Irredutibilidade (matemática) - Irreducibility (mathematics)

Em matemática , o conceito de irredutibilidade é usado de várias maneiras.

• Um polinômio sobre um campo pode ser um polinômio irredutível se não puder ser fatorado sobre aquele campo.
• Em álgebra abstrata , irredutível pode ser uma abreviatura para elemento irredutível de um domínio integral ; por exemplo, um polinômio irredutível .
• Na teoria da representação , uma representação irredutível é uma representação não trivial sem subrepresentações próprias não triviais. Da mesma forma, um módulo irredutível é outro nome para um módulo simples .
• Absolutamente irredutível é um termo aplicado para significar irredutível , mesmo após qualquer extensão finita do campo de coeficientes. Aplica-se em várias situações, por exemplo, a irredutibilidade de uma representação linear ou de uma variedade algébrica ; onde significa o mesmo que irredutível sobre um fechamento algébrico .
• Em álgebra comutativa , um anel comutativo R é irredutível se seu espectro primo , isto é, o espaço topológico Spec R , é um espaço topológico irredutível .
• Uma matriz é irredutível se não for semelhante por meio de uma permutação a uma matriz triangular superior de bloco (que tem mais de um bloco de tamanho positivo). (Substituindo entradas diferentes de zero na matriz por um, e vendo a matriz como a matriz de adjacência de um grafo direcionado , a matriz é irredutível se e somente se tal grafo direcionado estiver fortemente conectado .) Uma definição detalhada é dada aqui .
• Além disso, uma cadeia de Markov é irredutível se houver uma probabilidade diferente de zero de transição (mesmo que em mais de uma etapa) de qualquer estado para qualquer outro estado.
• Na teoria das variedades , uma n- variedade é irredutível se alguma ( n  - 1) -sfera embutida limita uma n -bola embutida . Implícito nesta definição está o uso de uma categoria adequada , como a categoria de variedades diferenciáveis ​​ou a categoria de variedades lineares por partes. As noções de irredutibilidade em álgebra e teoria de variedades estão relacionadas. Uma n- variedade é chamada primo , se não puder ser escrita como uma soma conectada de duas n- variedades (nenhuma das quais é uma n- esfera). Uma variedade irredutível é, portanto, primo, embora o inverso não seja válido. Da perspectiva de um algebrista, variedades primárias deveriam ser chamadas de "irredutíveis"; entretanto, o topologista (em particular o topologista de três variedades ) considera a definição acima mais útil. As únicas variedades de 3 esferas compactas e conectadas que são primos, mas não irredutíveis, são o pacote trivial de 2 esferas sobre S ¹ e o pacote de 2 esferas torcido sobre S ¹ . Veja, por exemplo, decomposição primária (3-manifold) .
• Um espaço topológico é irredutível se não for a união de dois subconjuntos fechados adequados. Essa noção é usada em geometria algébrica , onde os espaços são equipados com a topologia de Zariski ; não é muito significativo para os espaços de Hausdorff . Veja também componente irredutível , variedade algébrica .
• Na álgebra universal , irredutível pode se referir à incapacidade de representar uma estrutura algébrica como uma composição de estruturas mais simples usando uma construção de produto; por exemplo, subdiretamente irredutível .
• Uma variedade de 3 é P²-irredutível se for irredutível e não contiver 2 lados ( plano projetivo real ). ${\ displaystyle \ mathbb {R} P ^ {2}}$
• Uma fração irredutível (ou fração em termos mais baixos) é uma fração vulgar em que o numerador e o denominador são menores do que aqueles em qualquer outra fração equivalente.

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