modelo de Landau-Lifshitz - Landau–Lifshitz model

Em física do estado sólido , a equação de Landau-Lifshitz ( LLE ), nomeado por Lev Landau e Evgeny Lifshitz , é uma equação diferencial parcial descrever a evolução temporal de magnetismo em sólidos, dependendo de uma variável de tempo e 1, 2, ou 3 variáveis espaço .

equação de Landau-Lifshitz

O LLE descreve um anisotrópica ímã. A equação é descrito em ( Faddeev & Takhtajan 2007 , capítulo 8) como segue: Trata-se de uma equação para um campo de vectores S , em outras palavras, uma função em R ^{1+ n} tomando valores em R ³ . A equação depende de um simétrica fixa 3 por 3 matriz de J , geralmente assumido ser diagonal ; isto é, . Ela é dada pela equação de Hamilton de movimento para o Hamiltonian${\ J = displaystyle \ operatorname {diag} (J_ {1}, J_ {2}, {3} J_)}$

${\ Displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ int \ esquerda [\ soma _ {i} \ esquerda ({\ frac {\ \ mathbf parcial {S}} {\ x_ parcial {i}}} \ direita) ^ {2} -J (\ mathbf {S}) \ direita] \, dx \ qquad (1)}$

(onde J ( S ) é a forma quadrática do J aplicada ao vector de S ) que é

${\ Displaystyle {\ frac {\ \ mathbf parcial {S}} {\ parcial t}} = \ mathbf {S} \ cunha \ soma _ {i} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {S} } {\ x_ parcial {i} ^ {2}}} + \ mathbf {S} \ cunha J \ mathbf {S}. \ qquad (2)}$

Em 1 + 1 dimensões esta equação é

${\ DisplayStyle {\ frac {\ parcial \ mathbf {S}} {\ parcial t}} = \ mathbf {S} \ cunha {\ frac {\ parciais ^ {2} \ mathbf {S}} {\ x parciais ^ {2}}} + \ mathbf {S} \ cunha J \ mathbf {S}. \ qquad (3)}$

Em 2 + 1 dimensões esta equação toma a forma

${\ Displaystyle {\ frac {\ \ mathbf parcial {S}} {\ parcial t}} = \ mathbf {S} \ cunha \ esquerda ({\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {S}} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {S}} {\ y ^ {2 parcial}}} \ direita) + \ mathbf {S} \ cunha J \ mathbf { S} \ qquad (4)}$

que é o (2 + 1) LLE -dimensional. Para o (3 + 1) caso dimensional LLE parece

${\ Displaystyle {\ frac {\ \ mathbf parcial {S}} {\ parcial t}} = \ mathbf {S} \ cunha \ esquerda ({\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {S}} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {S}} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {S }} {\ z parcial ^ {2}}} \ direita) + \ mathbf {S} \ cunha J \ mathbf {S}. \ qquad (5)}$

reduções integráveis

No caso geral LLE (2) é nonintegrable. Mas admite as duas reduções integráveis:

a) nas dimensões de 1 + 1, que é a Eq. (3), é integrável

b) quando . Neste caso, a (1 + 1) LLE -dimensional (3) se transforma na equação ferromagneto Heisenberg clássica contínua (ver, por exemplo modelo de Heisenberg (clássica) ), que é já integrável.${\ Displaystyle J = 0}$

Veja também

• equação não linear de Schrödinger
• modelo de Heisenberg (clássica)
• onda de spin
• Micromagnetism
• equação Ishimori
• Magnético
• ferromagnetismo

Referências

• Faddeev, Ludwig D .; Takhtajan, Leon A. (2007), os métodos de Hamilton na teoria de solitons , clássicos em Matemática, Berlim:. Springer, pp x + 592, DOI : 10,1007 / 978-3-540-69969-9 , ISBN  978-3- 540-69843-2 , MR  2348643
• Guo, Boling; Ding, Shijin (2008), Landau-Lifshitz Equações , Fronteiras da pesquisa com a Academia Chinesa de Ciências, World Scientific Publishing Company, ISBN  978-981-277-875-8
• Kosevich AM , Ivanov BA, ondas de magnetização Kovalióv como não-lineares. Sólitons dinâmicos e topológicos. - Kiev: Naukova Dumka , 1988. - 192 p.