Vetor de onda - Wave vector

Em física , um vetor de onda (também soletrado vetor de onda ) é um vetor que ajuda a descrever uma onda . Como qualquer vetor, ele tem magnitude e direção , ambas importantes. Sua magnitude é o número de onda ou o número de onda angular da onda (inversamente proporcional ao comprimento de onda ), e sua direção é normalmente a direção da propagação da onda (mas nem sempre; veja abaixo ).

No contexto da relatividade especial, o vetor de onda também pode ser definido como um quatro vetores .

Definições

O comprimento de onda de uma onda senoidal , λ , pode ser medido entre quaisquer dois pontos consecutivos com a mesma fase , como entre cristas ou vales adjacentes ou cruzamentos de zero adjacentes com a mesma direção de trânsito, como mostrado.

Existem duas definições comuns de vetor de onda, que diferem por um fator de 2π em suas magnitudes. Uma definição é preferida em física e campos relacionados, enquanto a outra definição é preferida em cristalografia e campos relacionados. Para este artigo, elas serão chamadas de "definição de física" e "definição de cristalografia", respectivamente.

Em ambas as definições abaixo, a magnitude do vetor de onda é representada por ; a direção do vetor de onda é discutida na seção seguinte. ${\ displaystyle k}$

Definição de física

Uma onda viajante unidimensional perfeita segue a equação:

${\ displaystyle \ psi (x, t) = A \ cos (kx- \ omega t + \ varphi)}$

Onde:

• x é a posição,
• t é o tempo,
• ${\ displaystyle \ psi}$(uma função de x e t ) é a perturbação que descreve a onda (por exemplo, para uma onda do mar , seria o excesso de altura da água, ou para uma onda sonora , seria o excesso de pressão do ar ).${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi}$
• A é a amplitude da onda (a magnitude do pico da oscilação),
• ${\ displaystyle \ varphi}$é um deslocamento de fase que descreve como duas ondas podem estar fora de sincronia uma com a outra,
• ${\ displaystyle \ omega}$é a frequência angular temporal da onda, descrevendo quantas oscilações ela completa por unidade de tempo, e relacionada ao período pela equação ,${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi / T}$
• ${\ displaystyle k}$é a frequência angular espacial ( número de onda ) da onda, descrevendo quantas oscilações ela completa por unidade de espaço e relacionada ao comprimento de onda pela equação .${\ displaystyle k = 2 \ pi / \ lambda}$

${\ displaystyle k}$é a magnitude do vetor de onda. Neste exemplo unidimensional, a direção do vetor de onda é trivial: esta onda viaja na direção + x com velocidade (mais especificamente, velocidade de fase ) . Em um sistema multidimensional , o escalar seria substituído pelo produto escalar vetorial , representando o vetor de onda e o vetor de posição, respectivamente. ${\ displaystyle \ omega / k}$${\ displaystyle kx}$${\ displaystyle {\ mathbf {k}} \ cdot {\ mathbf {r}}}$

Definição de cristalografia

Na cristalografia , as mesmas ondas são descritas usando equações ligeiramente diferentes. Em uma e três dimensões, respectivamente:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ psi (x, t) & = A \ cos (2 \ pi (kx- \ nu t) + \ varphi) \\\ psi \ left ({\ mathbf {r}} , t \ right) & = A \ cos \ left (2 \ pi ({\ mathbf {k}} \ cdot {\ mathbf {r}} - \ nu t) + \ varphi \ right) \ end {alinhado}} }$

As diferenças entre as duas definições acima são:

• A frequência angular é usada na definição da física, enquanto a frequência é usada na definição da cristalografia. Eles são relacionados por . Esta substituição não é importante para este artigo, mas reflete a prática comum em cristalografia.${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle 2 \ pi \ nu = \ omega}$
• O número de onda e o vetor de onda k são definidos de forma diferente: na definição de física acima , enquanto na definição de cristalografia abaixo ,.${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k = | {\ mathbf {k}} | = 2 \ pi / \ lambda}$${\ displaystyle k = | {\ mathbf {k}} | = 1 / \ lambda}$

A direção de k é discutida na próxima seção .

Direção do vetor de onda

A direção para a qual o vetor de onda aponta deve ser distinguida da "direção de propagação da onda ". A "direção de propagação da onda" é a direção do fluxo de energia de uma onda e a direção em que um pequeno pacote de ondas se moverá, ou seja, a direção da velocidade do grupo . Para ondas de luz, essa também é a direção do vetor de Poynting . Por outro lado, o vetor de onda aponta na direção da velocidade de fase . Em outras palavras, o vetor de onda aponta na direção normal para as superfícies de fase constante , também chamadas de frentes de onda .

Em um meio isotrópico sem perdas como o ar, qualquer gás, qualquer líquido, sólidos amorfos (como o vidro ) e cristais cúbicos, a direção do vetor de onda é exatamente a mesma que a direção da propagação da onda. Se o meio for anisotrópico, o vetor de onda em geral aponta em direções diferentes daquela da propagação da onda. A condição para o vetor de onda apontar na mesma direção em que a onda se propaga é que a onda deve ser homogênea, o que não é necessariamente satisfeito quando o meio é anisotrópico. Em uma onda homogênea , as superfícies de fase constante também são superfícies de amplitude constante. No caso de ondas heterogêneas, essas duas espécies de superfícies diferem na orientação. O vetor de onda é sempre perpendicular às superfícies de fase constante.

Por exemplo, quando uma onda viaja através de um meio anisotrópico , como ondas de luz através de um cristal assimétrico ou ondas sonoras através de uma rocha sedimentar , o vetor de onda pode não apontar exatamente na direção da propagação da onda.

Na física do estado sólido

Na física do estado sólido , o "vetor de ondas" (também chamado de vetor k ) de um elétron ou buraco em um cristal é o vetor de ondas de sua função de onda mecânica quântica . Essas ondas de elétrons não são ondas sinusoidais comuns , mas têm um tipo de função de envelope que é sinusoidal, e o vetor de onda é definido por meio dessa onda de envelope, geralmente usando a "definição física". Veja o teorema de Bloch para mais detalhes.

Na relatividade especial

Uma superfície de onda em movimento na relatividade especial pode ser considerada uma hipersuperfície (um subespaço 3D) no espaço-tempo, formada por todos os eventos que passam pela superfície da onda. Um trem de ondas (denotado por alguma variável X) pode ser considerado uma família de um parâmetro de tais hipersuperfícies no espaço-tempo. Esta variável X é uma função escalar da posição no espaço-tempo. A derivada desse escalar é um vetor que caracteriza a onda, o vetor de quatro ondas.

O vetor de quatro ondas é um vetor de quatro ondas que é definido, em coordenadas de Minkowski , como:

${\ displaystyle K ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right) = \ left ({\ frac {\ omega} {c}} , {\ frac {\ omega} {v_ {p}}} {\ hat {n}} \ right) = \ left ({\ frac {2 \ pi} {cT}}, {\ frac {2 \ pi { \ hat {n}}} {\ lambda}} \ right) \,}$

onde a frequência angular é o componente temporal e o vetor do número de onda é o componente espacial. ${\ displaystyle {\ frac {\ omega} {c}}}$${\ displaystyle {\ vec {k}}}$

Alternativamente, o número de onda pode ser escrito como a frequência angular dividida pela velocidade de fase ou em termos de período inverso e comprimento de onda inverso . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle v_ {p}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ lambda}$

Quando escrito explicitamente, suas formas contravariante e covariante são:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} K ^ {\ mu} & = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, k_ {x}, k_ {y}, k_ {z} \ right) \ , \\ K _ {\ mu} & = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, - k_ {x}, - k_ {y}, - k_ {z} \ right) \ end {alinhado} }}$

Em geral, a magnitude escalar de Lorentz do vetor de onda quatro é:

${\ displaystyle K ^ {\ mu} K _ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}} \ right) ^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y} ^ {2} -k_ {z} ^ {2} = \ left ({\ frac {\ omega _ {o}} {c}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {m_ {o } c} {\ hbar}} \ right) ^ {2}}$

O vetor de quatro ondas é nulo para partículas sem massa (fotônicas), onde a massa restante${\ displaystyle m_ {o} = 0}$

Um exemplo de um vetor nulo de quatro ondas seria um feixe de luz coerente e monocromática , que tem velocidade de fase${\ displaystyle v_ {p} = c}$

${\ displaystyle K ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right) = \ left ({\ frac {\ omega} {c}} , {\ frac {\ omega} {c}} {\ hat {n}} \ right) = {\ frac {\ omega} {c}} \ left (1, {\ hat {n}} \ right) \ ,}$ {para semelhante à luz / nulo}

que teria a seguinte relação entre a frequência e a magnitude da parte espacial do vetor de quatro ondas:

${\ displaystyle K ^ {\ mu} K _ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}} \ right) ^ {2} -k_ {x} ^ {2} -k_ {y} ^ {2} -k_ {z} ^ {2} = 0}$ {para semelhante à luz / nulo}

O vetor de quatro ondas está relacionado ao impulso de quatro da seguinte forma:

${\ displaystyle P ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {E} {c}}, {\ vec {p}} \ right) = \ hbar K ^ {\ mu} = \ hbar \ left ({ \ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right)}$

O vetor de quatro ondas está relacionado à frequência de quatro da seguinte forma:

${\ displaystyle K ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right) = \ left ({\ frac {2 \ pi} {c} } \ right) N ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {2 \ pi} {c}} \ right) \ left (\ nu, \ nu {\ vec {n}} \ right)}$

O vetor de quatro ondas está relacionado à velocidade de quatro da seguinte forma:

${\ displaystyle K ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right) = \ left ({\ frac {\ omega _ {o}} {c ^ {2}}} \ right) U ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ omega _ {o}} {c ^ {2}}} \ right) \ gamma \ left (c, {\ vec {u}} \ right)}$

Transformação de Lorentz

Pegar a transformação de Lorentz do vetor de quatro ondas é uma maneira de derivar o efeito Doppler relativístico . A matriz de Lorentz é definida como

${\ displaystyle \ Lambda = {\ begin {pmatrix} \ gamma & - \ beta \ gamma & 0 & 0 \\ - \ beta \ gamma & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

Na situação em que a luz está sendo emitida por uma fonte em movimento rápido e alguém gostaria de saber a frequência da luz detectada em um referencial terrestre (laboratório), aplicaríamos a transformação de Lorentz da seguinte maneira. Observe que a fonte está em um referencial S ^s e a terra está no referencial de observação, S ^obs . Aplicando a transformação de Lorentz ao vetor de onda

${\ displaystyle k_ {s} ^ {\ mu} = \ Lambda _ {\ nu} ^ {\ mu} k _ {\ mathrm {obs}} ^ {\ nu}}$

e escolher apenas olhar para os resultados do componente em ${\ displaystyle \ mu = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} k_ {s} ^ {0} & = \ Lambda _ {0} ^ {0} k _ {\ mathrm {obs}} ^ {0} + \ Lambda _ {1} ^ { 0} k _ {\ mathrm {obs}} ^ {1} + \ Lambda _ {2} ^ {0} k _ {\ mathrm {obs}} ^ {2} + \ Lambda _ {3} ^ {0} k_ { \ mathrm {obs}} ^ {3} \\ [3pt] {\ frac {\ omega _ {s}} {c}} & = \ gamma {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} { c}} - \ beta \ gamma k _ {\ mathrm {obs}} ^ {1} \\ & = \ gamma {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {c}} - \ beta \ gamma {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {c}} \ cos \ theta. \ end {alinhado}}}$

onde é a direção cosseno de em relação a${\ displaystyle \ cos \ theta}$${\ displaystyle k ^ {1}}$${\ displaystyle k ^ {0}, k ^ {1} = k ^ {0} \ cos \ theta.}$

Então

${\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {\ omega _ {s}}} = {\ frac {1} {\ gamma (1- \ beta \ cos \ theta)}}}$

Fonte se afastando (redshift)

Por exemplo, para aplicar isso a uma situação em que a fonte está se movendo diretamente para longe do observador ( ), isso se torna: ${\ displaystyle \ theta = \ pi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {\ omega _ {s}}} = {\ frac {1} {\ gamma (1+ \ beta)}} = {\ frac { \ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} {1+ \ beta}} = {\ frac {\ sqrt {(1+ \ beta) (1- \ beta)}} {1+ \ beta}} = {\ frac {\ sqrt {1- \ beta}} {\ sqrt {1+ \ beta}}}}$

Fonte movendo-se em direção a (blueshift)

Para aplicar isso a uma situação em que a fonte está se movendo diretamente em direção ao observador ( ), isso se torna: ${\ displaystyle \ theta = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {\ omega _ {s}}} = {\ frac {1} {\ gamma (1- \ beta)}} = {\ frac { \ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} {1- \ beta}} = {\ frac {\ sqrt {(1+ \ beta) (1- \ beta)}} {1- \ beta}} = {\ frac {\ sqrt {1+ \ beta}} {\ sqrt {1- \ beta}}}}$

Fonte movendo-se tangencialmente (efeito Doppler transversal)

Para aplicar isso a uma situação em que a fonte está se movendo transversalmente em relação ao observador ( ), isso se torna: ${\ displaystyle \ theta = \ pi / 2}$

${\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {\ mathrm {obs}}} {\ omega _ {s}}} = {\ frac {1} {\ gamma (1-0)}} = {\ frac {1 } {\ gamma}}}$

Veja também

• Expansão de onda plana
• Plano de incidência

Referências

Leitura adicional

• Brau, Charles A. (2004). Problemas modernos em eletrodinâmica clássica . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 978-0-19-514665-3.