de Schrödinger , o NLSE nunca descreve a evolução temporal de um estado quântico. O 1D NLSE é um exemplo de modelo integrável .

Na mecânica quântica , o 1D NLSE é um caso especial do campo de Schrödinger não linear clássico , que por sua vez é um limite clássico de um campo de Schrödinger quântico. Por outro lado, quando o campo de Schrödinger clássico é canonicamente quantizado , ele se torna uma teoria quântica de campo (que é linear, apesar do fato de ser chamada de ″ equação de Schrödinger quântica não linear ″) que descreve partículas pontuais bosônicas com interações de função delta - as partículas também repelir ou atrair quando eles estão no mesmo ponto. Na verdade, quando o número de partículas é finito, essa teoria quântica de campos é equivalente ao modelo de Lieb-Liniger . Tanto as equações quânticas quanto as clássicas 1D não lineares de Schrödinger são integráveis. De especial interesse é o limite de repulsão de força infinita, caso em que o modelo Lieb-Liniger torna - se o gás Tonks-Girardeau (também chamado de gás de Bose de núcleo duro, ou gás de Bose impenetrável). Nesse limite, os bósons podem, por uma mudança de variáveis ​​que é uma generalização contínua da transformação de Jordan-Wigner , ser transformados em um sistema de férmions spinless não interativos unidimensionais.

A equação de Schrödinger não linear é uma forma simplificada 1 + 1-dimensional da equação de Ginzburg-Landau introduzida em 1950 em seu trabalho sobre supercondutividade e foi escrita explicitamente por RY Chiao, E. Garmire e CH Townes ( 1964 , equação (5 )) em seu estudo de feixes ópticos.

A versão multidimensional substitui a segunda derivada espacial pelo Laplaciano. Em mais de uma dimensão, a equação não é integrável, ela permite um colapso e turbulência das ondas.

Equação

A equação de Schrödinger não linear é uma equação diferencial parcial não linear , aplicável à mecânica clássica e quântica .

Equação clássica

A equação de campo clássica (na forma adimensional ) é:

para o campo complexo ψ ( x , t ).

Esta equação surge do Hamiltoniano

${\ displaystyle H = \ int \ mathrm {d} x \ left [{1 \ over 2} | \ partial _ {x} \ psi | ^ {2} + {\ kappa \ over 2} | \ psi | ^ { 4} \ right]}$

com os colchetes de Poisson

${\ displaystyle \ {\ psi (x), \ psi (y) \} = \ {\ psi ^ {*} (x), \ psi ^ {*} (y) \} = 0 \,}$

${\ displaystyle \ {\ psi ^ {*} (x), \ psi (y) \} = i \ delta (xy). \,}$

Ao contrário de sua contraparte linear, nunca descreve a evolução temporal de um estado quântico.

O caso com κ negativo é chamado de focalização e permite soluções de soliton brilhantes (localizadas no espaço, e com atenuação espacial para o infinito), bem como soluções de respiro . Isso pode ser resolvido exatamente pelo uso da transformada de espalhamento inversa , como mostrado por Zakharov & Shabat (1972) (veja abaixo ). O outro caso, com κ positivo, é o NLS de desfocagem que tem soluções de soliton escuras (tendo amplitude constante no infinito e uma queda espacial local na amplitude).

Mecânica quântica

Para obter a versão quantizada , basta substituir os colchetes de Poisson por comutadores

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {} [\ psi (x), \ psi (y)] & = [\ psi ^ {*} (x), \ psi ^ {*} (y)] = 0 \ \ {} [\ psi ^ {*} (x), \ psi (y)] & = - \ delta (xy) \ end {alinhado}}}$

e a ordem normal do hamiltoniano

${\ displaystyle H = \ int dx \ left [{1 \ over 2} \ partial _ {x} \ psi ^ {\ dagger} \ partial _ {x} \ psi + {\ kappa \ over 2} \ psi ^ { \ dagger} \ psi ^ {\ dagger} \ psi \ psi \ right].}$

A versão quântica foi resolvida por Bethe ansatz por Lieb e Liniger . A termodinâmica foi descrita por Chen-Ning Yang . As funções de correlação quântica também foram avaliadas por Korepin em 1993. O modelo tem leis de conservação mais altas - Davies e Korepin em 1989 as expressaram em termos de campos locais.

Resolvendo a equação

A equação de Schrödinger não linear é integrável em 1d: Zakharov e Shabat ( 1972 ) a resolveram com a transformada de espalhamento inversa . O sistema linear de equações correspondente é conhecido como sistema Zakharov-Shabat :

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ phi _ {x} & = J \ phi \ Lambda + U \ phi \\\ phi _ {t} & = 2J \ phi \ Lambda ^ {2} + 2U \ phi \ Lambda + \ left (JU ^ {2} -JU_ {x} \ right) \ phi, \ end {alinhado}}}$

Onde

${\ displaystyle \ Lambda = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {1} & 0 \\ 0 & \ lambda _ {2} \ end {pmatrix}}, \ quad J = i \ sigma _ {z} = {\ begin {pmatriz} i & 0 \\ 0 & -i \ end {pmatriz}}, \ quad U = i {\ begin {pmatriz} 0 & q \\ r & 0 \ end {pmatriz}}.}$

A equação não linear de Schrödinger surge como condição de compatibilidade do sistema Zakharov-Shabat:

${\ displaystyle \ phi _ {xt} = \ phi _ {tx} \ quad \ Rightarrow \ quad U_ {t} = - JU_ {xx} + 2JU ^ {2} U \ quad \ Leftrightarrow \ quad {\ begin {cases } iq_ {t} = q_ {xx} + 2qrq \\ ir_ {t} = - r_ {xx} -2qrr. \ end {casos}}}$

Definindo q = r * ou q = - r * a equação de Schrödinger não linear com interação atrativa ou repulsiva é obtida.

Uma abordagem alternativa usa o sistema Zakharov – Shabat diretamente e emprega a seguinte transformação de Darboux :

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ phi \ to \ phi [1] & = \ phi \ Lambda - \ sigma \ phi \\ U \ to U [1] & = U + [J, \ sigma] \\\ sigma & = \ varphi \ Omega \ varphi ^ {- 1} \ end {alinhado}}}$

o que deixa o sistema invariável.

Aqui, φ é outra solução de matriz invertível (diferente de ϕ ) do sistema Zakharov-Shabat com parâmetro espectral Ω:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ varphi _ {x} & = J \ varphi \ Omega + U \ varphi \\\ varphi _ {t} & = 2J \ varphi \ Omega ^ {2} + 2U \ varphi \ Omega + \ left (JU ^ {2} -JU_ {x} \ right) \ varphi. \ End {alinhado}}}$

Partindo da solução trivial U = 0 e iterando, obtém-se as soluções com n solitons .

A equação NLS é uma equação diferencial parcial como a equação Gross-Pitaevskii . Normalmente não tem solução analítica e os mesmos métodos numéricos usados ​​para resolver a equação de Gross-Pitaevskii, como os métodos espectrais de passo dividido Crank-Nicolson e Fourier , são usados ​​para sua solução. Existem diferentes programas Fortran e C para sua solução .

Invariância Galileana

A equação de Schrödinger não linear é invariante de Galileu no seguinte sentido:

Dada uma solução ψ ( x, t ), uma nova solução pode ser obtida substituindo x por x + vt em qualquer lugar em ψ ( x, t ) e acrescentando um fator de fase de : ${\ displaystyle e ^ {- iv (x + vt / 2)} \,}$

${\ displaystyle \ psi (x, t) \ mapsto \ psi _ {[v]} (x, t) = \ psi (x + vt, t) \; e ^ {- iv (x + vt / 2)} .}$

A equação não linear de Schrödinger em fibra óptica

Em óptica , a equação de Schrödinger não linear ocorre no sistema Manakov , um modelo de propagação de ondas em fibra óptica. A função ψ representa uma onda e a equação de Schrödinger não linear descreve a propagação da onda através de um meio não linear. A derivada de segunda ordem representa a dispersão, enquanto o termo κ representa a não linearidade. A equação modela muitos efeitos de não linearidade em uma fibra, incluindo, mas não se limitando a modulação de fase automática , mistura de quatro ondas , geração de segundo harmônico , espalhamento Raman estimulado , solitons ópticos , pulsos ultracurtos , etc.

A equação não linear de Schrödinger em ondas de água

Um soliton de envelope secante hiperbólico (sech) para ondas de superfície em águas profundas.
Linha azul: ondas de água.
Linha vermelha: soliton de envelope.

Para ondas de água , a equação de Schrödinger não linear descreve a evolução do envelope de grupos de ondas moduladas . Em um artigo de 1968, Vladimir E. Zakharov descreve a estrutura hamiltoniana das ondas de água. No mesmo artigo, Zakharov mostra que, para grupos de ondas moduladas lentamente, a amplitude da onda satisfaz a equação de Schrödinger não linear, aproximadamente. O valor do parâmetro de não linearidade k depende da profundidade relativa da água. Para águas profundas, com a profundidade da água grande em comparação com o comprimento de onda das ondas de água, к é negativo e podem ocorrer solitons de envelope . Além disso, esses solitons de envelope podem ser acelerados sob o fluxo de água dependente do tempo externo.

Para águas rasas, com comprimentos de onda maiores que 4,6 vezes a profundidade da água, o parâmetro de não linearidade k é positivo e não existem grupos de ondas com solitons de envelope . Em águas rasas de elevação de superfície, solitons ou ondas de translação existem, mas não são governados pela equação de Schrödinger não linear.

A equação não linear de Schrödinger é considerada importante para explicar a formação de ondas rebeldes .

O campo complexo ψ , como aparece na equação de Schrödinger não linear, está relacionado à amplitude e fase das ondas de água. Considere uma onda portadora lentamente modulada com elevação da superfície da água η da forma:

${\ displaystyle \ eta = a (x_ {0}, t_ {0}) \; \ cos \ left [k_ {0} \, x_ {0} - \ omega _ {0} \, t_ {0} - \ teta (x_ {0}, t_ {0}) \ direita],}$

onde a ( x ₀ , t ₀ ) e θ ( x ₀ , t ₀ ) são a amplitude e fase moduladas lentamente . Além disso, ω ₀ e k ₀ são a frequência angular (constante) e o número de onda das ondas portadoras, que devem satisfazer a relação de dispersão ω ₀ = Ω ( k ₀ ). Então

${\ displaystyle \ psi = a \; \ exp \ left (i \ theta \ right).}$

Portanto, seu módulo | ψ | é a amplitude da onda a , e seu argumento arg ( ψ ) é a fase θ .

A relação entre as coordenadas físicas ( x ₀ , t ₀ ) e as coordenadas ( x, t ), conforme usado na equação de Schrödinger não linear dada acima , é dada por:

${\ displaystyle x = k_ {0} \ left [x_ {0} - \ Omega '(k_ {0}) \; t_ {0} \ right], \ quad t = k_ {0} ^ {2} \ left [- \ Omega '' (k_ {0}) \ right] \; t_ {0}}$

Assim ( x, t ) é um sistema de coordenadas transformado movendo-se com a velocidade do grupo Ω '( k ₀ ) das ondas portadoras. A curvatura da relação de dispersão Ω "( k ₀ ) - representando a dispersão da velocidade do grupo - é sempre negativa para ondas de água sob a ação da gravidade, para qualquer profundidade de água.

Para ondas na superfície da água de águas profundas, os coeficientes de importância para a equação de Schrödinger não linear são:

${\ displaystyle \ kappa = -2k_ {0} ^ {2}, \ quad \ Omega (k_ {0}) = {\ sqrt {gk_ {0}}} = \ omega _ {0} \, \!}$   tão   ${\ displaystyle \ Omega '(k_ {0}) = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ omega _ {0}} {k_ {0}}}, \ quad \ Omega' '(k_ {0}) = - {\ frac {1} {4}} {\ frac {\ omega _ {0}} {k_ {0} ^ {2}}}, \, \!}$

onde g é a aceleração da gravidade na superfície da Terra.

Nas coordenadas originais ( x ₀ , t ₀ ), a equação de Schrödinger não linear para ondas de água diz:

${\ displaystyle i \, \ partial _ {t_ {0}} A + i \, \ Omega '(k_ {0}) \, \ partial _ {x_ {0}} A + {\ tfrac {1} {2} } \ Omega '' (k_ {0}) \, \ parcial _ {x_ {0} x_ {0}} A- \ nu \, | A | ^ {2} \, A = 0,}$

com (isto é, o conjugado complexo de ) e So para ondas de águas profundas. ${\ displaystyle A = \ psi ^ {*}}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ nu = \ kappa \, k_ {0} ^ {2} \, \ Omega '' (k_ {0}).}$${\ displaystyle \ nu = {\ tfrac {1} {2}} \ omega _ {0} k_ {0} ^ {2}}$

Contraparte equivalente do medidor

NLSE (1) é um calibre equivalente à seguinte equação isotrópica de Landau-Lifshitz (LLE) ou equação ferromagnética de Heisenberg

${\ displaystyle {\ vec {S}} _ {t} = {\ vec {S}} \ wedge {\ vec {S}} _ {xx}. \ qquad}$

Observe que esta equação admite várias generalizações integráveis ​​e não integráveis ​​em dimensões 2 + 1 como a equação de Ishimori e assim por diante.

Relação com vórtices

Hasimoto (1972) mostrou que o trabalho de da Rios  ( 1906 ) sobre filamentos de vórtice está intimamente relacionado com a equação de Schrödinger não linear. Posteriormente, Salman (2013) usou essa correspondência para mostrar que soluções de respiro também podem surgir para um filamento de vórtice.

Veja também

• Sistema AKNS
• Equação Eckhaus
• Interação quártica para um modelo relacionado na teoria quântica de campos
• Soliton (ótica)
• Equação de Schrödinger logarítmica

Notas

Referências

Notas

De outros

links externos

• "Sistemas de Schrodinger não lineares" . Scholarpedia .
• Aula tutorial sobre Equação de Schrodinger Não Linear (vídeo) .
• Equação de Schrodinger não linear com uma não linearidade cúbica em EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Equação de Schrodinger não linear com uma não linearidade da lei de potência em EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Equação de Schrodinger não linear de forma geral em EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Aspectos matemáticos da equação de Schrödinger não linear em Dispersive Wiki