Bethe ansatz - Bethe ansatz

Na física , o Bethe ansatz é um método ansatz para encontrar as funções de onda exatas de certos modelos quânticos unidimensionais de muitos corpos. Foi inventado por Hans Bethe em 1931 para encontrar os valores próprios e vectores próprios exatos do modelo hamiltoniano antiferromagnético unidimensional de Heisenberg . Desde então, o método foi estendido a outros modelos em uma dimensão: a cadeia de Heisenberg (anisotrópica) (modelo XXZ), o gás de Bose interagindo de Lieb-Liniger , o modelo de Hubbard , o modelo de Kondo , o modelo de impureza de Anderson , o modelo de Richardson etc. .

Discussão

Na estrutura da mecânica quântica de muitos corpos , os modelos solucionáveis ​​pelo ansatz Bethe podem ser contrastados com os modelos de férmions livres. Pode-se dizer que a dinâmica de um modelo livre é redutível por um corpo: a função de onda de muitos corpos para férmions ( bósons ) é o produto anti-simetrizado (simetrizado) das funções de onda de um corpo. Os modelos solucionáveis ​​pelo ansatz de Bethe não são livres: o setor de dois corpos tem uma matriz de espalhamento não trivial , que em geral depende dos momentos.

Por outro lado, a dinâmica dos modelos solucionáveis ​​pelo Bethe ansatz é redutível por dois corpos: a matriz de espalhamento de vários corpos é um produto de matrizes de espalhamento de dois corpos. As colisões de muitos corpos acontecem como uma sequência de colisões de dois corpos e a função de onda de muitos corpos pode ser representada em uma forma que contém apenas elementos das funções de onda de dois corpos. A matriz de espalhamento de muitos corpos é igual ao produto das matrizes de espalhamento de pares.

A forma genérica do Bethe ansatz para uma função de onda de muitos corpos é

${\ displaystyle \ Psi _ {M} (j_ {1}, \ cdots, j_ {M}) = \ prod _ {M \ geq a> b \ geq 1} {\ text {sgn}} (j_ {a} -j_ {b}) \ sum _ {P \ in P_ {M}} (- 1) ^ {[P]} e ^ {i \ sum _ {a = 1} ^ {M} k_ {P_ {a} } j_ {a} + {\ frac {i} {2}} \ sum _ {M \ geq a> b \ geq 1} \ mathrm {sgn} (j_ {a} -j_ {b}) \ phi (k_ {P_ {a}}, k_ {P_ {b}})}}$

em que é o número de partículas, sua posição, é o conjunto de todas as permutações dos inteiros , é o (quase) momento da partícula -ésima, é a função de deslocamento de fase de espalhamento e é a função de sinal . Esta forma é universal (pelo menos para sistemas não aninhados), com o momento e as funções de espalhamento sendo dependentes do modelo. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle j_ {a}, a = 1, \ cdots M}$${\ displaystyle P_ {M}}$${\ displaystyle 1, \ cdots, M}$${\ displaystyle k_ {a}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ mathrm {sgn}}$

A equação de Yang-Baxter garante consistência da construção. O princípio de exclusão de Pauli é válido para modelos solucionáveis ​​pelo Bethe ansatz, mesmo para modelos de bósons interagentes .

O estado fundamental é uma esfera de Fermi . Condições de contorno periódicas levam às equações de Bethe ansatz. Na forma logarítmica, as equações de Bethe ansatz podem ser geradas pela ação Yang . O quadrado da norma da função de onda de Bethe é igual ao determinante da matriz das segundas derivadas da ação Yang. O recém-desenvolvido Bethe ansatz algébrico levou a um progresso essencial, afirmando que

O método de espalhamento inverso quântico ... um método bem desenvolvido ... permitiu que uma ampla classe de equações de evolução não lineares fossem resolvidas. Isso explica a natureza algébrica do ansatz Bethe.

As soluções exatas do chamado modelo sd (por PB Wiegmann em 1980 e independentemente por N. Andrei, também em 1980) e o modelo de Anderson (por PB Wiegmann em 1981, e por N. Kawakami e A. Okiji em 1981) também são ambos baseados no ansatz Bethe. Existem generalizações multicanais desses dois modelos também passíveis de soluções exatas (por N. Andrei e C. Destri e por CJ Bolech e N. Andrei). Recentemente, vários modelos solucionáveis ​​por Bethe ansatz foram realizados experimentalmente em estados sólidos e redes ópticas. Um papel importante na descrição teórica desses experimentos foi desempenhado por Jean-Sébastien Caux e Alexei Tsvelik.

Exemplo: a cadeia antiferromagnética de Heisenberg

A cadeia antiferromagnética de Heisenberg é definida pelo Hamiltoniano (assumindo condições de contorno periódicas)

${\ displaystyle H = J \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ mathbf {S} _ {j} \ cdot \ mathbf {S} _ {j + 1}, \ qquad \ mathbf {S} _ { j + N} \ equiv \ mathbf {S} _ {j}.}$

Este modelo pode ser resolvido usando Bethe ansatz. A função de deslocamento de fase de espalhamento é , com a qual o momento foi convenientemente reparametrizado em termos de rapidez . As (aqui, periódicas) condições de contorno impõem as equações de Bethe${\ displaystyle \ phi (k_ {a} (\ lambda _ {a}), k_ {b} (\ lambda _ {b})) = \ theta _ {2} (\ lambda _ {a} - \ lambda _ {b})}$${\ displaystyle \ theta _ {n} (\ lambda) \ equiv 2 \ arctan {\ frac {2 \ lambda} {n}}}$${\ displaystyle k (\ lambda) = \ pi -2 \ arctan 2 \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ lambda _ {a} + i / 2} {\ lambda _ {a} -i / 2}} \ right] ^ {N} = \ prod _ {b \ neq a } ^ {M} {\ frac {\ lambda _ {a} - \ lambda _ {b} + i} {\ lambda _ {a} - \ lambda _ {b} -i}}, \ qquad a = 1, ..., M}$

ou mais convenientemente na forma logarítmica

${\ displaystyle \ theta _ {1} (\ lambda _ {a}) - {\ frac {1} {N}} \ sum _ {b = 1} ^ {M} \ theta _ {2} (\ lambda _ {a} - \ lambda _ {b}) = 2 \ pi {\ frac {I_ {a}} {N}}}$

onde os números quânticos são inteiros meio-ímpares distintos para pares, inteiros para ímpares (com mod definido ). ${\ displaystyle I_ {j}}$${\ displaystyle NM}$${\ displaystyle NM}$${\ displaystyle I_ {j}}$${\ displaystyle (N)}$

Cronologia

• 1928: Werner Heisenberg publica seu modelo.
• 1930: Felix Bloch propõe um ansatz supersimplificado que calcula erroneamente o número de soluções para a equação de Schrödinger para a cadeia de Heisenberg.
• 1931: Hans Bethe propõe o ansatz correto e mostra cuidadosamente que ele produz o número correto de autofunções.
• 1938: Lamek Hulthén  [ de ] obtém a energia exata do estado fundamental do modelo de Heisenberg.
• 1958: Raymond Lee Orbach usa o ansatz Bethe para resolver o modelo de Heisenberg com interações anisotrópicas.
• 1962: J. des Cloizeaux e JJ Pearson obtêm o espectro correto do antiferroímã de Heisenberg (relação de dispersão do spin), mostrando que ele difere das previsões da teoria da onda de spin de Anderson (o prefator constante é diferente).
• 1963: Elliott H. Lieb e Werner Liniger fornecem a solução exata do gás de Bose que interage com a função δ 1d (agora conhecido como modelo Lieb-Liniger ). Lieb estuda o espectro e define dois tipos básicos de excitações.
• 1964: Robert B. Griffiths obtém a curva de magnetização do modelo de Heisenberg à temperatura zero.
• 1966: CN Yang e CP Yang provam rigorosamente que o estado fundamental da cadeia de Heisenberg é dado pelo ansatz de Bethe. Eles estudam propriedades e aplicações em e.
• 1967: CN Yang generaliza a solução de Lieb e Liniger da função δ que interage com o gás de Bose para a simetria de permutação arbitrária da função de onda, dando origem ao ansatz de Bethe aninhado.
• 1968 Elliott H. Lieb e FY Wu resolvem o modelo 1d de Hubbard.
• 1969: CN Yang e CP Yang obtêm a termodinâmica do modelo Lieb-Liniger, fornecendo a base da termodinâmica Bethe ansatz (TBA).

Referências

links externos

• Introdução ao Bethe Ansatz