Método espectral - Spectral method

Os métodos espectrais são uma classe de técnicas usadas em matemática aplicada e computação científica para resolver numericamente certas equações diferenciais , potencialmente envolvendo o uso da transformada rápida de Fourier . A ideia é escrever a solução da equação diferencial como uma soma de certas " funções de base " (por exemplo, como uma série de Fourier que é uma soma de sinusóides ) e então escolher os coeficientes na soma a fim de satisfazer o diferencial equação tão bem quanto possível.

Os métodos espectrais e os métodos de elementos finitos estão intimamente relacionados e se baseiam nas mesmas idéias; a principal diferença entre eles é que os métodos espectrais usam funções básicas diferentes de zero em todo o domínio, enquanto os métodos de elementos finitos usam funções básicas diferentes de zero apenas em pequenos subdomínios. Em outras palavras, os métodos espectrais assumem uma abordagem global, enquanto os métodos de elementos finitos usam uma abordagem local . Em parte por esse motivo, os métodos espectrais apresentam excelentes propriedades de erro, sendo a chamada "convergência exponencial" a mais rápida possível, quando a solução é suave . No entanto, não há resultados conhecidos de captura de choque espectral de domínio único tridimensional (as ondas de choque não são suaves). Na comunidade de elementos finitos, um método em que o grau dos elementos é muito alto ou aumenta à medida que o parâmetro de grade h diminui para zero às vezes é chamado de método de elemento espectral .

Os métodos espectrais podem ser usados ​​para resolver equações diferenciais ordinárias (EDOs), equações diferenciais parciais (PDEs) e problemas de autovalor envolvendo equações diferenciais. Ao aplicar métodos espectrais a PDEs dependentes do tempo, a solução é tipicamente escrita como uma soma de funções de base com coeficientes dependentes do tempo; substituir isso no PDE produz um sistema de EDOs nos coeficientes que podem ser resolvidos usando qualquer método numérico para EDOs . Os problemas de autovalor para EDOs são convertidos de forma semelhante em problemas de autovalor de matriz.

Os métodos espectrais foram desenvolvidos em uma longa série de artigos por Steven Orszag a partir de 1969, incluindo, mas não se limitando a, métodos da série de Fourier para problemas de geometria periódica, métodos espectrais polinomiais para problemas de geometria finita e ilimitada, métodos pseudoespectrais para problemas altamente não lineares e espectrais métodos de iteração para solução rápida de problemas de estado estacionário. A implementação do método espectral é normalmente realizada com colocação ou uma abordagem de Galerkin ou Tau .

Os métodos espectrais são computacionalmente mais baratos do que os métodos de elementos finitos, mas se tornam menos precisos para problemas com geometrias complexas e coeficientes descontínuos. Esse aumento no erro é consequência do fenômeno de Gibbs .

Exemplos de métodos espectrais

Um exemplo concreto e linear

Aqui, presumimos uma compreensão do cálculo multivariado básico e da série de Fourier . Se for uma função conhecida de valor complexo de duas variáveis ​​reais, eg é periódica em xey (ou seja, ) , então estamos interessados ​​em encontrar uma função f (x, y) para que ${\ displaystyle g (x, y)}$${\ displaystyle g (x, y) = g (x + 2 \ pi, y) = g (x, y + 2 \ pi)}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} \ direita) f (x, y) = g (x, y) \ quad {\ text {para todos}} x, y}$

onde a expressão à esquerda denota as segundas derivadas parciais de f em x e y, respectivamente. Esta é a equação de Poisson e pode ser interpretada fisicamente como algum tipo de problema de condução de calor, ou um problema na teoria do potencial, entre outras possibilidades.

Se escrevermos feg na série de Fourier:

${\ displaystyle f =: \ sum a_ {j, k} e ^ {i (jx + ky)}}$

${\ displaystyle g =: \ sum b_ {j, k} e ^ {i (jx + ky)}}$

e substituir na equação diferencial, obtemos esta equação:

${\ displaystyle \ sum -a_ {j, k} (j ^ {2} + k ^ {2}) e ​​^ {i (jx + ky)} = \ sum b_ {j, k} e ^ {i (jx + ky)}}$

Trocamos a diferenciação parcial por uma soma infinita, o que é legítimo se assumirmos, por exemplo, que f tem uma segunda derivada contínua. Pelo teorema da unicidade para expansões de Fourier, devemos então igualar os coeficientes de Fourier termo por termo, dando

(*) ${\ displaystyle a_ {j, k} = - {\ frac {b_ {j, k}} {j ^ {2} + k ^ {2}}}}$

que é uma fórmula explícita para os coeficientes de Fourier a _{j , k} .

Com condições de contorno periódicas, a equação de Poisson possui uma solução apenas se b _{0 , 0} = 0 . Portanto, podemos escolher livremente um _{0 , 0} que será igual à média da resolução. Isso corresponde à escolha da constante de integração.

Para transformar isso em um algoritmo, apenas um número finito de frequências é resolvido. Isso introduz um erro que pode ser mostrado como proporcional a , onde e é a frequência mais alta tratada. ${\ displaystyle h ^ {n}}$${\ displaystyle h: = 1 / n}$${\ displaystyle n}$

Algoritmo

1. Calcule a transformada de Fourier ( b _{j, k} ) de g .
2. Calcule a transformada de Fourier ( a _{j, k} ) de f por meio da fórmula (*).
3. Calcule f tomando uma transformada de Fourier inversa de ( a _{j, k} ).

Como estamos interessados ​​apenas em uma janela finita de frequências (de tamanho n , digamos), isso pode ser feito usando um algoritmo de transformada rápida de Fourier . Portanto, globalmente, o algoritmo é executado no tempo O ( n log n ).

Exemplo não linear

Queremos resolver a equação de Burgers forçada, transitória e não linear usando uma abordagem espectral.

Dado no domínio periódico , encontre tal que ${\ displaystyle u (x, 0)}$${\ displaystyle x \ in \ left [0,2 \ pi \ right)}$${\ displaystyle u \ in {\ mathcal {U}}}$

${\ displaystyle \ partial _ {t} u + u \ partial _ {x} u = \ rho \ partial _ {xx} u + f \ quad \ forall x \ in \ left [0,2 \ pi \ right), \ forall t> 0}$

onde ρ é o coeficiente de viscosidade . Na forma conservadora fraca, isso se torna

${\ displaystyle \ left \ langle \ partial _ {t} u, v \ right \ rangle = \ left \ langle \ partial _ {x} \ left (- {\ frac {1} {2}} u ^ {2} + \ rho \ partial _ {x} u \ right), v \ right \ rangle + \ left \ langle f, v \ right \ rangle \ quad \ forall v \ in {\ mathcal {V}}, \ forall t> 0}$

onde segue a notação interna do produto . Integração por partes e uso de bolsas de periodicidade ${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle: = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (x) {\ overline {g (x)}} \, dx}$

${\ displaystyle \ langle \ partial _ {t} u, v \ rangle = \ left \ langle {\ frac {1} {2}} u ^ {2} - \ rho \ partial _ {x} u, \ partial _ {x} v \ right \ rangle + \ left \ langle f, v \ right \ rangle \ quad \ forall v \ in {\ mathcal {V}}, \ forall t> 0.}$

Para aplicar o método de Fourier- Galerkin , escolha ambos

${\ displaystyle {\ mathcal {U}} ^ {N}: = \ left \ {u: u (x, t) = \ sum _ {k = -N / 2} ^ {N / 2-1} {\ chapéu {u}} _ {k} (t) e ^ {ikx} \ right \}}$

e

${\ displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {N}: = \ operatorname {span} \ left \ {e ^ {ikx}: k \ in -N / 2, \ dots, N / 2-1 \ right \ }}$

onde . Isso reduz o problema de encontrar tal ${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {k} (t): = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ langle u (x, t), e ^ {ikx} \ rangle}$${\ displaystyle u \ in {\ mathcal {U}} ^ {N}}$

${\ displaystyle \ langle \ partial _ {t} u, e ^ {ikx} \ rangle = \ left \ langle {\ frac {1} {2}} u ^ {2} - \ rho \ partial _ {x} u , \ parcial _ {x} e ^ {ikx} \ right \ rangle + \ left \ langle f, e ^ {ikx} \ right \ rangle \ quad \ forall k \ in \ left \ {- N / 2, \ dots , N / 2-1 \ right \}, \ forall t> 0.}$

Usando a relação de ortogonalidade onde é o delta de Kronecker , simplificamos os três termos acima para cada um ver ${\ displaystyle \ langle e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ rangle = 2 \ pi \ delta _ {lk}}$${\ displaystyle \ delta _ {lk}}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ left \ langle \ partial _ {t} u, e ^ {ikx} \ right \ rangle & = \ left \ langle \ partial _ {t} \ sum _ {l} {\ hat {u}} _ {l} e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ right \ rangle = \ left \ langle \ sum _ {l} \ partial _ {t} {\ hat {u}} _ { l} e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ right \ rangle = 2 \ pi \ partial _ {t} {\ hat {u}} _ {k}, \\\ left \ langle f, e ^ { ikx} \ right \ rangle & = \ left \ langle \ sum _ {l} {\ hat {f}} _ {l} e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ right \ rangle = 2 \ pi {\ hat {f}} _ {k}, {\ text {e}} \\\ left \ langle {\ frac {1} {2}} u ^ {2} - \ rho \ partial _ {x} u, \ parcial _ {x} e ^ {ikx} \ right \ rangle & = \ left \ langle {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {p} {\ hat {u}} _ {p} e ^ {ipx} \ right) \ left (\ sum _ {q} {\ hat {u}} _ {q} e ^ {iqx} \ right) - \ rho \ partial _ {x} \ sum _ {l } {\ hat {u}} _ {l} e ^ {ilx}, \ partial _ {x} e ^ {ikx} \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle {\ frac {1} {2} } \ sum _ {p} \ sum _ {q} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u}} _ {q} e ^ {i \ left (p + q \ right) x} , ike ^ {ikx} \ right \ rangle - \ left \ langle \ rho i \ sum _ {l} l {\ hat {u}} _ {l} e ^ {ilx}, ike ^ {ikx} \ right \ rangle \\ & = - {\ frac {ik} {2}} \ left \ langle \ sum _ {p} \ sum _ {q} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u}} _ {q} e ^ {i \ left (p + q \ right) x}, e ^ {ikx} \ right \ rangle - \ rho k \ left \ langle \ sum _ {l} l {\ hat {u}} _ {l} e ^ {ilx}, e ^ {ikx} \ right \ rangle \\ & = - i \ pi k \ sum _ {p + q = k} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u}} _ {q} -2 \ pi \ rho {} k ^ {2} {\ hat {u}} _ {k}. \ End {alinhado}}}$

Reúna os três termos para cada um para obter ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle 2 \ pi \ partial _ {t} {\ hat {u}} _ {k} = - i \ pi k \ sum _ {p + q = k} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u}} _ {q} -2 \ pi \ rho {} k ^ {2} {\ hat {u}} _ {k} +2 \ pi {\ hat {f}} _ {k} \ quad k \ in \ left \ {- N / 2, \ dots, N / 2-1 \ right \}, \ forall t> 0.}$

Dividindo por , finalmente chegamos a ${\ displaystyle 2 \ pi}$

${\ displaystyle \ partial _ {t} {\ hat {u}} _ {k} = - {\ frac {ik} {2}} \ sum _ {p + q = k} {\ hat {u}} _ {p} {\ hat {u}} _ {q} - \ rho {} k ^ {2} {\ hat {u}} _ {k} + {\ hat {f}} _ {k} \ quad k \ in \ left \ {- N / 2, \ dots, N / 2-1 \ right \}, \ forall t> 0.}$

Com as condições iniciais transformadas de Fourier e o forçamento , este sistema acoplado de equações diferenciais ordinárias pode ser integrado no tempo (usando, por exemplo, uma técnica de Runge Kutta ) para encontrar uma solução. O termo não linear é uma convolução e existem várias técnicas baseadas em transformações para avaliá-lo de forma eficiente. Veja as referências de Boyd e Canuto et al. para mais detalhes. ${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {k} (0)}$${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {k} (t)}$

Uma relação com o método do elemento espectral

Pode-se mostrar que se é infinitamente diferenciável, então o algoritmo numérico usando Transformadas Rápidas de Fourier convergirá mais rápido do que qualquer polinômio no tamanho da grade h. Ou seja, para qualquer n> 0, existe um tal que o erro é menor do que para todos os valores suficientemente pequenos de . Dizemos que o método espectral é da ordem , para todo n> 0. ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle C_ {n} <\ infty}$${\ displaystyle C_ {n} h ^ {n}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle n}$

Como um método de elemento espectral é um método de elemento finito de ordem muito alta, há uma semelhança nas propriedades de convergência. No entanto, enquanto o método espectral é baseado na decomposição automática do problema de valor de contorno particular, o método dos elementos finitos não usa essa informação e funciona para problemas de valor de contorno elíptico arbitrário .

Veja também

• Método do elemento finito
• Grade gaussiana
• Método pseudo-espectral
• Método de elemento espectral
• Método de Galerkin
• Método de colocação

Referências

• Bengt Fornberg (1996) A Practical Guide to Pseudo-Spectral Methods. Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido
• Chebyshev and Fourier Spectral Methods por John P. Boyd.
• Canuto C., Hussaini MY , Quarteroni A. e Zang TA (2006) Spectral Methods. Fundamentos em domínios únicos. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg
• Javier de Frutos, Julia Novo: um método de elemento espectral para as equações de Navier-Stokes com precisão aprimorada
• Polynomial Approximation of Differential Equations , por Daniele Funaro, Lecture Notes in Physics, Volume 8, Springer-Verlag, Heidelberg 1992
• D. Gottlieb e S. Orzag (1977) "Numerical Analysis of Spectral Methods: Theory and Applications", SIAM, Filadélfia, PA
• J. Hesthaven, S. Gottlieb e D. Gottlieb (2007) "Spectral methods for time-dependente problems", Cambridge UP, Cambridge, UK
• Steven A. Orszag (1969) Numerical Methods for the Simulation of Turbulence , Phys. Fluids Supp. II, 12, 250-257
• Pressione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Seção 20.7. Métodos espectrais" . Receitas Numéricas: A Arte da Computação Científica (3ª ed.). Nova York: Cambridge University Press. ISBN   978-0-521-88068-8 .
• Jie Shen, Tao Tang e Li-Lian Wang (2011) "Spectral Methods: Algorithms, Analysis and Applications" (Springer Series in Computational Mathematics, V. 41, Springer), ISBN   354071040X
• Lloyd N. Trefethen (2000) Spectral Methods in MATLAB. SIAM, Filadélfia, PA