Solução da equação de Schrödinger para um potencial de passo - Solution of Schrödinger equation for a step potential

Parte de uma série de artigos sobre
Mecânica quântica
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Equação de Schrödinger
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v t e

Em mecânica quântica e teoria de espalhamento , o potencial de passo unidimensional é um sistema idealizado usado para modelar ondas de matéria incidentes, refletidas e transmitidas . O problema consiste em resolver a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula com potencial escalonado em uma dimensão. Normalmente, o potencial é modelado como uma função de etapa de Heaviside .

Cálculo

Equação de Schrödinger e função potencial

Espalhamento em um passo de potencial finito de altura V ₀ , mostrado em verde. As amplitudes e a direção das ondas em movimento à esquerda e à direita são indicadas. O amarelo é a onda incidente, o azul é refletido e transmitido, o vermelho não ocorre. E > V ₀ para esta figura.

A equação de Schrödinger independente do tempo para a função de onda é ${\ displaystyle \ psi (x)}$

${\ displaystyle H \ psi (x) = \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + V ( x) \ direita] \ psi (x) = E \ psi (x),}$

onde H é o hamiltoniano , ħ é a constante de Planck reduzida , m é a massa , E a energia da partícula. O potencial de degrau é simplesmente o produto de V ₀ , a altura da barreira e a função de degrau de Heaviside :

${\ displaystyle V (x) = {\ begin {cases} 0, & x <0 \\ V_ {0}, & x \ geq 0 \ end {cases}}}$

A barreira é posicionada em x = 0, embora qualquer posição x ₀ possa ser escolhida sem alterar os resultados, simplesmente mudando a posição do degrau em - x ₀ .

O primeiro termo no hamiltoniano é a energia cinética da partícula. ${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ psi}$

Solução

A etapa divide o espaço em duas partes: x <0 e x > 0. Em qualquer uma dessas partes, o potencial é constante, o que significa que a partícula é quase livre, e a solução da equação de Schrödinger pode ser escrita como uma superposição de esquerda e ondas que se movem para a direita (ver partícula livre )

${\ displaystyle \ psi _ {1} (x) = \ left (A _ {\ rightarrow} e ^ {ik_ {1} x} + A _ {\ leftarrow} e ^ {- ik_ {1} x} \ right) \ quad x <0}$,

${\ displaystyle \ psi _ {2} (x) = \ left (B _ {\ rightarrow} e ^ {ik_ {2} x} + B _ {\ leftarrow} e ^ {- ik_ {2} x} \ right) \ quad x> 0}$

onde os subscritos 1 e 2 denotam as regiões x <0 e x > 0 respectivamente, os subscritos (→) e (←) nas amplitudes A e B denotam a direção do vetor velocidade da partícula: direita e esquerda, respectivamente.

Os vetores de onda nas respectivas regiões sendo

${\ displaystyle k_ {1} = {\ sqrt {2mE / \ hbar ^ {2}}}}$,

${\ displaystyle k_ {2} = {\ sqrt {2m (E-V_ {0}) / \ hbar ^ {2}}}}$

ambos têm a mesma forma que a relação De Broglie (em uma dimensão)

${\ displaystyle p = \ hbar k}$.

Condições de limite

Os coeficientes A , B devem ser encontrados a partir das condições de contorno da função de onda em x = 0. A função de onda e sua derivada devem ser contínuas em todos os lugares, então:

${\ displaystyle \ psi _ {1} (0) = \ psi _ {2} (0)}$,

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ psi _ {1} (x) {\ Big |} _ {x = 0} = {\ frac {d} {dx}} \ psi _ {2} (x) {\ Big |} _ {x = 0}}$.

Inserindo as funções de onda, as condições de contorno dão as seguintes restrições aos coeficientes

${\ displaystyle (A _ {\ rightarrow} + A _ {\ leftarrow}) = (B _ {\ rightarrow} + B _ {\ leftarrow})}$

${\ displaystyle k_ {1} (A _ {\ rightarrow} -A _ {\ leftarrow}) = k_ {2} (B _ {\ rightarrow} -B _ {\ leftarrow})}$

Transmissão e reflexão

É útil comparar a situação ao caso clássico . Em ambos os casos, a partícula se comporta como uma partícula livre fora da região de barreira. Uma partícula clássica com energia E maior do que a altura da barreira V ₀ será desacelerada, mas nunca refletida pela barreira, enquanto uma partícula clássica com E < V ₀ incidente na barreira da esquerda sempre será refletida. Assim que tivermos encontrado o resultado da mecânica quântica, retornaremos à questão de como recuperar o limite clássico.

Para estudar o caso quântico, considere a seguinte situação: uma partícula incidente na barreira do lado esquerdo A _→ . Pode ser refletido ( A _← ) ou transmitido ( B _→ ). Aqui e no seguinte, assuma E > V ₀ .

Para encontrar as amplitudes para reflexão e transmissão para incidência da esquerda, definimos nas equações acima A _→ = 1 (partícula de entrada), A _← = √ R (reflexão), B _← = 0 (nenhuma partícula de entrada da direita) e B _→ = √ Tk ₁ / k ₂ (transmissão). Em seguida, resolver para T e R .

O resultado é:

${\ displaystyle {\ sqrt {T}} = {\ frac {2 {\ sqrt {k_ {1} k_ {2}}}} {k_ {1} + k_ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {R}} = {\ frac {k_ {1} -k_ {2}} {k_ {1} + k_ {2}}}.}$

O modelo é simétrico em relação a uma transformação de paridade e ao mesmo tempo troca k ₁ e k ₂ . Para incidência a partir da direita temos, portanto, as amplitudes de transmissão e reflexão

${\ displaystyle {\ sqrt {T '}} = {\ sqrt {T}} = {\ frac {2 {\ sqrt {k_ {1} k_ {2}}}} {k_ {1} + k_ {2} }}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {R '}} = - {\ sqrt {R}} = {\ frac {k_ {2} -k_ {1}} {k_ {1} + k_ {2}}}.}$

Análise das expressões

Probabilidade de reflexão e transmissão em um potencial de passo de Heaviside. Tracejado: resultado clássico. Linhas sólidas: mecânica quântica. Para E < V _0, o problema clássico e quântico fornecem o mesmo resultado.

Energia menor que a altura do degrau ( E < V ₀ )

Para energias E < V ₀ , a função de onda à direita do degrau está decaindo exponencialmente ao longo da distância . ${\ displaystyle 1 / (k_ {2})}$

Energia maior que a altura do degrau ( E > V ₀ )

Nesta faixa de energia, o coeficiente de transmissão e reflexão difere do caso clássico. Eles são os mesmos para a incidência da esquerda e da direita:

${\ displaystyle T = | T '| = {\ frac {4k_ {1} k_ {2}} {(k_ {1} + k_ {2}) ^ {2}}}}$

${\ displaystyle R = | R '| = 1-T = {\ frac {(k_ {1} -k_ {2}) ^ {2}} {(k_ {1} + k_ {2}) ^ {2} }}}$

No limite de grandes energias E ≫ V ₀ , temos k ₁ ≈ k ₂ e o resultado clássico T = 1, R = 0 é recuperado.

Portanto, há uma probabilidade finita de uma partícula com uma energia maior do que a altura do degrau ser refletida.

Etapas negativas

• No caso de um grande positivo E e um pequeno passo positivo, então T é quase 1.
• Mas, no caso de um pequeno E positivo e um grande V negativo , então R é quase 1.

Em outras palavras, uma partícula quântica reflete em uma grande queda de potencial (da mesma forma que em uma grande etapa de potencial). Isso faz sentido em termos de incompatibilidades de impedância, mas parece classicamente contra-intuitivo ...

Limite clássico

O resultado obtido para R depende apenas da relação E / V ₀ . Isso parece violar superficialmente o princípio da correspondência , uma vez que obtemos uma probabilidade finita de reflexão independentemente do valor da constante de Planck ou da massa da partícula. Por exemplo, parece que predizemos que quando uma bola de gude rola até a borda de uma mesa, pode haver uma grande probabilidade de que ela seja refletida de volta em vez de cair. A consistência com a mecânica clássica é restaurada eliminando a suposição não física de que o potencial de passo é descontínuo. Quando a função degrau é substituída por uma rampa que abrange uma distância finita w , a probabilidade de reflexão se aproxima de zero no limite , onde k é o número de onda da partícula. ${\ displaystyle wk \ rightarrow \ inf}$

Cálculo relativístico

O cálculo relativístico de uma partícula livre colidindo com um potencial escalonado pode ser obtido usando a mecânica quântica relativística . Para o caso de 1/2 férmions, como elétrons e neutrinos , as soluções da equação de Dirac para barreiras de alta energia produzem coeficientes de transmissão e reflexão que não são limitados. Esse fenômeno é conhecido como paradoxo de Klein . O aparente paradoxo desaparece no contexto da teoria quântica de campos .

Formulários

O potencial de passo de Heaviside serve principalmente como um exercício introdutório à mecânica quântica, pois a solução requer a compreensão de uma variedade de conceitos da mecânica quântica: normalização da função de onda, continuidade, amplitudes de incidente / reflexão / transmissão e probabilidades.

Um problema semelhante ao considerado aparece na física das interfaces supercondutoras de metal normal . As quasipartículas estão espalhadas no potencial do par que, no modelo mais simples, pode ser assumido como tendo uma forma de degrau. A solução da equação de Bogoliubov-de Gennes se assemelha àquela do potencial de passo de Heaviside discutido. No caso de metal normal supercondutor, isso dá origem à reflexão de Andreev .

Veja também

• Barreira de potencial retangular
• Poço de potencial finito
• Poço de potencial infinito
• Barreira de potencial delta (QM)
• Barreira de potencial finito (QM)

Referências

Fontes

• Quantum Mechanics Demystified , D. McMahon, Mc Graw Hill (EUA), 2006, ISBN  0-07-145546 9
• Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (2ª Edição) , R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN  978-0-471-87373-0
• Quantum Mechanics , E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN  978-0-13-146100-0
• Elementary Quantum Mechanics , NF Mott, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor & Francis Group), 1972, ISBN  0-85109-270-5
• Stationary States , A. Holden, College Physics Monographs (EUA), Oxford University Press, 1971, ISBN  0-19-851121-3
• Quantum mechanics , E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Outlines, Mc Graw Hill (EUA), 1998, ISBN  007-0540187

Leitura adicional

• The New Quantum Universe , T.Hey, P.Walters, Cambridge University Press, 2009, ISBN  978-0-521-56457-1 .
• Quantum Field Theory , D. McMahon, Mc Graw Hill (EUA), 2008, ISBN  978-0-07-154382-8
• Quantum mechanics , E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Easy Outlines Crash Course, Mc Graw Hill (EUA), 2006, ISBN  007-145533-7 ISBN  978-007-145533-6