Equação de Landau-Lifshitz-Gilbert - Landau–Lifshitz–Gilbert equation

Na física, a equação de Landau – Lifshitz – Gilbert , nomeada em homenagem a Lev Landau , Evgeny Lifshitz e TL Gilbert , é um nome usado para uma equação diferencial que descreve o movimento de precessão da magnetização M em um sólido . É uma modificação de Gilbert da equação original de Landau e Lifshitz.

As várias formas da equação são comumente usadas em micromagnéticos para modelar os efeitos de um campo magnético em materiais ferromagnéticos . Em particular, pode ser usado para modelar o comportamento no domínio do tempo de elementos magnéticos devido a um campo magnético. Um termo adicional foi adicionado à equação para descrever o efeito da corrente polarizada de spin em ímãs.

Equação de Landau-Lifshitz

Os termos da equação de Landau – Lifshitz – Gilbert: precessão (vermelho) e amortecimento (azul). A trajetória da magnetização (espiral pontilhada) é desenhada sob a suposição simplificadora de que o campo efetivo H _eff é constante.

Em um ferromagneto , a magnetização M pode variar internamente, mas em cada ponto sua magnitude é igual à magnetização de saturação M _s . A equação de Landau – Lifshitz – Gilbert prediz a rotação da magnetização em resposta aos torques. Uma equação anterior, mas equivalente (a equação de Landau-Lifshitz) foi introduzida por Landau & Lifshitz (1935) :

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {M}} {dt}} = - \ gamma \ mathbf {M} \ times \ mathbf {H _ {\ mathrm {eff}}} - \ lambda \ mathbf {M} \ times \ left (\ mathbf {M} \ times \ mathbf {H _ {\ mathrm {eff}}} \ right)}$

( 1 )

onde γ é a razão giromagnética do elétron . e λ é um parâmetro de amortecimento fenomenológico, frequentemente substituído por

${\ displaystyle \ lambda = \ alpha {\ frac {\ gamma} {M _ {\ mathrm {s}}}},}$

onde α é uma constante adimensional chamada fator de amortecimento. O campo efetivo H _eff é uma combinação do campo magnético externo, o campo de desmagnetização (campo magnético devido à magnetização) e alguns efeitos da mecânica quântica. Para resolver esta equação, equações adicionais para o campo de desmagnetização devem ser incluídas.

Usando os métodos da mecânica estatística irreversível , vários autores obtiveram independentemente a equação de Landau-Lifshitz.

Equação de Landau-Lifshitz-Gilbert

Em 1955, Gilbert substituiu o termo de amortecimento na equação de Landau – Lifshitz (LL) por um que depende da derivada de tempo da magnetização:

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {M}} {dt}} = - \ gamma \ left (\ mathbf {M} \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm {eff}} - \ eta \ mathbf {M} \ times {\ frac {d \ mathbf {M}} {dt}} \ right)}$

( 2b )

Esta é a equação de Landau – Lifshitz – Gilbert (LLG), onde η é o parâmetro de amortecimento, que é característico do material. Ele pode ser transformado na equação de Landau-Lifshitz:

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {M}} {dt}} = - \ gamma '\ mathbf {M} \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm {eff}} - \ lambda \ mathbf {M } \ times (\ mathbf {M} \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm {eff}})}$

( 2a )

Onde

${\ displaystyle \ gamma '= {\ frac {\ gamma} {1+ \ gamma ^ {2} \ eta ^ {2} M_ {s} ^ {2}}} \ qquad {\ text {and}} \ qquad \ lambda = {\ frac {\ gamma ^ {2} \ eta} {1+ \ gamma ^ {2} \ eta ^ {2} M_ {s} ^ {2}}}.}$

Nesta forma da equação LL, o termo precessional γ ' depende do termo de amortecimento. Isso representa melhor o comportamento de ferromagnetos reais quando o amortecimento é grande.

Equação de Landau – Lifshitz – Gilbert – Slonczewski

Em 1996, Slonczewski expandiu o modelo para levar em conta o torque de transferência de spin , ou seja, o torque induzido na magnetização pela corrente polarizada por spin que flui através do ferromagneto. Isso é comumente escrito em termos do momento unitário definido por m = M / M _S :

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {m}}} = - \ gamma \ mathbf {m} \ times \ mathbf {H} _ {\ mathrm {eff}} + \ alpha \ mathbf {m} \ times {\ ponto {\ mathbf {m}}} + \ tau _ {\ parallel} {\ frac {\ mathbf {m} \ times (\ mathbf {x} \ times \ mathbf {m})} {\ left | \ mathbf { x} \ times \ mathbf {m} \ right |}} + \ tau _ {\ perp} {\ frac {\ mathbf {x} \ times \ mathbf {m}} {\ left | \ mathbf {x} \ times \ mathbf {m} \ right |}}}$

onde é o parâmetro de amortecimento sem unidade e são torques de acionamento, e x é o vetor de unidade ao longo da polarização da corrente. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ tau _ {\ perp}}$${\ displaystyle \ tau _ {\ parallel}}$

Referências e notas de rodapé

Leitura adicional

links externos

• Applet de dinâmica de magnetização