Estado Fundamental - Ground state

O estado fundamental de um sistema mecânico quântico é seu estado de energia mais baixa ; a energia do estado fundamental é conhecida como a energia do ponto zero do sistema. Um estado excitado é qualquer estado com energia maior que o estado fundamental. Na teoria quântica de campos , o estado fundamental é geralmente chamado de estado de vácuo ou vácuo .

Se houver mais de um estado fundamental, eles são considerados degenerados . Muitos sistemas têm estados fundamentais degenerados. A degenerescência ocorre sempre que existe um operador unitário que atua não trivialmente em um estado fundamental e comuta com o hamiltoniano do sistema.

De acordo com a terceira lei da termodinâmica , um sistema à temperatura zero absoluta existe em seu estado fundamental; assim, sua entropia é determinada pela degeneração do estado fundamental. Muitos sistemas, como uma rede cristalina perfeita , têm um estado fundamental único e, portanto, têm entropia zero no zero absoluto. Também é possível para o estado mais excitado ter temperatura zero absoluta para sistemas que exibem temperatura negativa .

Ausência de nós em uma dimensão

Em uma dimensão, pode-se provar que o estado fundamental da equação de Schrödinger não possui nós .

Derivação

Considere a energia média de um estado com um nó em x = 0 ; ou seja, ψ (0) = 0 . A energia média neste estado seria

onde V ( x ) é o potencial.

Com integração por partes :

Portanto, no caso de ser igual a zero , obtém-se: ${\ displaystyle \ left [\ psi ^ {*} {\ frac {d \ psi} {dx}} \ right] _ {- \ infty} ^ {\ infty} = \ lim _ {b \ to \ infty} \ psi ^ {*} (b) {\ frac {d \ psi} {dx}} (b) - \ lim _ {a \ to - \ infty} \ psi ^ {*} (a) {\ frac {d \ psi} {dx}} (a)}$

Agora, considere um pequeno intervalo ao redor ; ou seja ,. Considere uma nova função de onda (deformada) ψ ' ( x ) a ser definida como , para ; e , para ; e constante para . Se for pequeno o suficiente, isso sempre é possível fazer, de modo que ψ ' ( x ) seja contínuo. ${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle x \ in [- \ varepsilon, \ varepsilon]}$${\ displaystyle \ psi '(x) = \ psi (x)}$${\ displaystyle x <- \ varepsilon}$${\ displaystyle \ psi '(x) = - \ psi (x)}$${\ displaystyle x> \ varepsilon}$${\ displaystyle x \ in [- \ varepsilon, \ varepsilon]}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Supondo ao redor , pode-se escrever ${\ displaystyle \ psi (x) \ approx -cx}$${\ displaystyle x = 0}$

onde está a norma. ${\ displaystyle N = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + {\ frac {4} {3}} | c | ^ {2} \ varepsilon ^ {3}}}}}$

Observe que as densidades de energia cinética se mantêm em todos os lugares por causa da normalização. Mais significativamente, a energia cinética média é reduzida pela deformação para ψ ' . ${\ textstyle {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left | {\ frac {d \ psi '} {dx}} \ right | ^ {2} <{\ frac {\ hbar ^ { 2}} {2m}} \ left | {\ frac {d \ psi} {dx}} \ right | ^ {2}}$${\ displaystyle O (\ varepsilon)}$

Agora, considere a energia potencial. Para definição, vamos escolher . Então é claro que, fora do intervalo , a densidade de energia potencial é menor para o ψ ' porque existe. ${\ displaystyle V (x) \ geq 0}$${\ displaystyle x \ in [- \ varepsilon, \ varepsilon]}$${\ displaystyle | \ psi '| <| \ psi |}$

Por outro lado, no intervalo temos ${\ displaystyle x \ in [- \ varepsilon, \ varepsilon]}$

que mantém a ordem . ${\ displaystyle \ varepsilon ^ {3}}$

No entanto, a contribuição para a energia potencial desta região para o estado ψ com um nó é

inferior, mas ainda da mesma ordem inferior do estado deformado ψ ' , e subdominante ao abaixamento da energia cinética média. Portanto, a energia potencial permanece inalterada até a ordem , se deformarmos o estado com um nó em um estado ψ ' sem um nó, e a mudança pode ser ignorada. ${\ displaystyle O (\ varepsilon ^ {3})}$${\ displaystyle \ varepsilon ^ {2}}$${\ displaystyle \ psi}$

Podemos, portanto, remover todos os nós e reduzir a energia em , o que implica que

ψ ' não pode ser o estado fundamental. Assim, a função de onda do estado fundamental não pode ter um nó. Isso completa a prova. (A energia média pode então ser ainda mais reduzida, eliminando ondulações, até o mínimo absoluto variacional.) ${\ displaystyle O (\ varepsilon)}$

Implicação

Como o estado fundamental não possui nós, ele é espacialmente não degenerado, ou seja, não há dois estados quânticos estacionários com o autovalor de

energia do estado fundamental (vamos chamá-lo ) e o mesmo estado de spin e, portanto, só diferiria em seu espaço de posição funções de onda . ${\ displaystyle E_ {g}}$

O raciocínio é contraditório : Pois se o estado fundamental fosse degenerado, então haveria dois estados estacionários ortonormais e - mais tarde representados por suas funções de onda espacial de posição de valor complexo e - e qualquer

superposição com os números complexos que cumprem a condição seria também seria tal estado, isto é, teria o mesmo autovalor de energia e o mesmo estado de spin. ${\ displaystyle \ left | \ psi _ {1} \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ left | \ psi _ {2} \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ psi _ {1} (x, t) = \ psi _ {1} (x, 0) \ cdot e ^ {- iE_ {g} t / \ hbar}}$${\ displaystyle \ psi _ {2} (x, t) = \ psi _ {2} (x, 0) \ cdot e ^ {- iE_ {g} t / \ hbar}}$ ${\ displaystyle \ left | \ psi _ {3} \ right \ rangle: = c_ {1} \ left | \ psi _ {1} \ right \ rangle + c_ {2} \ left | \ psi _ {2} \ direita \ rangle}$${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$${\ displaystyle | c_ {1} | ^ {2} + | c_ {2} | ^ {2} = 1}$${\ displaystyle E_ {g}}$

Agora seja algum ponto aleatório (onde ambas as funções de onda são definidas) e defina: ${\ displaystyle x_ {0}}$

$${\ displaystyle c_ {1} = {\ frac {\ psi _ {2} (x_ {0}, 0)} {a}}}$$

e

$${\ displaystyle c_ {2} = {\ frac {- \ psi _ {1} (x_ {0}, 0)} {a}}}$$

com

$${\ displaystyle a = {\ sqrt {| \ psi _ {1} (x_ {0}, 0) | ^ {2} + | \ psi _ {2} (x_ {0}, 0) | ^ {2} }}> 0}$$

(de acordo com a premissa sem nós ).

Portanto, a função de onda espaço-posição de é ${\ displaystyle \ left | \ psi _ {3} \ right \ rangle}$

$${\ displaystyle \ psi _ {3} (x, t) = c_ {1} \ psi _ {1} (x, t) + c_ {2} \ psi _ {2} (x, t) = {\ frac {1} {a}} \ left (\ psi _ {2} (x_ {0}, 0) \ cdot \ psi _ {1} (x, 0) - \ psi _ {1} (x_ {0}, 0) \ cdot \ psi _ {2} (x, 0) \ right) \ cdot e ^ {- iE_ {g} t / \ hbar}.}$$

Por isso

$${\ displaystyle \ psi _ {3} (x_ {0}, t) = {\ frac {1} {a}} \ left (\ psi _ {2} (x_ {0}, 0) \ cdot \ psi _ {1} (x_ {0}, 0) - \ psi _ {1} (x_ {0}, 0) \ cdot \ psi _ {2} (x_ {0}, 0) \ direita) \ cdot e ^ { -iE_ {g} t / \ hbar} = 0}$$

para todos . ${\ displaystyle t}$

Mas isto é , é

um nó da função de onda do estado fundamental e isso está em contradição com a premissa de que essa função de onda não pode ter um nó. ${\ displaystyle \ left \ langle \ psi _ {3} | \ psi _ {3} \ right \ rangle = | c_ {1} | ^ {2} + | c_ {2} | ^ {2} = 1}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Observe que o estado fundamental pode ser degenerado por causa de diferentes estados de spin, como e embora tenha a mesma função de onda espacial de posição: Qualquer superposição desses estados criaria um estado de spin misto, mas deixaria a parte espacial (como um fator comum de ambos) inalterada . ${\ displaystyle \ left | \ uparrow \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ left | \ downarrow \ right \ rangle}$

Exemplos

Funções de onda iniciais para os primeiros quatro estados de uma partícula unidimensional em uma caixa

• A função de

onda do estado fundamental de uma partícula em uma caixa unidimensional é uma onda senoidal de meio período , que vai a zero nas duas bordas do poço. A energia da partícula é dada por , onde h é a constante de Planck , m é a massa da partícula, n é o estado de energia ( n = 1 corresponde à energia do estado fundamental) e L é a largura do poço .${\ textstyle {\ frac {h ^ {2} n ^ {2}} {8mL ^ {2}}}}$

A função de onda do estado fundamental de um átomo de hidrogênio é uma distribuição esfericamente simétrica centrada no núcleo , que é maior no centro e se reduz exponencialmente em distâncias maiores. O elétron é mais provável de ser encontrado a uma distância do núcleo igual ao raio de Bohr . Esta função é conhecida como orbital atômico 1s . Para o hidrogênio (H), um elétron no estado fundamental tem energia−13,6 eV , em relação ao limite de ionização . Em outras palavras, 13,6 eV é a entrada de energia necessária para que o elétron não esteja mais ligado ao átomo.

A definição exata de um segundo de tempo desde 1997 tem sido a duração de9 192 631 770 períodos da radiação correspondentes à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio -133 em repouso a uma temperatura de 0 K.

Notas

Bibliografia

• Feynman, Richard ; Leighton, Robert; Sands, Matthew (1965). "veja a seção 2-5 para os níveis de energia, 19 para o átomo de hidrogênio" . The Feynman Lectures on Physics . 3 .